Langmuir-Isotherme: Langmuir-Isotherme

Langmuir-Isotherme Definition

Die Langmuir-Isotherme ist ein grundlegendes Modell in der Physikalischen Chemie, das die Adsorption von Molekülen auf festen Oberflächen beschreibt.

Was ist die Langmuir-Isotherme?

Die Langmuir-Isotherme, benannt nach dem US-amerikanischen Wissenschaftler Irving Langmuir, ist ein Modell zur Beschreibung der Adsorption von Gasen auf festen Oberflächen. Adsorption ist der Prozess, bei dem Moleküle aus einer Flüssigkeit oder einem Gas an die Oberfläche eines Feststoffs gebunden werden. Das Modell basiert auf der Annahme, dass jede Adsorptionsstelle auf der Oberfläche nur ein Molekül adsorbieren kann und dass alle Adsorptionsstellen gleich sind.

Die Langmuir-Isotherme kann mathematisch ausgedrückt werden als: $q_{e} = \frac{q_{m} K C_{e}}{1 + K C_{e}}$ Hierbei ist $q_{e}$ die Menge der adsorbierten Substanz pro Masse des Adsorbens im Gleichgewicht, $q_{m}$ die maximale Menge der adsorbierbaren Substanz, $K$ die Langmuir-Konstante und $C_{e}$ die Gleichgewichtskonzentration der Substanz.

Langmuir-Isotherme einfach erklärt

Um die Langmuir-Isotherme besser zu verstehen, stelle Dir vor, Du hast ein Glas Wasser und einige Zuckerwürfel. Wenn Du die Zuckerwürfel ins Wasser gibst, beginnen sie sich aufzulösen und die Zuckerpartikel adsorbieren an der Glasoberfläche. Es gibt eine begrenzte Anzahl an Adsorptionsstellen auf der Oberfläche des Glases, und jedes Zuckermolekül kann nur eine dieser Stellen besetzen.

Nehmen wir an, das Glas hat 100 Adsorptionsstellen und die maximale Menge an adsorbierbarem Zucker $q_{m}$ ist 10 mg. Wenn die Gleichgewichtskonzentration $C_{e}$ des Zuckers im Wasser 0,01 mg/L beträgt, und die Langmuir-Konstante $K$ 1 L/mg ist, dann kann die adsorbierte Menge $q_{e}$ berechnet werden als: $q_{e} = \frac{10 m g \times 1 L / m g \times 0, 01 m g / L}{1 + 1 L / m g \times 0, 01 m g / L} = \frac{0, 1}{1, 01} = 0, 099 m g$

Langmuir-Isotherme Herleitung

Die Herleitung der Langmuir-Isotherme ist ein wesentlicher Bestandteil, um das Konzept in der Tiefe zu verstehen. Sie basiert auf spezifischen mathematischen Grundlagen und Annahmen, die ihre Anwendbarkeit und Genauigkeit bestimmen.

Mathematische Grundlagen der Langmuir-Isotherme

Um die Langmuir-Isotherme herzuleiten, benötigst Du grundlegende Kenntnisse der Chemie und Mathematik. Die folgende Gleichung beschreibt die Adsorption von Molekülen auf einer festen Oberfläche: $q_{e} = \frac{q_{m} K C_{e}}{1 + K C_{e}}$ Hierbei repräsentieren die Begriffe:

q_e: die Menge der adsorbierten Substanz pro Masse des Adsorbens im Gleichgewicht
q_m: die maximale Menge der adsorbierbaren Substanz
K: die Langmuir-Konstante
C_e: die Gleichgewichtskonzentration der Substanz

Diese Gleichung ist besonders nützlich, um die Beziehung zwischen der Konzentration der Substanzen und ihrer Adsorption zu verstehen.

Achte darauf, dass jede Adsorptionsstelle nur ein Molekül binden kann und dass alle Stellen gleich sind.

Nehmen wir an, eine Oberfläche hat eine maximale Adsorptionskapazität von 100 mg. Wenn die Langmuir-Konstante K gleich 0.5 L/mg ist und die Gleichgewichtskonzentration C_e gleich 10 mg/L, dann berechnet sich die adsorbierte Menge q_e wie folgt: $q_{e} = \frac{100 mg \times 0.5 L/mg \times 10 mg/L}{1 + 0.5 L/mg \times 10 mg/L} = \frac{500}{6} mg oder etwa 83.33 mg$

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Schritt-für-Schritt Herleitung der Langmuir-Isotherme

Die Schritt-für-Schritt-Herleitung der Langmuir-Isotherme führt Dich durch die mathematischen Annahmen und Kalkulationen, die für das Modell grundlegend sind. Diese Schritte sind wie folgt:1. Gleichgewichtszustand: Angenommen, die Adsorption tritt im Gleichgewichtszustand auf, so dass die Rate der Adsorption gleich der Rate der Desorption ist.2. Adsorptionsrate: Die Adsorptionsrate wird als proportional zur Anzahl der freien Adsorptionsstellen und zur Konzentration der adsorbierenden Moleküle angesehen. Dies kann mathematisch ausgedrückt werden als: $R_{a d s} = k_{1} C_{e} (q_{m} - q_{e})$ 3. Desorptionsrate: Die Desorptionsrate wird als proportional zur Anzahl der belegten Adsorptionsstellen beschrieben und durch die folgende Gleichung dargestellt: $R_{d e s} = k_{2} q_{e}$ 4. Gleichgewichtszustand: Bei Erreichen des Gleichgewichts sind die Adsorptions- und Desorptionsraten gleich, also setzt man $k_{1} C_{e} (q_{m} - q_{e}) = k_{2} q_{e}$ 5. Umformen und Vereinfachen: Durch Umformen und Vereinfachen dieser Gleichung erhältst Du die endgültige Form der Langmuir-Isotherme: $q_{e} = \frac{q_{m} K C_{e}}{1 + K C_{e}}$ als Langmuir-Konstante definiert, wobei $K = \frac{k_{1}}{k_{2}}$ ist.Diese mathematischen Schritte zeigen, wie die Langmuir-Isotherme die Beziehung zwischen der Konzentration einer Lösung und der Menge der adsorbierten Substanzen bestimmt.

Falls Du tiefer in die Thematik eintauchen möchtest: Die Langmuir-Isotherme ist ein Spezialfall der allgemeineren Adsorptionsisothermen, wie der Freundlich- und der BET-Isotherme. Die Annahmen der Langmuir-Isotherme sind sehr streng und gelten nicht immer für alle Adsorptionsprozesse. Es kann nützlich sein, auch andere Isothermen zu studieren, um ein umfassenderes Verständnis der Adsorption zu erlangen. In der Praxis wird oft experimentell überprüft, welches Modell am besten zu den beobachteten Daten passt.

Langmuir-Isotherme Beispiel

Ein praktisches Beispiel kann dabei helfen, die Konzepte der Langmuir-Isotherme besser zu verstehen. Adsorption ist ein Prozess, bei dem Moleküle auf die Oberfläche eines Feststoffes gelangen und dort haften bleiben.

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Anschauliches Beispiel zur Langmuir-Isotherme

Stelle Dir vor, Du hast eine Unterlage mit einer maximalen Adsorptionskapazität von 100 mg Aktivkohle und willst untersuchen, wie viel eines bestimmten Gases adsorbiert wird.

Angenommen, die Langmuir-Konstante K ist 0,5 L/mg und die Gleichgewichtskonzentration C_e des Gases beträgt 10 mg/L. Die Formel für die Langmuir-Isotherme lautet: $q_{e} = \frac{q_{m} K C_{e}}{1 + K C_{e}}$ Setzt man die Werte ein, ergibt sich: $q_{e} = \frac{100 m g \times 0, 5 L / m g \times 10 m g / L}{1 + 0, 5 L / m g \times 10 m g / L} = \frac{500}{6} m g = 83, 33 m g$

In der Praxis wirst Du selten eine perfekte Übereinstimmung mit der Theorie finden. Experimentelle Daten können Abweichungen aufzeigen.

Anwendungsbereiche der Langmuir-Isotherme

Die Langmuir-Isotherme findet in vielen Bereichen der Chemie und Physik Anwendung. Hier sind einige Beispiele:

Wasseraufbereitung: Adsorption von Schadstoffen aus dem Wasser durch Aktivkohle.
Medizin: Bindung von Medikamenten an Proteine.
Katalyse: Adsorption von Reaktanten auf Katalysatoren.
Luftreinhaltung: Entfernung von Gasen und Dämpfen aus der Luft.

In speziellen Anwendungen, wie der Oberflächenchemie, wird die Langmuir-Isotherme nicht selten mit anderen Modellen kombiniert, um eine präzisere Beschreibung der Adsorptionsprozesse zu erreichen. Andere Isothermen wie die Freundlich- oder BET-Isotherme bieten ergänzende Perspektiven und können hilfreich sein, um komplexe Systeme zu analysieren.

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Langmuir-Isotherme berechnen

Die Berechnung der Langmuir-Isotherme kann Dir helfen, Adsorptionsvorgänge besser zu verstehen. Das Modell zeigt, wie Moleküle an Oberflächen adsorbiert werden – von der Gleichgewichtskonzentration bis zur maximalen Adsorptionskapazität.

Berechnungsbeispiel zur Langmuir-Isotherme

Angenommen, Du hast ein Adsorptionsmittel mit einer maximalen Kapazität ( $q_{m}$ ) von 50 mg. Wenn die Langmuir-Konstante ( $K$ ) 0,4 L/mg ist und die Gleichgewichtskonzentration ( $C_{e}$ ) der Substanz 2 mg/L beträgt, so wird die adsorbierte Menge ( $q_{e}$ ) wie folgt berechnet: $q_{e} = \frac{q_{m} K C_{e}}{1 + K C_{e}}$ Setzt man die Werte in die Gleichung ein, erhält man: $q_{e} = \frac{50 m g \times 0, 4 L / m g \times 2 m g / L}{1 + 0, 4 L / m g \times 2 m g / L} = \frac{40}{1, 8} = 22.22 m g$

In der Praxis findest Du oft, dass reale Adsorptionsdaten von theoretischen Modellen abweichen. Experimentelle Validierung ist daher wichtig.

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Wichtige Formeln zur Langmuir-Isotherme

Um die Langmuir-Isotherme vollständig zu verstehen, solltest Du die Schlüsselformeln und ihre Bedeutung kennen. Die Hauptformel der Langmuir-Isotherme lautet: $q_{e} = \frac{q_{m} K C_{e}}{1 + K C_{e}}$ Hierbei sind:

q_e: Menge der adsorbierten Substanz pro Masse des Adsorbens im Gleichgewicht
q_m: Maximale Menge der adsorbierbaren Substanz
K: Langmuir-Konstante
C_e: Gleichgewichtskonzentration der Substanz

Für detailliertere Studien solltest Du die Ableitung der Langmuir-Gleichung in Betracht ziehen. Dies basiert auf der Idee, dass die Adsorptions- und Desorptionsraten im Gleichgewicht sind. Die Gleichgewichtsbedingung lautet: $k_{1} C_{e} (q_{m} - q_{e}) = k_{2} q_{e}$ Durch Umformen und Vereinfachen dieser Gleichung erhältst Du die Langmuir-Isotherme: $q_{e} = \frac{q_{m} K C_{e}}{1 + K C_{e}}$

Langmuir-Isotherme - Das Wichtigste

Langmuir-Isotherme Definition: Adsorption von Molekülen auf festen Oberflächen, basierend auf Annahme, dass jede Adsorptionsstelle nur ein Molekül adsorbieren kann.
Mathematische Darstellung:

Langmuir-Isotherme Berechnen: Beispiel durch Einsetzen von Werten in die Formel.

Einfach erklärt: Vergleich mit Zuckerwürfeln, die sich im Wasser an der Glasoberfläche adsorbieren.

Anwendungsbereiche: Wasseraufbereitung, Medizin, Katalyse und Luftreinhaltung.

Schritt-für-Schritt-Herleitung: Erklärungen zur Gleichgewichtszustand, Adsorptionsrate und Desorptionsrate.

Wichtige Formeln: Hauptformel und deren Schlüsselformeln zur vollständigen Verständnis.

References

Björn Augner, Dieter Bothe (2023). Analysis of bulk-surface reaction-sorption-diffusion systems with Langmuir type adsorption. Available at: http://arxiv.org/abs/2303.08479v1 (Accessed: 11 April 2025).
S. Bousiadi, I. Lelidis (2017). Asymmetric adsorption in an open electrolytic cell. Available at: http://arxiv.org/abs/1710.09372v1 (Accessed: 11 April 2025).
Barbara Jagoda-Cwiklik, Lukasz Cwiklik, Marek Frankowicz (2005). Theoretical study of the influence of confinement and channel blocking on adsorption and diffusion of n-butane in silicalite-1. Available at: http://arxiv.org/abs/cond-mat/0502368v1 (Accessed: 11 April 2025).

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Wie lautet die mathematische Darstellung der Langmuir-Isotherme?

\n $θ = \frac{K \times P}{1 + K \times P}$ \n

Wie hoch ist die Bedeckungsrate $θ$ bei einem Druck von 2 Atmosphären und einer Gleichgewichtskonstante $K$ von 0,5?

$θ$ ist 1,5.

Wie lautet die Gleichung zur Berechnung der adsorbierten Menge ( $q_{e}$ ) in der Langmuir-Isotherme?

$q_{e} = \frac{C_{e}}{1 + q_{m} K}$

Welche Annahmen liegen der Herleitung der Langmuir-Isotherme zugrunde?

Eine feste Oberfläche hat eine begrenzte Anzahl an Adsorptionsplätzen; Jeder Adsorptionsplatz kann nur ein Molekül aufnehmen; Die Adsorptionsplätze sind energetisch gleichwertig; Die Adsorption ist ein reversibler Prozess.

Welche Annahme gehört nicht zur Langmuir-Isotherme?

Die Adsorptionsplätze sind energetisch gleichwertig.

Was beschreibt die Gleichung $q_{e} = \frac{q_{m} K C_{e}}{1 + K C_{e}}$ im Zusammenhang der Langmuir-Isotherme?

Die Menge der adsorbierten Substanz pro Masse des Adsorbens im Gleichgewicht

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Häufig gestellte Fragen zum Thema Langmuir-Isotherme

Was beschreibt die Langmuir-Isotherme?

Die Langmuir-Isotherme beschreibt, wie Gasmoleküle an der Oberfläche eines Festkörpers adsorbiert werden. Sie geht davon aus, dass die Adsorptionsstellen homogen und unabhängig voneinander sind, und dass eine monomolekulare Schicht entsteht. Die Gleichung berücksichtigt die Sättigung der Oberfläche bei hoher Gasdruckkonzentration.

Wie wird die Langmuir-Isotherme berechnet?

Die Langmuir-Isotherme wird berechnet, indem man die Gleichung θ = (K * p) / (1 + K * p) verwendet, wobei θ die Bedeckungsgrad der Oberfläche, K die Gleichgewichtskonstante und p der Druck des Adsorbats ist.

Welche Annahmen liegen der Langmuir-Isotherme zugrunde?

Die Annahmen der Langmuir-Isotherme sind: 1) Es gibt eine begrenzte Anzahl von Adsorptionsplätzen, die alle gleich sind. 2) Jede Adsorptionsstelle kann nur ein Molekül binden. 3) Die Adsorption ist monolayer, ohne Multilayer-Bildung. 4) Es gibt keine Wechselwirkungen zwischen adsorbierten Molekülen.

In welchen Bereichen wird die Langmuir-Isotherme angewendet?

Die Langmuir-Isotherme wird in Bereichen wie Katalyse, Umweltchemie, Materialwissenschaften und Biochemie angewendet. Sie hilft, Adsorptionsprozesse auf Oberflächen zu beschreiben und zu verstehen.

Wie beeinflusst die Temperatur die Langmuir-Isotherme?

Die Temperatur beeinflusst die Langmuir-Isotherme, indem sie die Adsorptionskapazität und die Gleichgewichtskonstante ändert. Bei steigender Temperatur nimmt die Adsorption ab, da die kinetische Energie der Gasmoleküle zunimmt, was die Bindung an die Oberfläche erschwert.

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