Mischungskreuz: berechnen & Beispiele

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Jedoch ergibt sich die Frage, wie viel von jeder der beiden Ausgangslösungen Du nehmen musst, um die erwünschte Stoffmengenkonzentration (oder auch "Wunschkonzentration") in der Mischung zu erhalten. Dazu ermittelst Du das Verhältnis der nötigen Volumina der beiden Ausgangslösungen mithilfe des Mischungskreuzes.

Mischungskreuz – Funktionsweise und berechnen

Stell Dir vor, Du hast zwei Lösungen vor Dir. In beiden Lösungen ist ein Stoff in unterschiedlichen Konzentrationen gelöst. Die Konzentration des Stoffes in Lösung 1 bezeichnest Du als c₁, die in Lösung 2 als c₂. Du möchtest nun durch Mischen der beiden Flüssigkeiten eine Lösung erhalten, die eine genau definierte Konzentration des Stoffes enthält. Diese Konzentration wird als c_M (M für Mischung) bezeichnet. Um zu wissen, wie viel Volumen der beiden Ausgangslösungen Du mischen musst, erstellst Du ein Mischungskreuz (Abbildung 1).

Mischungskreuz Schema StudySmarter Abb. 1: Erster Schritt: Konzentrationen im Kreuzschema notieren.

Dabei sind die Ausgangskonzentrationen c₁ und c₂ über Pfeile mit der mittig angeordneten Mischungskonzentration c_M verbunden. Die Pfeile bedeuten, dass Du die Ausgangskonzentration jeweils von der Mischungskonzentration abziehst. So schreibst Du an das Ende des blauen Pfeils Mischungskreuz Formel Erklärung StudySmarter . Den Ausdruck setzt Du in Betragsstriche, da Du ein negatives Ergebnis erhalten würdest, wenn c_M kleiner ist als c₂. An das Ende des roten Pfeils trägst Du analog den ein.

Dann sieht es folgendermaßen aus:

Mischungskreuz Mischungskreuz Schema StudySmarter Abbildung 2: Zweiter Schritt: Differenzen entlang der Pfeile bilden

Um jetzt auf das richtige Volumenverhältnis zu errechnen, dividierst Du die beiden Differenzen. Dabei gilt:

$\frac{c_{2}}{c_{1}} = \frac{V_{1}}{V_{2}}$

Setzt Du die Beträge nun in die obige Formel ein, erhältst Du:

Mischungskreuz Formel StudySmarter oder Mischungskreuz Formel Erklärung StudySmarter

Wenn gegeben ist, welches Volumen die Mischung haben soll, kann man mithilfe des ermittelten Volumenverhältnisses dann auch die hinzuzugebenden Volumina von Lösung 1 und Lösung 2 berechnen.

Du hast zwei Lösungen, die Kalium enthalten. Die erste Lösung hat eine Kaliumkationenkonzentration von 0,3 $\frac{m o l}{L}$ , die zweite von 0,7 $\frac{m o l}{L}$ .

Mit den Ausgangslösungen sollst Du nun 400 mL (0,4 L) Lösung mit einer Kaliumkationenkonzentration von0,4 $\frac{m o l}{L}$ herstellen.

Wie viel Liter der ersten und der zweiten Lösung musst Du miteinander mischen?

Schritt 1: Konzentrationen notieren

c₁ = 0,3 $\frac{m o l}{L}$ c₂ = 0,7 $\frac{m o l}{L}$ c_M = 0,4 $\frac{m o l}{L}$

Schritt 2: Differenzen bilden:

$|c_{M} - c_{1}| = |0, 4 \frac{m o l}{L} - 0, 3 \frac{m o l}{L}| = |0, 1 \frac{m o l}{L}| = 0, 1 \frac{m o l}{L}$

$|c_{M} - c_{2}| = |0, 4 \frac{m o l}{L} - 0, 7 \frac{m o l}{L}| = |- 0, 3 \frac{m o l}{L}| = 0, 3 \frac{m o l}{L}$

Die Wunschkonzentration muss immer zwischen c₁ und c₂ liegen. Höhere oder niedrigere Konzentration als die der Ausgangslösungen können durch Mischen nicht erreicht werden.

Schritt 3: Volumenverhältnis berechnen

$\frac{|c_{M} - c_{1}|}{|c_{M} - c_{2}|} = \frac{0, 1 \frac{m o l}{L}}{0, 3 \frac{m o l}{L}} = \frac{1}{3} = \frac{V_{2}}{V_{1}}$

Diese Gleichung kannst Du dann nach Mischungskreuz Formel Erklärung StudySmarter oder umstellen:

Mischungskreuz Volumen berechnen StudySmarter

Man benötigt also für die gewünschte Stoffmengenkonzentration dreimal so viel von Lösung 2 wie von Lösung 1.

Oder anders gesagt: Man braucht für die gewünschte Stoffmengenkonzentration nur ein Drittel des Volumens von Lösung 1 im Vergleich zu Lösung 2. Insgesamt benötigt man also mehr von Lösung 2.

Schritt 4: Genaue Volumina berechnen

Jetzt sollst Du oft ein definiertes Volumen der Mischung herstellen. Laut Aufgabenstellung sind 0,4 L der Mischung gefordert. Damit kannst Du ausrechnen, wie viel Volumen der Ausgangslösungen Du benötigst.

$V_{1} + V_{2} = 0, 4 L$

Dabei erhältst Du durch Einsetzen des obigen Ergebnisses, dass V₁ = 3V₂gilt:

$V_{1} + V_{2} = 0, 4 L | E i n s e t z e n v o n V_{1} = 3 V_{2} (E r g e b n i s a u s S c h r i t t 3) 3 V_{2} + V_{2} = 0, 4 L | l i n k e S e i t e z u s a m m e n f a s s e n 4 V_{2} = 0, 4 L | : 4 V_{2} = 0, 1 L$

Die Mischung soll nach Aufgabenstellung ein Volumen von 0,4 L haben. Aus Schritt 4 hat sich ergeben, dass man dazu 0,1 L von Lösung 1 hinzugeben muss. Also muss man 0,3 L von Lösung 2 hinzugeben, genauer gesagt gilt: V₁ = 0,3 L.

Folglich musst Du 0,3 L von Lösung 1 mit 0,1 L von Lösung 2 miteinander vermischen.

Grundsätzlich ist das Mischungskreuz eine gute Merkhilfe für die Rechenschritte, die Du durchführen musst, um die nötigen Volumina zu berechnen. Sobald Du nämlich das Volumenverhältnis berechnet hast, musst Du dies nur noch nach den Volumina umformen.

Mischungskreuz – Herleitung

Um die Formel des Mischungskreuzes herzuleiten, solltest Du folgenden Zusammenhang zwischen der Konzentration c, der Stoffmenge n und dem Volumen V anschauen:

data-custom-editor="chemistry" $c = \frac{n}{V}$

Die Konzentration ist also nichts anderes als die Stoffmenge pro Volumen. Da Du Dich beim Mischen von Lösungen vordergründig für die Konzentration der Mischung interessiert, solltest Du nun c_M betrachten. Dabei setzt sich das Volumen der Mischung aus denen der beiden Ausgangslösungen zusammen:

Genauso verhält es sich bei der Stoffmenge:

Mischungskreuz Konzentration StudySmarter

Jetzt gilt es nur noch umzuformen nach dem Volumenverhältnis:

c_{M} = \frac{c_{1} \times V_{1} + c_{2} \times V_{2}}{V_{1} + V_{2}} | \times (V_{1} + V_{2}) c_{M} \times (V_{1} + V_{2}) = c_{1} \times V_{1} + c_{2} \times V_{2} | l i n k e S e i t e a u s m u l t i p l i z i e r e n c_{M} \times V_{1} + c_{M} \times V_{2} = c_{1} \times V_{1} + c_{2} \times V_{2} | - (c_{1} \times V_{1}) | - (c_{M} \times V_{2}) c_{M} \times V_{1} - c_{1} \times V_{1} = c_{2} \times V_{2} - c_{M} \times V_{2} | l i n k s V_{1} u n d r e c h t s V_{2} a u s k l a m m e r n V_{1} \times (c_{M} - c_{1}) = V_{2} \times (c_{2} - c_{M}) | : (V_{2}) | : (c_{M} - c_{1}) \frac{V_{1}}{V_{2}} = \frac{c_{2} - c_{M}}{c_{M} - c_{1}}

Beachte hierbei, dass Du das Minuszeichen in der Differenz Mischungskreuz Formel Erklärung StudySmarter ausklammern kannst, dann erhältst Du;

Mischungskreuz Volumenverhältnis StudySmarter

Da die Mischungskonzentration c_M immer zwischen den beiden Ausgangskonzentrationen liegen muss, würde entweder Zähler oder Nenner des Bruchs negativ werden. Der daraus resultierende negative Bruch wird durch das voranstehende Minuszeichen wieder positiv. Das negative Vorzeichen des Bruchs kannst Du jedoch auch weglassen und dafür einfach Betragsstriche um die Ausdrücke in Zähler und Nenner setzen. So bleibt das Ergebnis positiv.

Mischungskreuz Volumenverhältnis StudySmarter

Damit hast Du die Formel hinter dem Mischungskreuz hergeleitet! Das Mischungskreuz selbst dient einfach nur der Veranschaulichung dieser Formel, damit Du sie Dir besser merken kannst.

Mischungskreuz - Das Wichtigste

Mithilfe des Mischungskreuzes kannst Du leicht ausrechnen, wie viel Du von zwei unterschiedlich konzentrierten Lösungen mischen musst, um eine Lösung mit einer definierten Konzentration zu erhalten.
Das Mischungskreuz hilft Dir, die richtige Formel aufzustellen.
Mit der Formel kannst Du das Volumenverhältnis der beiden Ausgangslösungen berechnen.
Wenn Du weißt, wie viel einer Mischung Du herstellen sollst, kannst Du aus dem Volumenverhältnis die benötigten Volumina der Ausgangslösungen berechnen.

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Wie funktioniert das Mischungskreuz?

Beim Mischungskreuz ziehst du die Konzentrationen der beiden Ausgangslösungen von der gewünschten Konzentration der Mischung ab.

Das machst du, um in darauf folgenden Schritten zu berechnen, in welchem Verhältnis du eine Litermenge von Lösung 1 zu Lösung 2 nimmst.

Dabei merkt man sich den Schritt am besten, wenn man sich die Konzentrationen in Form eines Kreuzes anordnet, deshalb ,,Mischungskreuz".

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