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Abiturprüfung Baden Württemberg
Teil A 30 BE
Aufgabe 1
a) Zeigen Sie, dass diejenige der beiden Tangenten, die durch den Koordinatenursprung verläuft, die Steigung 1 hat.
b) Berechnen Sie den Inhalt des Flächenstücks, das von \(G_f\) und den beiden Tangenten eingeschlossen wird.
Lösung a):
Um die Steigung der Tangente zu bestimmen, die durch den Koordinatenursprung verläuft, muss die Ableitung von \(f(x) = \sin x\) berechnet werden.
Die Ableitung von \(\sin x\) ist \(\cos x\).
Die Gleichung der Tangente im Allgemeinen ist:
\[ y = m(x - x_0) + f(x_0) \]
wobei \( m \) die Steigung und \( (x_0, f(x_0)) \) der Berührpunkt ist.
Da die Tangente durch den Koordinatenursprung verläuft, ist \( y = mx \).
Wir setzen \( x = 0 \) in \(f'(x) = \cos x\) ein:
\[ f'(0) = \cos(0) = 1 \]
Also hat die Tangente, die durch den Koordinatenursprung verläuft, die Steigung 1.
Lösung b):
Zur Berechnung des Inhalts des Flächenstücks, das von \(G_f\) und den beiden Tangenten eingeschlossen wird, müssen wir zunächst die Schnittpunkte der Tangenten mit \(f(x) = \sin x\) ermitteln.
Für die Tangente, die durch den Koordinatenursprung verläuft:
\[ y = x \]
Setze \( y = x \) in \( y = \sin x \):
\[ x = \sin x \]
Die Lösungen sind \( x = 0 \) und \( x = \pi \).
Das Flächenstück, das von \(G_f\) und den beiden Tangenten eingeschlossen wird, ist die Fläche unter dem Graphen \(G_f\) von \(x = 0\) bis \(x = \pi\) minus die Fläche unter der Tangente von \(x = 0\) bis \(x = \pi\).
Fläche unter \(G_f\):
\[ A_1 = \int_0^\pi \sin x \, dx = [-\cos x]_0^\pi = \cos(0) - \cos(\pi) = 2 \]
Fläche unter der Tangente:
\[ A_2 = \int_0^\pi x \, dx = \frac{1}{2}x^2\Big|_0^\pi = \frac{1}{2}\pi^2 \]
Gesuchte Fläche:
\[ A = A_1 - A_2 = 2 - \frac{1}{2}\pi^2 \]
Antwort a):
Die Tangente, die durch den Koordinatenursprung verläuft, hat die Steigung 1.
Antwort b)
Der Inhalt des Flächenstücks, das von \(G_f\) und den beiden Tangenten eingeschlossen wird, ist \(2 - \frac{1}{2}\pi^2\).
Aufgabe 2
Die Verbreitung eines Computervirus lässt sich modellhaft mithilfe der in \(\mathbb{R}\) definierten Funktion \(f\) mit \(f(t) = 2 \cdot t \cdot e^{-\frac{t}{100}}\) beschreiben. Dabei ist \(t\) die Zeit in Tagen, die seit der ersten Infizierung eines Computers mit dem Virus vergangen ist, und \(f(t)\) die Rate
der Infizierungen zum Zeitpunkt \( t \) in der Einheit „Eintausend Computer pro Tag“.
a) Zeigen Sie, dass \( 2 \left(1 - \frac{t}{100}\right) \cdot e^{-\frac{t}{100}} \) ein Term der ersten Ableitungsfunktion von \( f \) ist.
b) Geben Sie den Zeitpunkt an, zu dem die Rate der Infizierungen am größten ist.
c) Betrachtet wird der Zeitraum der zweiten Woche nach der ersten Infizierung eines Computers mit dem Virus. Geben Sie einen Term an, mit dem die Anzahl der Computer berechnet werden kann, die in diesem Zeitraum infiziert werden.
Lösung a):
Die Ableitung einer Funktion berechnet man mithilfe der Produkt- und Kettenregel:
\[ f'(t) = \frac{d}{dt} (2t \cdot e^{-\frac{t}{100}}) \]
Anwenden der Produktregel:
\[ f'(t) = 2 \cdot e^{-\frac{t}{100}} + 2t \cdot (-\frac{1}{100} \cdot e^{-\frac{t}{100}}) \]
Umschreiben ergibt:
\[ f'(t) = 2 \cdot e^{-\frac{t}{100}} (1 - \frac{t}{100}) \]
Dies entspricht dem gegebenen Ausdruck \( 2 \left(1 - \frac{t}{100}\right) \cdot e^{-\frac{t}{100}} \).
Lösung b):
Um den Zeitpunkt zu finden, an dem die Rate der Infizierungen am größten ist, setzen wir \( f'(t) \) gleich Null und lösen nach \( t \):
\[ 2 \left(1 - \frac{t}{100}\right) \cdot e^{-\frac{t}{100}} = 0 \]
Da \( e^{-\frac{t}{100}} \) niemals null wird, muss die Klammer null werden:
\[ 1 - \frac{t}{100} = 0 \]
\[ t = 100 \]
Also ist der Zeitpunkt, an dem die Rate der Infizierungen am größten ist, \( t = 100 \) Tage.
Lösung c):
Für den Zeitraum der zweiten Woche nach der ersten Infizierung, also von \( t = 7 \) bis \( t = 14 \), bestimmen wir das Integral von \( f(t) \):
\[ \int_{7}^{14} 2t \cdot e^{-\frac{t}{100}} \, dt \]
Dieses Integral gibt die Anzahl der Computer an, die in diesem Zeitraum infiziert werden.
Aufgabe 3
Gegeben sind der Punkt \( P(-1|7|2) \) und die Ebene \( E: x_1 + 3x_2 = 0 \).
a) Zeigen Sie, dass P nicht in E liegt.
b) Bestimmen Sie die Koordinaten des Punkts, der entsteht, wenn P an E gespiegelt wird.
Lösung a):
Um zu überprüfen, ob der Punkt \( P \) in der Ebene \( E \) liegt, setzen wir die Koordinaten von \( P \) in die Gleichung der Ebene ein:
Einsetzen von \( P(-1|7|2) \) in \( x_1 + 3x_2 = 0 \) ergibt:
\[ -1 + 3(7) = 20 \neq 0 \]
Da das Ergebnis nicht gleich Null ist, liegt der Punkt \( P \) nicht in der Ebene \( E \).
b) Bestimmen Sie die Koordinaten des Punkts, der entsteht, wenn \( P \) an \( E \) gespiegelt wird.
Der Normalenvektor der Ebene ist \( \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} \).
Der Richtungsvektor \( r \) von \( P \) zum Fußpunkt \( F \) der Lotgeraden von \( P \) auf \( E \) ist ein Vielfaches des Normalenvektors. Daher:
\( r = t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} \)
Der Fußpunkt \( F \) ist:
\( F = P + r = \begin{pmatrix} -1 \\ 7 \\ 2 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} \)
Setzen Sie \( F \) in die Gleichung der Ebene ein und lösen Sie nach \( t \) auf:
\( x_1 + 3x_2 = (-1 + t) + 3(7 + 3t) = 0 \)
Daraus folgt:
\( t = \frac{-22}{10} = -2.2 \)
Deshalb ist der Fußpunkt \( F \):
\( F = \begin{pmatrix} -1 \\ 7 \\ 2 \end{pmatrix} - 2.2 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3.2 \\ 0.4 \\ 2 \end{pmatrix} \)
Der gespiegelte Punkt \( P' \) liegt genauso weit von \( F \) entfernt, wie \( P \) von \( F \), aber in entgegengesetzter Richtung:
\( P' = F + \begin{pmatrix} -1 \\ 7 \\ 2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -3.2 \\ 0.4 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -5.4 \\ 13.6 \\ 2 \end{pmatrix} \)
Antwort b)
Der gespiegelte Punkt \( P' \) hat die Koordinaten \( (-5.4|13.6|2) \).
Aufgabe 4
Die Vierfeldertafel gehört zu einem Zufallsexperiment mit Ereignissen \( A \) und \( B \). Für die Wahrscheinlichkeit \( p \) gilt \( p ≠ 0 \).
a) Vervollständigen Sie die Vierfeldertafel. Zeigen Sie, dass \( p \) nicht den Wert \( \frac{1}{5} \) haben kann.
b) Für einen bestimmten Wert von \( p \) sind \( A \) und \( B \) stochastisch unabhängig. Ermitteln Sie diesen Wert von \( p \).
a)
Die Summe der Wahrscheinlichkeiten in jeder Zeile und Spalte muss 1 ergeben:
Für die Spalte \( B \):
\[ p + (1-3p) = 1 \]
\[ p - 2p = 1 \]
\[ -p = 0 \]
Dies ist ein Widerspruch, da gegeben ist \( p ≠ 0 \).
Für die Zeile \( \neg A \):
\[ 4p + 3p = 1 \]
\[ 7p = 1 \]
\[ p = \frac{1}{7} \]
Setzen Sie \( p = \frac{1}{7} \) in die Zeile \( A \) ein:
\[ p + 3p = \frac{1}{7} + \frac{3}{7} = \frac{4}{7} \]
Die restlichen Wahrscheinlichkeiten können nun bestimmt werden:
\[\begin{array}{|c|c|c|}\hline & B & \bar B \\\hline A & \frac{1}{7} & \frac{3}{7} \\\hline\bar A & \frac{4}{7} & \frac{3}{7} \\\hline\end{array}\]
Überprüfen Sie nun \( p = \frac{1}{5} \):
Für die Zeile \( \bar A \):
\[ 4p + 3p = 4 \cdot \frac{1}{5} + 3 \cdot \frac{1}{5} = \frac{7}{5} \]
Das ergibt mehr als 1, was ein Widerspruch ist. Daher kann \( p \) nicht den Wert \( \frac{1}{5} \) annehmen.
b)
Wenn \( A \) und \( B \) stochastisch unabhängig sind, gilt:
\[ P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) \]
\[ p = \left( p + \frac{3}{7} \right) \cdot \left( p + \frac{4}{7} \right) \]
\[ p = \frac{4}{7} \cdot p + p \cdot \frac{3}{7} + \frac{3}{7} \cdot \frac{4}{7} \]
\[ p = \frac{7}{49}p + \frac{3}{7}p + \frac{12}{49} \]
\[ \frac{20}{49}p = \frac{12}{49} \]
\[ p = \frac{3}{5} \]
Aufgabe W1
Lösungsschritte:
W1 Gegeben sind die in \( \mathbb{R} \) definierten Funktionen \( f \) und \( g \). Der Graph von \( f \) ist symmetrisch bezüglich der y-Achse, der Graph von \( g \) ist symmetrisch bezüglich des Koordinatenursprungs. Beide Graphen haben einen Hochpunkt im Punkt (2|1).
a) Geben Sie für die Graphen von \( f \) und \( g \) jeweils die Koordinaten und die Art eines weiteren Extrempunkts an.
Symmetrie des Graphen von \( f \):
Da der Graph von \( f \) symmetrisch bezüglich der y-Achse ist, bedeutet dies, dass wenn der Punkt (2|1) ein Hochpunkt ist, es einen weiteren Hochpunkt bei (-2|1) gibt.
Symmetrie des Graphen von \( g \):
Da der Graph von \( g \) symmetrisch bezüglich des Koordinatenursprungs ist, bedeutet dies, dass wenn der Punkt (2|1) ein Hochpunkt ist, es einen weiteren Tiefpunkt bei (-2|-1) gibt.
Antwort a)
Für den Graphen von \( f \) gibt es einen weiteren Hochpunkt bei (-2|1). Für den Graphen von \( g \) gibt es einen weiteren Tiefpunkt bei (-2|-1).
b) Untersuchen Sie die in \( \mathbb{R} \) definierte Funktion \( h \) mit \( h(x) = f(x) \cdot (g(x))^3 \) im Hinblick auf eine mögliche Symmetrie ihres Graphen.
Um die Symmetrie von \( h \) zu überprüfen, setzen wir \( x \) durch \( -x \) und prüfen, ob \( h(-x) \) dem Wert von \( h(x) \) oder \( -h(x) \) entspricht.
\[ h(-x) = f(-x) \cdot (g(-x))^3 \]
Da \( f \) symmetrisch bezüglich der y-Achse ist, gilt \( f(-x) = f(x) \).
Da \( g \) symmetrisch bezüglich des Koordinatenursprungs ist, gilt \( g(-x) = -g(x) \).
Somit ergibt sich:
\[ h(-x) = f(x) \cdot (-g(x))^3 = -f(x) \cdot (g(x))^3 = -h(x) \]
Da \( h(-x) = -h(x) \) gilt, ist der Graph von \( h \) symmetrisch bezüglich des Koordinatenursprungs.
Antwort b)
Der Graph von \( h \) ist symmetrisch bezüglich des Koordinatenursprungs.
Aufgabe W2
Die Abbildung zeigt den Graphen \( G_f \), einer in \( \mathbb{R} \) definierten Funktion \( f \) sowie den Graphen der ersten Ableitungsfunktion von \( f \).
a) Geben Sie die Steigung der Tangente an \( G_f \) im Punkt \( (0 | f(0)) \) an.
Die Steigung der Tangente an einem Punkt eines Funktionsgraphen entspricht dem Wert der Ableitungsfunktion an diesem Punkt.
Vom gegebenen Graphen können wir ablesen:
Am Punkt \( x = 0 \) hat der Graph der ersten Ableitungsfunktion von \( f \) (also \( f' \)) den Wert 2. Das bedeutet, die Steigung der Tangente an \( G_f \) im Punkt \( (0 | f(0)) \) ist 2.
Antwort a):
Die Steigung der Tangente an \( G_f \) im Punkt \( (0 | f(0)) \) ist 2.
b) Betrachtet wird die Schar der Funktionen \( g_c \) mit \( c \in \mathbb{R}^+ \). Der Graph von \( g_c \) geht aus \( G_f \) durch Streckung mit dem Faktor \( c \) in y-Richtung hervor. Die Tangente an den Graphen von \( g_c \) im Punkt \( (0 | g_c (0)) \) schneidet die x-Achse. Bestimmen Sie rechnerisch die x-Koordinate des Schnittpunkts.
Die Tangente an \( G_f \) im Punkt \( (0 | f(0)) \) hat die Steigung 2 (wie in a) bestimmt). Die Gleichung der Tangente ist:
\[ y = 2x + f(0) \]
Für \( g_c \) wird diese Gleichung durch den Faktor \( c \) gestreckt, also:
\[ y = 2cx + cf(0) \]
Die x-Koordinate des Schnittpunkts dieser Tangente mit der x-Achse erhält man durch Setzen von \( y = 0 \):
\[ 0 = 2cx + cf(0) \]
\[ 2cx = -cf(0) \]
\[ x = -\frac{f(0)}{2} \]
Da \( f(0) \) vom gegebenen Graphen nicht direkt ablesbar ist, kann die genaue x-Koordinate hier nicht bestimmt werden. Aber die Formel zeigt, wie man sie berechnen würde.
Antwort b):
Die x-Koordinate des Schnittpunkts der Tangente an \( G_c \) mit der x-Achse ist \( x = -\frac{f(0)}{2} \).
Teil B: Analysis - 40 BE
Aufgabe 1
Die Abbildung 1 zeigt modellhaft den Längsschnitt einer dreiteiligen Brücke aus Holz für eine Spielzeugeisenbahn. Die Züge können sowohl über die Brücke fahren als auch darunter hindurch.
Die obere Randlinie des Längsschnitts der Brücke kann mithilfe des Graphen in ℝ definierten Funktion f mit \(f(x) = \frac{1}{20} x^4 - \frac{2}{5} x^2 + 1\) beschrieben werden. Dabei werden die Endpunkte dieser Randlinie durch die beiden Tiefpunkte des Graphen von f dargestellt. Im verwendeten Koordinatensystem beschreibt die X-Achse die Horizontale; eine Längeneinheit entspricht einem Dezimeter in der Realität.
Aufgabe 1a
a) Zeigen Sie rechnerisch, dass die obere Randlinie achsensymmetrisch ist.
Achsenymmetrie liegt vor, wenn für eine Funktion \(f\) gilt: \(f(-x) = f(x)\). Das bedeutet, dass der Funktionswert bei negativem \(x\) gleich dem Funktionswert bei positivem \(x\) ist.
Berechnung:
\[f(-x) = \frac{1}{20}(-x)^4 - \frac{2}{5}(-x)^2 + 1\]
\[f(-x) = \frac{1}{20}x^4 - \frac{2}{5}x^2 + 1\]
Da \(f(-x) = f(x)\), ist die Funktion achsensymmetrisch.
Aufgabe 1b
b) Bestimmen Sie rechnerisch die Höhe und die Länge der Brücke.
Die Länge der Brücke entspricht dem Abstand zwischen den beiden Endpunkten des Graphen von \(f\), die bei \(x = -1\) und \(x = 1\) liegen. Daher ist die Länge der Brücke 2 Dezimeter in der Realität.
Die Höhe der Brücke entspricht dem maximalen Funktionswert von \(f\), der bei \(x = 0\) liegt:
\[f(0) = \frac{1}{20} \times 0^4 - \frac{2}{5} \times 0^2 + 1 = 1\]
Daher ist die Höhe der Brücke 1 Dezimeter in der Realität.
Aufgabe 1c
c) Betrachtet wird derjenige Punkt der oberen Randlinie, der sich am Übergang vom mittleren zum rechten Bauteil befindet. Prüfen Sie, ob dieser Punkt auf halber Höhe zwischen dem höchsten Punkt der oberen Randlinie und deren rechtem Endpunkt liegt.
Der höchste Punkt der Randlinie ist bei \(f(0) = 1\). Der rechte Endpunkt hat die Koordinate \(x = 1\) mit \(f(1) = \frac{1}{20} - \frac{2}{5} + 1 = \frac{3}{10}\). Halbe Höhe zwischen diesen Punkten ist \(\frac{1 + \frac{3}{10}}{2} = \frac{13}{20}\).
Berechnung des Funktionswertes bei \(x = \frac{1}{2}\):
\[f\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{20} \left(\frac{1}{2}\right)^4 - \frac{2}{5} \left(\frac{1}{2}\right)^2 + 1\]
\[f\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{160} - \frac{1}{10} + 1 = \frac{9}{16}\]
Da \(\frac{9}{16}\) nicht gleich \(\frac{13}{20}\) ist, liegt der Punkt nicht auf halber Höhe.
Aufgabe 1d
d) Geben Sie die Bedeutung des Terms \(\frac{f(2)-f(1)}{2-1}\) im Sachzusammenhang an und berechnen Sie seinen Wert.
Der Term \(\frac{f(2)-f(1)}{2-1}\) gibt die Steigung der Sekante zwischen den Punkten \(x = 1\) und \(x = 2\) an.
Berechnung:
\[f(2) = \frac{1}{20} \times 2^4 - \frac{2}{5} \times 2^2 + 1 = 2\]
\[f(1) = \frac{1}{20} \times 1^4 - \frac{2}{5} \times 1^2 + 1 = \frac{3}{10}\]
\(\frac{f(2)-f(1)}{2-1} = 2 - \frac{3}{10} = \frac{17}{10} = 1,7\)
Aufgabe 1e
e) Berechnen Sie die Größe des größten Steigungswinkels der Brücke, der beim Überfahren zu überwinden ist.
Die Größe des größten Steigungswinkels entspricht der maximalen Steigung des Graphen. Diese maximale Steigung findet man, indem man die erste Ableitung \(f'(x)\) bildet und den maximalen Wert findet.
Berechnung der Ableitung:
\[f'(x) = \frac{1}{5}x^3 - \frac{4}{5}x\]
Für ein Maximum gilt \(f'(x) = 0\). Das ergibt:
\[0 = \frac{1}{5}x^3 - \frac{4}{5}x\]
\[0 = x(\frac{1}{5}x^2 - \frac{4}{5})\]
Dies ergibt drei Lösungen: \(x = 0\) und \(x^2 = 4\), d.h. \(x = 2\) und \(x = -2\). Der größte Steigungswinkel wird bei \(x = 0\) erreicht.
Wert von \(f'(0) = 0\). Daher ist der größte Steigungswinkel 0°.
Der parabelförmige Teil der unteren Randlinie des Längsschnitts der Brücke kann mithilfe des Graphen einer in ℝ definierten Funktion q mit \(q(x) = 0,8 - a \cdot x^2\) mit \(a \in ℝ^+\) beschrieben werden.
Aufgabe 1f
In der Abbildung 1 ist die Länge einer der beiden Bodenflächen des mittleren Bauteils mit s bezeichnet. Bestimmen Sie alle Werte von a, die für diese Länge mindestens 0,1 dm liefern.
Die Funktion, die die untere Randlinie beschreibt, ist gegeben durch \( q(x) = 0,8 - a \cdot x^2 \).
Für \( x = 0 \) (Mittelpunkt der Brücke) ergibt sich die Länge:
\[ q(0) = 0,8 \]
Da \( s \) die halbe Länge der Bodenfläche ist und beide Seiten symmetrisch sind, gilt:
\[ q(x) - q(-x) = 2s \]
Setzen Sie \( s = 0,1 \) dm ein:
\[ q(x) - q(-x) = 0,2 \]
Dies vereinfacht sich zu:
\[ 2 \cdot q(x) = 0,2 \]
\[ q(x) = 0,1 \]
Lösen Sie die Gleichung \( 0,8 - a \cdot x^2 = 0,1 \) nach \( x \) auf:
\[ a \cdot x^2 = 0,7 \]
\[ x^2 = \frac{0,7}{a} \]
Da \( x^2 \) immer positiv ist, muss auch \( \frac{0,7}{a} \) positiv sein. Dies bedeutet, dass \( a \) positiv sein muss. Es gibt also Werte von \( a \), für die \( s \) mindestens 0,1 dm ist.
Antwort f)
Es gibt Werte von \( a \), für die \( s \) mindestens 0,1 dm beträgt, solange \( a \) positiv ist.
Aufgabe 1g
Begründen Sie im Sachzusammenhang, dass für die Beschreibung der unteren Randlinie beliebig große Werte von a nicht infrage kommen.
Für sehr große Werte von \( a \) würde die Parabel \( q(x) = 0,8 - a \cdot x^2 \) sehr steil werden, was bedeuten würde, dass die untere Randlinie der Brücke sehr schmal wäre. Dies wäre nicht praktikabel oder realistisch für eine echte Brücke, da sie nicht stabil wäre oder nicht den beabsichtigten Zweck erfüllen würde.
Antwort g)
Beliebig große Werte von \( a \) sind nicht sinnvoll, da sie zu einer unrealistisch schmalen Brücke führen würden, die nicht stabil oder funktional wäre.
Aufgabe 1h
Für die Brücke gilt \( a = 1,25 \). Die drei Bauteile der Brücke werden aus massivem Holz hergestellt; 1 dm^3 des Holzes hat eine Masse von 800 Gramm. Die Brücke ist 0,4 dm breit. Ermitteln Sie die Masse des mittleren Bauteils.
Verwenden Sie die Funktion \( q(x) = 0,8 - 1,25 \cdot x^2 \) um das Volumen des mittleren Bauteils zu berechnen:
\[ V = \int_{-0,5}^{0,5} [0,8 - 1,25 \cdot x^2] \, dx \]
\[ V = 0,8x - \frac{1,25}{3} x^3 \bigg|_{-0,5}^{0,5} \]
\[ V = (0,8 \cdot 0,5 - \frac{1,25}{3} \cdot 0,5^3) - (0,8 \cdot (-0,5) - \frac{1,25}{3} \cdot (-0,5)^3) \]
\[ V \approx 0,5333 \, dm^3 \]
Multiplizieren Sie dieses Volumen mit der Breite der Brücke und der Dichte des Holzes:
\[ Masse = V \times Breite \times Dichte \]
\[ Masse \approx 0,5333 \times 0,4 \times 800 \]
\[ Masse \approx 170,67 \, Gramm \]
Antwort h)
Die Masse des mittleren Bauteils beträgt ungefähr 170,67 Gramm.
Aufgabe 2
Während der Planung der Brückenform kamen zur Beschreibung der oberen Randlinie für das linke Bauteil eine Funktion \( g \), und für das rechte Bauteil eine Funktion \( g \) infrage. Auch bei Verwendung dieser Funktionen wäre die obere Randlinie achsensymmetrisch gewesen. Beurteilen Sie jede der folgenden Aussagen:
I. \( -g(x) = g(-x) \) für \( -2 \leq x \leq -1 \)
II. \( g(x-1) = g(-x+1) \) für \( -1 \leq x \leq 0 \)
Achsensymmetrie: Eine Funktion ist achsensymmetrisch zur y-Achse, wenn für jedes \( x \) der Funktionswert bei \( x \) derselbe ist wie der Funktionswert bei \( -x \), d.h. \( f(x) = f(-x) \).
Beurteilung der Aussagen:
I. \( -g(x) = g(-x) \) für \( -2 \leq x \leq -1 \):
Diese Gleichung besagt, dass die Funktion \( g \) in diesem Intervall achsensymmetrisch zur y-Achse ist, wenn man ihre Vorzeichen umkehrt. Da die Aufgabenstellung besagt, dass die obere Randlinie achsensymmetrisch gewesen wäre, ist diese Aussage korrekt.
II. \( g(x-1) = g(-x+1) \) für \( -1 \leq x \leq 0 \):
Betrachtet man die Definition der Achsensymmetrie, dann sollte für jedes \( x \) der Funktionswert bei \( x-1 \) derselbe sein wie der Funktionswert bei \( -x+1 \). Dies ist genau das, was die Gleichung besagt. Daher ist auch diese Aussage korrekt.
Antwort:
Beide Aussagen sind korrekt, da sie beide die Achsensymmetrie der Funktion \( g \) in den gegebenen Intervallen beschreiben.
Aufgabe 3
Die Form und die Größe der Brücke wurden verändert, indem im bisher verwendeten Modell die obere Randlinie des Längsschnitts mithilfe der in \( \mathbb{R} \) definierten Funktion \( k \) mit \( k(x) = \frac{3}{5} \cos \left( \frac{3}{4} x \right) + \frac{4}{5} \) beschrieben wird. Die Bauteile der veränderten Brücke lassen sich nach dem in Abbildung 2 dargestellten Prinzip aus einem quaderförmigen Holzblock sägen. Der beim Sägen auftretende Materialverlust soll im Folgenden vernachlässigt werden.
a) Der Graph von \( k \) ist symmetrisch bezüglich jedes seiner Wendepunkte. Beschreiben Sie, wie diese Eigenschaft mit dem in der Abbildung 2 dargestellten Prinzip zusammenhängt.
Symmetrie bezüglich eines Wendepunkts bedeutet, dass der Graph der Funktion auf beiden Seiten dieses Punkts denselben Verlauf hat. In der Abbildung 2 ist dies im Prinzip der Grund, warum ein Bauteil der Brücke (zum Beispiel das linke Bauteil) gespiegelt werden kann, um das gegenüberliegende Bauteil (das rechte Bauteil) zu bilden. Daher hängt die Symmetrie des Graphen von \( k \) direkt mit dem in Abbildung 2 dargestellten Prinzip der Erstellung von Brückenbauteilen aus einem quaderförmigen Holzblock zusammen.
b) Ermitteln Sie mithilfe des Funktionsterms von \( k \) den Flächeninhalt der gesamten in der Abbildung 2 gezeigten rechteckigen Vorderseite des Holzblocks.
1. Breite des Rechtecks:
Die Breite entspricht dem Intervall zwischen den Wendepunkten von \( k \). Diese Wendepunkte sind, wo die zweite Ableitung \( k''(x) = 0 \) ist. Hier ist das bei \(\frac{3}{2}\) und \(-\frac{3}{2}\) der Fall. Damit ist die Breite 3.
2. Höhe des Rechtecks:
Dadurch, dass die Wendepunkte bei y = \(\frac{4}{5}\) (die Verschiebung der Funktion auf der y-Achse) liegen, schließen wir aufgrund der Symmetrie auf eine Höhe des Rechtecks von \(2\cdot\frac{4}{5} = \frac{8}{5}\)
Somit ergibt sich der gesuchte Flächeninhalt des Rechtecks zu:
\[ A = \text{Breite} \times \text{Höhe} = 3 \cdot \frac{8}{5} = \frac{24}{5} \]
Teil B: Geometrie - 25 BE
Aufgabe 1
In einem Koordinatensystem wird der abgebildete Körper ABCDEF mit A(0|10|1), B(10|20|1), C(0|20|1), D(0|7|0) und F(0|20|0) betrachtet. Die beiden Seitenflächen ACFD und BEFC stehen senkrecht zur \(x_1x_2\)-Ebene.
a) A, B und D liegen in der Ebene H. Bestimmen Sie eine Gleichung von H in Koordinatenform.
Um eine Ebene im Raum zu definieren, brauchen wir den Normalenvektor der Ebene und einen Punkt, der auf der Ebene liegt.
1. Bestimmen des Normalenvektors der Ebene:
Der Normalenvektor \( \vec{n} \) steht senkrecht zur Ebene und kann durch das Kreuzprodukt zweier Richtungsvektoren, die in der Ebene liegen, bestimmt werden.
Punkte A(0|10|1), B(10|20|1) und D(0|7|0)
Richtungsvektor \(\vec{AB}\): \( B - A = \begin{pmatrix} 10 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix} \)
Richtungsvektor \(\vec{AD}\): \( D - A = \begin{pmatrix} 0 \\ -3 \\ -1 \end{pmatrix} \)
Normalenvektor \( \vec{n} \):
\[ \vec{AB} \times \vec{AD} = \begin{pmatrix} -10 \\ 10 \\ -30 \end{pmatrix} \]
2. Einsetzen des Normalenvektors und eines Punktes in die Gleichung:
\[ -10x + 10y - 30z + d = 0 \]
Nutzen von Punkt A(0|10|1) ergibt:
\[ d = -70 \]
Somit ergibt sich die Gleichung der Ebene:
\[ -10x + 10y - 30z - 70 = 0 \]
Umformung (durch 10 teilen):
\[ -x + y - 3z - 7 = 0 \]
Diese Gleichung entspricht der gegebenen Kontrollgleichung \( x_1 - x_2 + 3x_3 + 7 = 0 \).
b) Begründen Sie, dass die Gerade \( \vec{i} = \begin{pmatrix} 0 \\ 7 \\ 0 \end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \) sowohl in der \( x_1x_2 \)-Ebene als auch in der Ebene H liegt.
Die Gerade liegt in der \( x_1x_2 \)-Ebene, da der z-Wert des Richtungsvektors 0 ist, was bedeutet, dass die Gerade nicht in der z-Richtung verläuft.
Um zu zeigen, dass die Gerade auch in der Ebene H liegt, setzen wir den Punkt der Geraden in die Gleichung der Ebene H ein:
\[ x + y - 3z - 1 = 0 \]
Für \( \lambda = 0 \), haben wir den Punkt (0, 7, 0). Einsetzen gibt:
\[ 0 + 7 - 3(0) - 1 = 6 \]
Da dies nicht 0 ergibt, liegt der Punkt (und damit die gesamte Gerade) nicht in der Ebene H.
c) Ermitteln Sie die Koordinaten von E.
Da E auf der Geraden von F nach D liegt und der Abstand von E zu F gleich dem Abstand von D zu F ist, können wir den Mittelpunkt zwischen D und F als E bestimmen:
Punkt D(0|7|0) und Punkt F(0|20|0)
Mittelpunkt:
\[ E \left( \frac{0+0}{2}, \frac{7+20}{2}, \frac{0+0}{2} \right) \]
\[ E(0|13.5|0) \]
d) Begründen Sie ohne zu rechnen, dass die Vierecke ACFD und BEFC den gleichen Flächeninhalt haben.
Die beiden Vierecke teilen sich die Fläche CFD. Da E der Mittelpunkt von DF ist, sind die Dreiecke ACFE und BEFC kongruent (weil sie Basis und Höhe teilen). Daher haben ACFD und BEFC den gleichen Flächeninhalt.
Aufgabe 2
Der Körper ABCDEF stellt modellhaft ein Podest dar, das auf der Bühne eines Theaters steht, das Viereck ADEB die Vorderseite des Podests und der Punkt D deren untere linke Ecke. Die \(x_1x_2\)-Ebene beschreibt den horizontalen Boden der Bühne. Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht einem Meter in der Wirklichkeit.
a) Zeigen Sie, dass die Deckfläche des Podests rechteckig ist, und berechnen Sie deren Flächeninhalt.
Lösung a):
Gegebene Punkte:
A(0|10|1), B(10|20|1), C(0|20|1), D(0|7|0) und F(0|20|0)
Da BEFC und ACDF senkrecht zur \(x_1x_2\)-Ebene stehen, können wir die Deckfläche (EBCF) als Rechteck betrachten.
Um den Flächeninhalt des Rechtecks EBCF zu berechnen, müssen wir die Länge und Breite bestimmen:
Länge: FE = y-Koordinate von F - y-Koordinate von E = 20 - 10 = 10
Breite: EF (Da E und F auf der gleichen x-Koordinate liegen, ist ihre x-Distanz 0)
Da E und F beide den x-Wert 0 haben, ist die Breite von EBCF der x-Wert von B, welcher 10 ist.
Flächeninhalt von EBCF:
\(Fläche = Länge \times Breite = 10 \times 10 = 100\)
Die Deckfläche des Podests hat einen Flächeninhalt von 100 Quadratmetern.
b) Die Position eines Scheinwerfers kann im Modell durch den Punkt S(5|-3|z) dargestellt werden. Vom Scheinwerfer ausgehendes Licht trifft an der unteren linken Ecke der Vorderseite des Podests unter einem Winkel von 47° auf den Boden auf. Ermitteln Sie die Höhe des Scheinwerfers über dem Boden der Bühne.
Lösung b):
Wir können den Tangens des gegebenen Winkels verwenden, um die Höhe zu berechnen:
\(\tan(47°) = \frac{Höhe\ des\ Scheinwerfers}{Horizontaler\ Abstand\ von\ D\ bis\ S}\)
Der horizontale Abstand von D bis S ist 5 (x-Koordinate von S) - 0 (x-Koordinate von D) = 5.
Einsetzen ergibt:
\(\tan(47°) = \frac{z}{5}\)
Um z zu berechnen, multiplizieren wir beide Seiten mit 5:
\(z = 5 \times \tan(47°)\)
Durch Berechnung erhalten wir:
\(z \approx 5 \times 1.0724 = 5.362\)
Die Höhe des Scheinwerfers über dem Boden der Bühne beträgt ungefähr 5,362 Meter.
c) Die Position eines zweiten Scheinwerfers lässt sich im Modell durch den Punkt \( P(2|4|8) \) beschreiben. Die Gerade mit der Gleichung
\[ x = \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 8 \end{pmatrix} + \mu \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \]
wobei \( \mu \in \mathbb{R} \) schneidet die Ebene mit der Gleichung
\[ \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \cdot x - 4 = 0 \]
im Punkt \( Q(-2|8|1) \). Es gilt \( |PQ| = 9 \).
Treffen Sie auf der Grundlage dieser Informationen eine Aussage über den Abstand des zweiten Scheinwerfers von der Vorderkante der Deckfläche des Podests. Begründen Sie Ihre Aussage ohne zu rechnen.
Betrachten wir die gegebenen Informationen:
1. Der Punkt des zweiten Scheinwerfers ist \( P(2|4|8) \).
2. Die Gerade durch den Scheinwerfer hat die Parameterdarstellung:
\[ x = \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 8 \end{pmatrix} + \mu \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \]
3. Die Gerade schneidet die Ebene \( \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \cdot x = 4 \) im Punkt \( Q(-2|8|1) \).
4. Der Abstand zwischen den Punkten P und Q, \( |PQ| \), beträgt 9 Einheiten.
Die Gerade repräsentiert den Lichtstrahl des Scheinwerfers und der Punkt Q ist, wo der Lichtstrahl die Ebene trifft.
Nun, wenn der Scheinwerfer genau 9 Einheiten von der Ebene entfernt ist und dieser Lichtstrahl auf der Ebene in einem Punkt Q auftrifft, der nicht auf der Vorderseite des Podests liegt, dann muss der Scheinwerfer weiter als 9 Einheiten von der Vorderkante der Deckfläche des Podests entfernt sein. Das liegt daran, dass der Scheinwerfer nicht direkt auf die Vorderkante des Podests zeigt, sondern in einem Winkel, der den Scheinwerfer weiter von der Vorderkante entfernt hält.
Daher, basierend auf den gegebenen Informationen, kann man schlussfolgern, dass der Abstand des zweiten Scheinwerfers von der Vorderkante der Deckfläche des Podests größer als 9 Einheiten (oder Meter, basierend auf der vorherigen Frage) ist.
Teil B: Stochastik - 25 BE
Aufgabe 1
Ein Unternehmen produziert Stahlkugeln für Kugellager. Erfahrungsgemäß sind 4 % aller Kugeln fehlerhaft. 800 Kugeln werden zufällig ausgewählt. Die Anzahl der fehlerhaften Kugeln unter den ausgewählten kann durch eine binomialverteilte Zufallsgröße beschrieben werden.
a) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass unter den ausgewählten Kugeln weniger als 30 fehlerhaft sind.
b) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Anzahl der fehlerhaften Kugeln unter den ausgewählten höchstens um eine halbe Standardabweichung vom Erwartungswert dieser Anzahl abweicht.
Für eine Binomialverteilung gilt:
Erwartungswert: \( E(X) = n \cdot p \)
Varianz: \( Var(X) = n \cdot p \cdot (1-p) \)
Standardabweichung: \( \sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot (1-p)} \)
Hier sind:
\( n = 800 \) (Anzahl der Kugeln)
\( p = 0,04 \) (Wahrscheinlichkeit, dass eine Kugel fehlerhaft ist)
Erwartungswert: \( E(X) = 800 \times 0,04 = 32 \)
Das bedeutet, man erwartet, dass 32 Kugeln fehlerhaft sind.
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass weniger als 30 fehlerhaft sind, ist:
\[ P(X < 30) \]
Mit dem Tafelwerk ergibt sich \(P(X \leq 29) = 0,3341 )
**Teilaufgabe b)**
Varianz: \( Var(X) = 800 \times 0,04 \times 0,96 = 30,72 \)
Standardabweichung: \( \sigma = \sqrt{30,72} \approx 5,54 \)
Eine halbe Standardabweichung: \( \frac{5,54}{2} \approx 2,77 \)
Das bedeutet, wir suchen die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Anzahl der fehlerhaften Kugeln zwischen \( 32 - 2,77 \) und \( 32 + 2,77 \) liegt:
\[ P(29,23 < X < 34,77) \]
Da \( X \) nur ganze Werte annehmen kann, ergibt sich daraus:
\[ P(30 \leq X \leq 34) = 0,6819 - 0,4034 = 0,2785\]
Eine fehlerhafte Kugel hat entweder einen Formfehler oder einen Größenfehler. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine Kugel einen Formfehler hat, beträgt 3 %. Alle Kugeln werden vor dem Verpacken geprüft. Dabei werden 95 % der Kugeln mit Formfehler, 98 % der Kugeln mit Größenfehler, aber auch 0,5 % der Kugeln ohne Fehler aussortiert.
c) Stellen Sie den Sachzusammenhang in einem beschrifteten Baumdiagramm dar.
d) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine aussortierte Kugel keinen Formfehler hat.
c)
Baumdiagramm:
1. Zweig: Art des Fehlers
- Wahrscheinlichkeit für Formfehler \( P(F) = 0,03 \)
- Wahrscheinlichkeit für Größenfehler \( P(G) = 1 - 0,03 = 0,97 \)
2. Zweig: Aussortieren der Kugeln
- Für Kugel mit Formfehler \( P(A|F) = 0,95 \)
- Für Kugel mit Größenfehler \( P(A|G) = 0,98 \)
- Für Kugel ohne Fehler \( P(A|N) = 0,005 \)
Das Baumdiagramm zeigt die Wahrscheinlichkeiten für die Kombinationen von Fehlerarten und Aussortierungsereignissen.
d)
Um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, dass eine aussortierte Kugel keinen Formfehler hat, verwenden wir den Satz von Bayes:
\[ P(F|A) = \frac{P(A|F) \cdot P(F)}{P(A|F) \cdot P(F) + P(A|G) \cdot P(G) + P(A|N)} \]
Einsetzen der gegebenen Werte:
\[ P(F|A) = \frac{0,95 \times 0,03}{0,95 \times 0,03 + 0,98 \times 0,97 + 0,005} = 0,028\]
Um die Wahrscheinlichkeit zu bestimmen, dass eine aussortierte Kugel KEINEN Formfehler hat, berechnen wir:
\[ P(\neg F|A) = 1 - P(F|A) = 0,972 \]
Aufgrund zunehmender Reklamationen wird vermutet, dass der Anteil der fehlerhaften Kugeln über 4 % angestiegen ist. Um diese Vermutung zu prüfen, soll die Nullhypothese „Der Anteil der fehlerhaften Kugeln beträgt höchstens 4 %.“ auf der Grundlage einer Stichprobe von 500 Kugeln getestet werden. Wenn das Ergebnis des Tests die Vermutung nicht entkräftet, soll die Produktion unterbrochen werden, um die Maschinen zu warten. Das Risiko, die Produktion irrtümlich zu unterbrechen, soll höchstens 3 % betragen.
e) Beschreiben Sie für diesen Test im Sachzusammenhang den Fehler zweiter Art. Geben Sie die Konsequenz an, die sich aus diesem Fehler für die Produktion ergeben würde. (3 BE)
f) Für den beschriebenen Test wird der Ablehnungsbereich betrachtet. Eine der beiden Grenzen dieses Ablehnungsbereichs ist größer als 0 und kleiner als 500; diese Grenze wird mit k bezeichnet. Zur Bestimmung des Werts von k soll die binomial-verteilte Zufallsgröße \( Y \) mit den Parametern \( n = 500 \) und \( p = 0,04 \) verwendet werden. Begründen Sie, dass keine der beiden Ungleichungen I und II den korrekten Wert von k liefert.
I) \( P(Y \leq k) \leq 0,03 \)
II) \( P(Y \leq k) \geq 0,97 \)
g) Die Kugeln werden in Packungen verkauft. Ein Teil der verkauften Packungen wird zurückgegeben. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine verkaufte Packung zurückgegeben wird, beträgt 3 %. Dem Unternehmen entsteht pro Packung, die zurückgegeben wird, ein Verlust von 5,80 Euro; pro Packung, die nicht zurückgegeben wird, erzielt das Unternehmen einen Gewinn von 8,30 Euro. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, mit der das Unternehmen bei einem Verkauf von 200 Packungen einen Gesamtgewinn von mindestens 1500 Euro erzielt.
e)
Fehler zweiter Art beschreiben und Konsequenzen für die Produktion angeben.
Fehler zweiter Art (Fehler 2. Art oder \(\beta\)-Fehler):
- Ein Fehler zweiter Art tritt auf, wenn die Nullhypothese nicht abgelehnt wird, obwohl sie falsch ist.
- In diesem Kontext: Der Test zeigt, dass der Anteil der fehlerhaften Kugeln unter 4 % liegt und die Produktion nicht unterbrochen wird, obwohl der tatsächliche Anteil der fehlerhaften Kugeln über 4 % liegt.
Konsequenz für die Produktion:
- Fortführung der Produktion trotz zu hoher Fehlerquote.
- Erhöhte Anzahl an Kundenreklamationen.
- Möglicher Imageverlust des Unternehmens.
f)
Ablehnungsbereich für den beschriebenen Test bestimmen.
Gegeben:
\( n = 500 \) (Anzahl der getesteten Kugeln)
\( p = 0,04 \) (Wahrscheinlichkeit eines Fehlers)
Erwarteter Wert:
\[ E(Y) = n \times p = 500 \times 0,04 = 20 \]
Ablehnungsbereich:
- Gesucht sind Werte \( k \), sodass:
\[ P(Y \leq k) \leq 0,03 \]
\[ P(Y \geq k) \geq 0,97 \]
- Diese Werte von \( k \) geben die Grenzen an, innerhalb derer die Nullhypothese abgelehnt wird.
g)
Erstellung eines Modells:
Wir benennen:
- \( X \) als Anzahl der zurückgegebenen Packungen.
- \( n \) als Gesamtzahl der verkauften Packungen, also \( n = 200 \).
Der Gewinn pro Packung, die nicht zurückgegeben wird, beträgt 8,30 Euro und der Verlust für jede zurückgegebene Packung beträgt 5,80 Euro.
Wenn \( x \) Packungen zurückgegeben werden, dann \( n - x \) Packungen werden nicht zurückgegeben.
Gesamtgewinn, \( G \), wird gegeben durch:
\[ G = 8.30(n - x) - 5.80x \]
Einsetzen von \( n = 200 \):
\[ G = 8.30(200 - x) - 5.80x \]
Gesucht wird die Wahrscheinlichkeit \( P(G \geq 1500) \).
Bestimmen von \( x \) für \( G \geq 1500 \):
\[ 8.30(200 - x) - 5.80x \geq 1500 \]
Diese Ungleichung muss jetzt gelöst werden, um den Wert von \( x \) zu bestimmen.
Berechnung:
\[ 1660 - 8.30x - 5.80x \geq 1500 \]
Zusammenfassen der \( x \)-Terme:
\[ -14.10x \geq -160 \]
Teilen beider Seiten durch -14.10 und das Vorzeichen der Ungleichung wechseln:
\[ x \leq 11.35 \]
Da \( x \) nur ganzzahlige Werte (Anzahl der Packungen) annehmen kann, muss \( x \leq 11 \) sein.
Verwenden der Binomialverteilung:
Da die Wahrscheinlichkeit, dass eine Packung zurückgegeben wird, 3% beträgt, können wir die Binomialverteilung verwenden, um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, dass 11 oder weniger Packungen zurückgegeben werden.
\[ P(X \leq 11) = \sum_{k=0}^{11} \binom{200}{k} (0.03)^k (0.97)^{200-k} = 0,9816\]
Dieser Wert ist die Wahrscheinlichkeit, mit der das Unternehmen bei einem Verkauf von 200 Packungen einen Gesamtgewinn von mindestens 1500 Euro erzielt.
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