Arrhenius-Gleichung

Berechnung von Messreihen mit mehr als einer Reaktion

Für Aufgaben, die Dir vielleicht mal in der Schule begegnen, ist die Formel, die zwei Temperaturen und auch zwei Geschwindigkeitskonstanten beinhalten, wichtig. Damit kannst Du Messreihen mit mehr als einer Reaktion schneller und einfacher berechnen.

Herleitung

Wenn Du zwei verschiedene Gleichgewichtskonstanten k₁ und k₂ gemessen hast, die eventuell auch noch bei unterschiedlichen Temperaturen abgelaufen sind, dann benötigst Du eine Umstellung der Arrhenius-Gleichung, um die Aktivierungsenergie einfacher zu berechnen. Du kannst die Gleichung auch gut verwenden, wenn Du die Aktivierungsenergie kennst und wissen willst, wie sich die Geschwindigkeitskonstante von einer Temperatur T₁ auf eine neue Temperatur T₂ ändert. Hierfür solltest Du annehmen, dass der Stoßfaktor A ungefähr konstant bleibt.

Angefangen mit zwei gleichen Arrhenius-Gleichungen:

$$\begin{gathered} \left(1\right){\mathrm{k}}_1=\mathrm{A}\times {\mathrm{e}}^{\frac{-{\mathrm{E}}_{\mathrm{A}}}{\mathrm{R}\times {\mathrm{T}}_1}} \\ \left(2\right){\mathrm{k}}_2=\mathrm{A}\times {\mathrm{e}}^{\frac{-{\mathrm{E}}_{\mathrm{A}}}{\mathrm{R}\times {\mathrm{T}}_2}} \end{gathered}$$

Von diesen musst Du dann den natürlichen Logarithmus ziehen:

$$\begin{gathered} (1\text{'})\ln \left({\mathrm{k}}_1\right)=\ln \left(\mathrm{A}\right)-\frac{{\mathrm{E}}_{\mathrm{A}}}{\mathrm{R}\times {\mathrm{T}}_1} \\ (2\text{'})\ln \left({\mathrm{k}}_2\right)=\ln \left(\mathrm{A}\right)-\frac{{\mathrm{E}}_{\mathrm{A}}}{\mathrm{R}\times {\mathrm{T}}_2} \end{gathered}$$

Daraufhin musst Du einfach nur die erste Gleichung (1') von der zweiten Gleichung (2') abziehen. Das sieht dann so aus:

$$\begin{gathered} (2\text{'})-(1\text{'}): \\ \ln \left({\mathrm{k}}_2\right)-\ln \left({\mathrm{k}}_1\right)=\ln \left(\mathrm{A}\right)-\frac{{\mathrm{E}}_{\mathrm{A}}}{\mathrm{R}\times {\mathrm{T}}_2}-\ln \left(\mathrm{A}\right)+\frac{{\mathrm{E}}_{\mathrm{A}}}{\mathrm{R}\times {\mathrm{T}}_1} \end{gathered}$$

Diese Aufstellung kannst Du dann noch vereinfachen, indem Du den natürlichen Logarithmus zusammenfasst und ausklammerst:

$$\begin{gathered} \ln \left(\frac{k_2}{k_1}\right)=-\frac{{\mathrm{E}}_{\mathrm{A}}}{\mathrm{R}\times {\mathrm{T}}_2}+\frac{{\mathrm{E}}_{\mathrm{A}}}{\mathrm{R}\times {\mathrm{T}}_1} \\ =\frac{{\mathrm{E}}_{\mathrm{A}}}{\mathrm{R}}\times (\frac{1}{{\mathrm{T}}_1}-\frac{1}{{\mathrm{T}}_2}) \end{gathered}$$

so kommst Du schlussendlich zu der Formel, die Du zur Berechnung nutzen kannst:

$\ln \left(\frac{{\mathrm{k}}_2}{{\mathrm{k}}_1}\right)=\frac{{\mathrm{E}}_{\mathrm{A}}}{\mathrm{R}}\times \left(\frac{1}{{\mathrm{T}}_1}-\frac{1}{{\mathrm{T}}_2}\right)$

Arrhenius-Gleichung einfach erklärt

Die theoretische Herleitung führt zu einer ebenso leicht verständlichen Formel.

Die notwendigen Voraussetzungen für eine erfolgreiche chemische Reaktion sind:

1. Die Partikel treffen sich in der richtigen Orientierung (dies ist im Präexponentialfaktor (A) enthalten),

2. Die Teilchen haben ausreichend Energie (diese ist im Exponentialfaktor (e) enthalten).

Die Teilchen müssen die Mindestenergie E_A, also die Aktivierungsenergie, besitzen.

Die Formel zeigt, dass je größer E_A ist, desto kleiner ist der Exponentialfaktor und daher, desto kleiner die Geschwindigkeitskonstante k(T), also desto langsamer die Reaktion ist.

Mit steigender Temperatur wird die chemische Reaktion schneller, denn dann ist mehr Wärme vorhanden. Wärme ist ja bekanntlich eine Form der Energie und diese wird dann in die Reaktion eingeführt und beschleunigt sie. Je mehr Energie in eine Reaktion gesteckt wird, respektive von den Reaktanden verbraucht werden kann, desto schneller reagieren diese miteinander.

Mit steigender Temperatur steigt der Exponentialfaktor, da T im Nenner ist und ein negatives Vorzeichen im Exponenten steht. Dadurch wird die Geschwindigkeitskonstante in Abhängigkeit von der Temperatur größer und die Reaktion schneller. Der Zweck der Arrhenius-Gleichung besteht darin, dieses erwartete Verhalten zu beschreiben.

Katalyse

Mit der Arrhenius-Gleichung kannst Du auch die Katalyse erklären.

Der Katalysator verändert die Reaktionsgeschwindigkeit, verändert aber nicht das Gleichgewicht der Edukte. So brauchst Du also bei einem Versuch nicht mehr oder weniger von einem bestimmten Edukt. Dies bedeutet, dass wenn ein Katalysator vorhanden ist, auch die Produktmenge am Ende gleich bleibt, die gebildet wird.

In der Arrhenius-Gleichung ändert der Katalysator die Aktivierungsenergie. Wenn ${\mathrm{E}}_{\mathrm{A}}$ kleiner wird, wird ${\mathrm{e}}^{-\frac{{\mathrm{E}}_{\mathrm{A}}}{\mathrm{R}\times \mathrm{T}}}$ größer, sodass die Geschwindigkeitskonstante größer wird. Das bedeutet, dass die Reaktion schneller abläuft.

Grundsätzlich gilt für die Arrhenius-Gleichung:

• Je kleiner die Geschwindigkeitskonstante, desto höher ist die Aktivierungsenergie
• Je höher die Geschwindigkeitskonstante, desto höher ist auch die Temperatur
• Je niedriger die Aktivierungsenergie, desto niedriger ist auch die Temperaturabhängigkeit der Reaktion
• Eine Reaktionsgeschwindigkeit, die eine hohe Aktivierungsenergie hat, ist auch stark temperaturabhängig.

Arrhenius-Gleichung: Beispiele

Übungsaufgaben zur Arrhenius-Gleichung

Aufgabe 1

Du hast eine Reaktion durchgeführt und hast dabei eine Temperatur von 310 K gemessen bei einer Reaktion mit einer Aktivierungsenergie von 35 $\frac{\mathrm{J}}{\mathrm{mol}}$ und einem Frequenzfaktor von 80 $\frac{1}{s}$. Errechne daraus die Geschwindigkeitskonstante.

Aufgabe 2

Bei 50 °C beträgt die Geschwindigkeitskonstante 10 $\frac{1}{s}$ und die Aktivierungsenergie 55,5 $\frac{\mathrm{kJ}}{\mathrm{mol}}$.

Welchen Wert hat die Geschwindigkeitskonstante bei 60 °C?

Aufgabe 3

Bei 35 °C hat die Geschwindigkeitskonstante einen Wert von 0,4 $\frac{1}{\mathrm{s}}$ und bei 50 °C beträgt die

Geschwindigkeitskonstante 5 $\frac{1}{\mathrm{s}}$. Berechne${\mathrm{E}}_{\mathrm{A}}$(in $\frac{\mathrm{kJ}}{\mathrm{mol}}$).

Lösungen zur Arrhenius-Gleichung

Lösung 1

Bei der ersten Aufgabe musst Du einfach die gegebenen Werte in die Formel einsetzen.

$k=A\times e^{-\frac{E_A}{R\times T}}=80\frac{1}{s}\times e^{-\frac{35\frac{J}{mol}}{8,314\frac{J}{mol\times K}\times 310K}}=80\frac{1}{s}\times 1,01=80,8\frac{1}{s}$

Lösung 2

Als allererstes sollte Dir im Idealfall aufgefallen sein, dass die Temperatur hier in °C und nicht in Kelvin angegeben wurde. Also sollte der erste Schritt zunächst sein, die Temperatur umzurechnen. Dazu addierst Du zu dem Celsius-Betrag einfach 273,15.

$$\begin{gathered} 50+273,15=323,15 \\ 60+273,15=333,15 \end{gathered}$$

Deine neuen Werte für die Temperatur sind also 323,15K und 333,15K.

Spätestens bei dem Ansatz sollte Dir auch auffallen, dass manche Werte mit Kilojoule und manche Werte nur in Joule angegeben wurden. Hier bietet es sich an, einfach die Kilojoule Werte in Joule umzurechnen. Dazu musst Du die Werte nur mit 1000 multiplizieren. Das kannst Du bei Umrechnungen von Kilo in die Ausgangsform immer so handhaben.

$55,5kJ\times 1000\frac{J}{kJ}=55500J$

Hier kommt nun die Gleichung ins Spiel, in der es jeweils zwei Werte für die Temperatur und für die Gleichgewichtskonstante gibt. Dort kannst Du einfach einsetzen.

$$\begin{gathered} \ln \left(\frac{k_2}{k_1}\right)=\frac{E_A}{R}\times \left(\frac{1}{T_1}-\frac{1}{T_2}\right) \\ \Rightarrow \ln \left(\frac{k_2}{k_1}\right)=\frac{55500\frac{J}{mol}}{8,314\frac{J}{mol\times K}}\times \left(\frac{1}{323,15K}-\frac{1}{333,15K}\right) \\ \iff \ln \left(\frac{k_2}{k_1}\right)=6675,487K\times (0,0000929\frac{1}{K}) \\ \iff \ln \left(\frac{k_2}{k_1}\right)=0.62 \end{gathered}$$

Um jetzt den "ln" wegzubekommen, musst Du einfach nur die Euler'sche Zahl von beiden Seiten nehmen.

$$\begin{gathered} \ln \left(\frac{k_2}{k_1}\right)=0,62 \\ \iff \left(\frac{k_2}{k_1}\right)=e^{0,62} \\ \iff \left(\frac{k_2}{k_1}\right)=1,86 \end{gathered}$$

Da Du eine Geschwindigkeitskonstante hast, kannst Du diese auch einsetzen und ganz einfach umformen, um dann weiterzurechnen.

$$\begin{gathered} \left(\frac{k_2}{k_1}\right)=1,86 \\ \Rightarrow \left(\frac{k_2}{10\frac{1}{s}}\right)=1,86\parallel \times 10\frac{1}{s} \\ \iff k_2=18,6\frac{1}{s} \end{gathered}$$

Und so hast Du auch schon Deine zweite Geschwindigkeitskonstante ausgerechnet. Dabei wurde der Wert auf die 1. Nachkommastelle gerundet und beträgt damit: ${\mathrm{k}}_2=18,6\frac{1}{s}$

Lösung 3

Auch hier musst Du zunächst erst wieder die Temperatur umrechnen.

$$\begin{gathered} 35+273,15=308,15 \\ 50+273,15=323,15 \end{gathered}$$

Da Du wieder zwei Angaben zu den Temperaturen und den Geschwindigkeitskonstanten hast, musst Du wieder die zweite Formel benutzen.

Es wird nach E_A gesucht, daher bietet es sich an, die Formel einmal nach E_A umzustellen.

$$\begin{gathered} \ln \left(\frac{k_2}{k_1}\right)=\frac{E_A}{R}\times \left(\frac{1}{T_1}-\frac{1}{T_2}\right)\parallel ÷\left(\frac{1}{T_1}-\frac{1}{T_2}\right) \\ \iff \ln \left(\frac{k_2}{k_1}\right)÷\left(\frac{1}{T_1}-\frac{1}{T_2}\right)=\frac{E_A}{R}\parallel \times R \\ \iff \frac{\ln \left(\frac{k_2}{k_1}\right)}{\left(\frac{1}{T_1}-\frac{1}{T_2}\right)}\times R=E_A \end{gathered}$$

Jetzt kannst Du Deine gegebenen Werte einfach in die Gleichung einsetzen und ausrechnen.

$$\begin{gathered} E_A=\frac{\ln \left(\frac{k_2}{k_1}\right)}{\left(\frac{1}{T_1}-\frac{1}{T_2}\right)}\times R \\ \Rightarrow E_A=\frac{\ln \left(\frac{5\frac{1}{s}}{0,4\frac{1}{s}}\right)}{\left(\frac{1}{308,15K}-\frac{1}{323,15K}\right)}\times 8,314\frac{J}{mol\times K} \\ \iff E_A=139402,89\frac{J}{mol} \\ \Rightarrow 139402,89J=139,40\frac{kJ}{mol} \end{gathered}$$

Da eine recht große Zahl am Ende rauskommt und es auch so in der Aufgabenstellung vorgegeben ist, kannst Du das Gleiche machen, wie bei Aufgabe zwei, nur dieses Mal umgekehrt. Du kannst den Joule-Wert mit 1000 dividieren und erhältst so den Kilojoule-Wert.

Indem Du auf zwei Nachkommastellen rundest, erhältst Du Dein Ergebnis von ${\mathrm{E}}_{\mathrm{A}}=139,40\frac{\mathrm{kJ}}{\mathrm{mol}}$.