Elektronen-Phonon-Wechselwirkung

Die mathematische Beschreibung der Elektronen-Phonon-Wechselwirkung kann komplex sein. Ein wichtiger Aspekt ist die Wechselwirkungsstärke, die durch die Elektronen-Phonon-Kopplungskonstante \(\text{g}\) beschrieben wird. Diese Konstante gibt an, wie stark die Phononen die Elektronen beeinflussen. In der gängigen Theorie sind die relevanten Größen oft durch die Hamilton-Funktion \[H_{\text{ep}} = \text{g} \times \text{u} \times \text{N}\text{(t)} \] beschrieben, wobei \(\text{u}\) die Verschiebung der Atome im Gitter und \(\text{N}\text{(t)}\) die Besetzungszahl der Phononen ist.

Die mathematische Beschreibung der virtuellen Phononen ist komplex und involviert die Quantenmechanik. Zum Beispiel wird die Wahrscheinlichkeit, ein virtuelles Phonon zu emittieren oder zu absorbieren, durch das Feynman-Diagramm dargestellt. Diese Diagramme visualisieren die Wechselwirkung zwischen Elektronen und Phononen. Eine wichtige Gleichung, die diese Prozesse beschreibt, ist die Dyson-Gleichung: \[G(\mathbf{k}, \omega) = G_{0}(\mathbf{k}, \omega) + G_{0}(\mathbf{k}, \omega) \Sigma (\mathbf{k}, \omega) G(\mathbf{k}, \omega)\]Hierbei ist \(G(\mathbf{k}, \omega)\) der vollständige Green'sche Funktion, \(G_{0}(\mathbf{k}, \omega)\) ist die ungestörte Green'sche Funktion, und \(\Sigma (\mathbf{k}, \omega)\) ist die Selbstenergie, die die Wechselwirkung mit den Phononen beschreibt.

Die mathematische Modellierung der Elektronen-Phonon-Wechselwirkung verwendet das Fröhlich-Hamiltonian:\[H_{\text{ep}} = \sum_{\mathbf{q},\mathbf{k}} g_{\mathbf{q}} (c_{\mathbf{k} + \mathbf{q}}^{\dagger} c_{\mathbf{k}} b_{\mathbf{q}} + c_{\mathbf{k}}^{\dagger} c_{\mathbf{k} + \mathbf{q}} b_{\mathbf{q}}^{\dagger})\]Hierbei ist \(c_{\mathbf{k}}\) der Zerstörungsoperator für ein Elektron mit Impuls \(\mathbf{k}\), \(b_{\mathbf{q}}\) der Zerstörungsoperator für ein Phonon mit Impuls \(\mathbf{q}\) und \(g_{\mathbf{q}}\) die Kopplungskonstante zwischen Elektronen und Phononen. \(\sum_{\mathbf{q}, \mathbf{k}}\) bedeutet, dass die Summe über alle möglichen Impulse genommen wird. Dieses Modell hilft zu verstehen, wie Energie und Impuls zwischen Elektronen und Phononen transferiert werden.

Ein tieferes Verständnis der Elektronen-Phonon-Wechselwirkung kann durch die Betrachtung des Hamiltonians für diese Wechselwirkungen gewonnen werden. Der relevante Hamiltonian lautet: \[H_{\text{ep}} = \sum_{\mathbf{k},\mathbf{q}} g_{\mathbf{q}} (c_{\mathbf{k} + \mathbf{q}}^{\dagger} c_{\mathbf{k}} b_{\mathbf{q}} + c_{\mathbf{k}}^{\dagger} c_{\mathbf{k} + \mathbf{q}} b_{\mathbf{q}}^{\dagger}) \] Hierbei ist \(c_{\mathbf{k}}\) der Zerstörungsoperator für ein Elektron mit Impuls \(\mathbf{k}\), \(b_{\mathbf{q}}\) der Zerstörungsoperator für ein Phonon mit Impuls \(\mathbf{q}\), und \(g_{\mathbf{q}}\) die Kopplungskonstante zwischen Elektronen und Phononen. \(\sum_{\mathbf{k}, \mathbf{q}}\) bedeutet, dass die Summe über alle möglichen Impulse genommen wird. Diese Wechselwirkung ist entscheidend für die Bindung von Elektronen zu Cooper-Paaren und somit für den supraleitenden Zustand. Mathematisch führt die Kopplung zwischen Elektronen und Phononen zu einer effektiven Anziehungskraft zwischen zwei Elektronen, die durch den virtuellen Austausch von Phononen vermittelt wird. Ein einfaches Beispiel für diesen Austausch ist die folgende Gleichung: \[U_{\text{eff}}(\mathbf{k},\mathbf{k'}) = \frac{|g_{\mathbf{k}-\mathbf{k'}}|^2}{\omega_{\mathbf{k}-\mathbf{k'}}-(E_{\mathbf{k}}-E_{\mathbf{k'}})} \] Hierbei beschreibt \(U_{\text{eff}}(\mathbf{k},\mathbf{k'})\) die effektive Wechselwirkung, \(\omega_{\mathbf{k}-\mathbf{k'}}\) die Frequenz des Phonons und \(E_{\mathbf{k}}\) sowie \(E_{\mathbf{k'}}\) die Energien der Elektronen vor und nach der Wechselwirkung.

Ein tieferes Verständnis der Elektronen-Phonon-Wechselwirkung kann durch die Betrachtung des Hamiltonians für diese Wechselwirkungen gewonnen werden. Der relevante Hamiltonian lautet: \[H_{\text{ep}} = \sum_{\mathbf{k}, \mathbf{q}} g_{\mathbf{q}} (c_{\mathbf{k} + \mathbf{q}}^{\dagger} c_{\mathbf{k}} b_{\mathbf{q}} + c_{\mathbf{k}}^{\dagger} c_{\mathbf{k} + \mathbf{q}} b_{\mathbf{q}}^{\dagger})\] Hierbei ist \(c_{\mathbf{k}}\) der Zerstörungsoperator für ein Elektron mit Impuls \(\mathbf{k}\), \(b_{\mathbf{q}}\) der Zerstörungsoperator für ein Phonon mit Impuls \(\mathbf{q}\), und \(g_{\mathbf{q}}\) die Kopplungskonstante zwischen Elektronen und Phononen. \(\sum_{\mathbf{k}, \mathbf{q}}\) bedeutet, dass die Summe über alle möglichen Impulse genommen wird. Diese Wechselwirkung ist entscheidend für die Bindung von Elektronen zu Cooper-Paaren und somit für den supraleitenden Zustand. Mathematisch führt die Kopplung zwischen Elektronen und Phononen zu einer effektiven Anziehungskraft zwischen zwei Elektronen, die durch den virtuellen Austausch von Phononen vermittelt wird. Ein einfaches Beispiel für diesen Austausch ist die folgende Gleichung: \[U_{\text{eff}}(\mathbf{k}, \mathbf{k'}) = \frac{|g_{\mathbf{k} - \mathbf{k'}}|^2}{\omega_{\mathbf{k} - \mathbf{k'}} - (E_{\mathbf{k}} - E_{\mathbf{k'}})}\] Hierbei beschreibt \(U_{\text{eff}}(\mathbf{k}, \mathbf{k'})\) die effektive Wechselwirkung, \(\omega_{\mathbf{k} - \mathbf{k'}}\) die Frequenz des Phonons und \(E_{\mathbf{k}}\) sowie \(E_{\mathbf{k'}}\) die Energien der Elektronen vor und nach der Wechselwirkung.