Löslichkeitsprodukt: Berechnung & Definition

Springe zu einem wichtigen Kapitel

Genau das beschreibt das Löslichkeitsprodukt!

Löslichkeitsprodukt – Definition

Das Löslichkeitsprodukt gibt an, wie groß die maximale Menge an Salz ist, die sich in einem Lösungsmittel auflöst. Es wird auch als K_L-Wert angegeben.

Wichtig ist, dass es sich hierbei immer um die maximale Löslichkeit bei einer konkreten Temperatur handelt. Je nach Temperatur unterscheiden sich die Löslichkeitsprodukte desselben Salzes.Neben leicht löslichen Salzen, wie dem Natriumchlorid (auch als Kochsalz bekannt), gibt es auch schwer lösliche Salze.

Löslichkeitsprodukte	Löslichkeit
K_L ist groß	Salz löst sich leicht
K_L ist klein	Salz löst sich schwer

Herleitung des Löslichkeitsprodukts

Hergeleitet wird das Löslichkeitsprodukt aus der Anwendung des Massenwirkungsgesetzes auf eine Dissoziationsreaktion eines Salzes.Mithilfe des Massenwirkungsgesetzes erhält man die Gleichgewichtskonstante K, die angibt, auf welcher Seite der Reaktionsgleichung das chemische Gleichgewicht liegt.

Die allgemeine Reaktionsgleichung für Salze, die in Wasser ionisiert werden, lautet:

${AB}_{(s)} ⇌ {A^{+}}_{(aq)} + {B^{-}}_{(aq)}$

Dabei steht "AB" für das Salz, das im Wasser zu den Kationen "A⁺" und den Anionen "B^-" dissoziiert.

dissoziieren = sich auflösen, trennen

Das "s" (s: engl.: solid = fest) im Index des Salzes steht für die feste Form, in der das Salz vorliegt. Da die Ionen im Wasser gelöst vorliegen, steht im Index des Kations, sowie des Anions, "aq" (aq: lat.: aqua = Wasser).Diese Dissoziationsreaktion ist eine Gleichgewichtsreaktion, worauf der Gleichgewichtspfeil hindeutet.

Wie schon erwähnt wird das Löslichkeitsprodukt aus dem Massenwirkungsgesetz hergeleitet. Dieses lautet bei der allgemeinen Reaktionsgleichung zur Lösung von Salzen folgendermaßen:

$K = \frac{c (A^{+}) \times c (B^{-})}{c (AB)}$

Die Konzentration des Feststoffes c(AB) wird hier näherungsweise als konstant angesehen. Um beide Konstanten auf eine Seite der Gleichung zu bringen, multiplizierst Du die ganze Gleichung mit der Konzentration des Salzes.

$K = \frac{c (A^{+}) \times c (B^{-})}{c (AB)} \times c (AB) K \times c (AB) = c (A^{+}) \times c (B^{-})$

Das Produkt der Gleichgewichtskonstanten K und der Konzentration des Feststoffes (c(AB)) fasst man unter der neuen Konstanten K_L zusammen. Die Löslichkeit wird mit dem Buchstaben L abgekürzt, sodass das Löslichkeitsprodukt als K_L bezeichnet wird.

$K_{L} (AB) = c (A^{+}) \times c (B^{-})$

Beachtung der Stöchiometrie beim Löslichkeitsprodukt

Neben Salzen, die sich in der Form der allgemeinen Gleichung $AB ⇌ A^{+} + B^{-}$ lösen, gibt es natürlich auch Salze, die nicht so leicht aufgebaut sind.

Für diese Salze gilt folgende allgemeine Gleichung zur Lösung:

$A_{m} B_{n} ⇌ m \times A^{n +} + n \times B^{m -}$

Dadurch ergibt sich, mithilfe des Massenwirkungsgesetzes, ein Löslichkeitsprodukt für diese allgemeine Reaktionsgleichung von folgender Form:

$K = \frac{c^{m} (A^{n +}) \times c^{n} (B^{m -})}{c (A_{m} B_{n})} \times c (A_{m} B_{n}) K_{L} (A_{m} B_{n}) = c^{m} (A^{n +}) \times c^{n} (B^{m -})$

$K_{L} (A_{m} B_{n}) = c^{m} (A^{n +}) \times c^{n} (B^{m -})$

Teilweise benutzt man, wie bei der Säurekonstanten, auch den negativen dekadischen Logarithmus (negativer Zehnerlogarithmus) zur Darstellung des Löslichkeitsprodukts. In diesem Fall wird das Löslichkeitsprodukt auch als pK_L Wert bezeichnet.

Molare Löslichkeit L

Mithilfe des Löslichkeitsprodukts K_L kann man auch die sogenannte molare Löslichkeit L berechnen. Diese gibt die Konzentration des Salzes in einer gesättigten Lösung an. Dabei muss die Lösung des Salzes folgende Form besitzen:

$A_{m} B_{n} ⇌ m \times A^{n +} + n \times B^{m -}$

Die molare Löslichkeit kann man mit einer der folgenden Formeln berechnen:

$L (A_{m} B_{n}) = \frac{c (A^{n +})}{m} = \frac{c (B^{m -})}{n} = \sqrt[n + m]{\frac{K_{L}}{n^{n} \times m^{m}}}$

Berechnung (mithilfe) des Löslichkeitsprodukts

Mithilfe des Löslichkeitsprodukts kannst Du berechnen, wie viel eines Salzes maximal in einer Lösung gelöst werden kann. Andersherum kannst Du auch das Löslichkeitsprodukt bestimmen, wenn Du weißt, wie viel Du von Deinem Salz gelöst hast.

Bei allen beispielhaften Berechnungen rechnet man mit Löslichkeitsprodukten bei einer Temperatur von 25° Celsius.

Berechnung des Löslichkeitsprodukts eines Salzes

In 500 ml Wasser lösen sich bei einer Temperatur von 25 °Celsius 0,475 Gramm Calciumsulfat. Wie groß ist das Löslichkeitsprodukt K_L?

Um das Löslichkeitsprodukt zu berechnen, benötigst Du die Konzentration an Calciumsulfat, die sich maximal in Wasser löst.

$c = \frac{n}{V}$

Da Du die Konzentration von Calciumsulfat in einem Liter Wasser berechnest, hast Du das Volumen gegeben. Die Stoffmenge n erhält man mit folgender Formel:

$n = \frac{m}{M}$

Die molare Masse von Calciumsulfat (CaSO₄) beträgt 136 $\frac{g}{mol}$ . Und die Masse an Calciumsulfat, die sich maximal in einem Liter Wasser löst, beträgt 0,95 Gramm.

$n ({CaSO}_{4}) = \frac{0, 95 g}{136 \frac{g}{mol}} \approx 0, 007 mol$

${CaSO}_{4}_{(s)} ⇌ {Ca}^{2 +}_{(aq)} + {SO}_{4}^{2 -}_{(aq)}$

Das heißt, es lösen sich sowohl 0,007 mol Calciumionen, als auch 0,007 mol Sulfationen in einem Liter Wasser.

$c ({Ca}^{2 +}) = \frac{0, 007 mol}{1 l} = 0, 007 \frac{mol}{l}$

$c ({SO}_{4}^{2 -}) = \frac{0, 007 mol}{1 l} = 0, 007 \frac{mol}{l}$

Nun kann die Formel des Löslichkeitsprodukts aufgestellt werden:

$K_{L} ({CaSO}_{4}) = c ({Ca}^{2 +}) \times c ({SO}_{4}^{2 -}) = 0, 007 \frac{mol}{l} \times 0, 007 \frac{mol}{l} = 0, 000049 \frac{{mol}^{2}}{l^{2}}$

Das Löslichkeitsprodukt von Calciumsulfat lautet bei einer Temperatur von 25 °Celsius $4, 9 \times 10^{- 5} \frac{{mol}^{2}}{l^{2}}$ .

Berechnung der maximal löslichen Konzentration eines Salzes

Berechnung der Löslichkeit bei bekanntem Löslichkeitsprodukt K_L von Silberchlorid.

Das Löslichkeitsprodukt von Silberchlorid beträgt $1, 6 \times 10^{- 10} \frac{{mol}^{2}}{l^{2}}$ .Die chemische Gleichung der Dissoziation lautet:

$AgCl ⇌ {Ag}^{+} + {Cl}^{-}$

Silberchlorid bildet in Lösung zu gleichem Anteil Silberionen und Chloridionen. Das heißt, die Konzentration der Silberionen entspricht auch der Konzentration der Chloridionen.

Aufgrund dessen kann man das Löslichkeitsprodukt folgendermaßen umformen:

$K_{L} (AgCl) = c ({Ag}^{+}) \times c ({Cl}^{-}) = 1, 6 \times 10^{- 10} \frac{{mol}^{2}}{l^{2}} c ({Ag}^{+}) = c ({Cl}^{-}) K_{L} (AgCl) = c^{2} ({Ag}^{+}) = 1, 6 \times 10^{- 10} \frac{{mol}^{2}}{l^{2}} c ({Ag}^{+}) = \sqrt{1, 6 \times 10^{- 10} \frac{{mol}^{2}}{l^{2}}} = 1, 0000126 \frac{mol}{l} = 1, 26 \times 10^{- 5} \frac{mol}{l} c ({Ag}^{+}) = c ({Cl}^{-}) = 1, 26 \times 10^{- 5} \frac{mol}{l}$

Da aus einer Silberchlorid-Verbindung genau ein Silberion entsteht, kann auch maximal $1, 26 \times 10^{- 5} \frac{mol}{l}$ Silberchlorid in Wasser gelöst werden.

Berechnung der maximal löslichen Masse eines Salzes

Im ersten Schritt hast Du die maximal lösliche Konzentration an Silberchlorid berechnet. Mithilfe der maximal löslichen Konzentration kann man die maximal lösliche Masse an Silberchlorid in einem Liter Wasser berechnen.

Zur Berechnung der Konzentration eines Stoffes nutzt man folgende Formel:

$c = \frac{n}{V} Konzentration = \frac{Stoffmenge}{Volumen}$

Außerdem kann man die Stoffmenge mit folgender Formel berechnen:

$n = \frac{m}{M}$

$Stoffmenge = \frac{Masse}{Molare Masse}$

Fügt man die Formel zur Berechnung der Stoffmenge in die zur Konzentrationsberechnung ein, erhält man:

$c = \frac{\frac{m}{M}}{V}$

Multipliziert man die Formel mit der Molaren Masse M so wird klar, dass die Löslichkeit sowohl durch die Division der Masse durch das Volumen berechnet werden kann, aber auch durch die Multiplikation der Konzentration und der molaren Masse.

$c = \frac{\frac{m}{M}}{V} \times M c \times M = \frac{m}{V}$

Da Du die maximale Konzentration des Silberchlorids in Wasser schon berechnet hast ( $1, 26 \times 10^{- 5} \frac{mol}{l}$ ), brauchst Du nur noch die molare Masse von Silberchlorid zu berechnen. Diese beträgt bei Silberchlorid $143 \frac{g}{mol}$ .

Die molare Masse kannst Du mithilfe des Periodensystems der Elemente berechnen. Dort findest Du die molaren Massen der einzelnen Elemente (meist in der rechten oberen Ecke der jeweiligen Elementkarte). Addierst Du die molaren Massen der Elemente, die in einer Verbindung vorkommen und multiplizierst sie mit der Anzahl an Atomen, die in dem Molekül enthalten sind, erhältst Du die molare Masse eines Moleküls.

Nun kannst Du die Konzentration des Silberchlorids mit der molaren Masse multiplizieren und erhältst die maximal lösliche Masse von Silberchlorid pro Liter.

$1, 26 \times 10^{- 5} \frac{mol}{l} \times 143 \frac{g}{mol} \approx 0, 0018 \frac{g}{l}$

Das heißt, mithilfe des Löslichkeitsprodukts kann man die maximal lösliche Masse eines Salzes berechnen.Im Falle des Silberchlorids sind maximal 0,0018 Gramm Silberchlorid pro Liter Wasser löslich.

Löslichkeitsprodukt – Tabelle

In der folgenden Tabelle siehst Du die Werte des Löslichkeitsprodukts für einige Salze bei einer Temperatur von 25° Celsius:

Name	Formel	Löslichkeitsprodukt
Bariumsulfat	BaSO₄	$10^{- 10} \frac{{mol}^{2}}{l^{2}}$
Calciumcarbonat	CaCO₃	$5 \times 10^{- 9} \frac{{mol}^{2}}{l^{2}}$
Calciumfluorid	CaF₂	$4 \times 10^{- 11} \frac{{mol}^{3}}{l^{3}}$
Calciumsulfat	CaSO₄	$4, 9 \times 10^{- 5} \frac{{mol}^{2}}{l^{2}}$
Eisen(II)hydroxid	Fe(OH)₂	$10^{- 15} \frac{{mol}^{2}}{l^{2}}$
Magnesiumhydroxid	Mg(OH)₂	$10^{- 11} \frac{{mol}^{3}}{l^{3}}$
Quecksilbersulfid	HgS	$10^{- 54} \frac{{mol}^{2}}{l^{2}}$
Silberchlorid	AgCl	$1, 6 \times 10^{- 10} \frac{{mol}^{2}}{l^{2}}$
Silbersulfid	Ag₂S	$6 \times 10^{- 51} \frac{{mol}^{3}}{l^{3}}$

Löslichkeitsprodukt – Temperaturabhängigkeiten

Das Löslichkeitsprodukt ist von der Temperatur abhängig. Aufgrund dessen sind Löslichkeitsprodukte immer für eine konkrete Temperatur angegeben. Das bedeutet, für das gleiche Salz gibt es unterschiedliche Löslichkeitsprodukte, für unterschiedliche Temperaturen.

Die meisten Löslichkeitstabellen werden für die Standardtemperatur 25° Celsius angegeben.

Wie sich das Löslichkeitsprodukt bei Erhöhung oder Erniedrigung der Temperatur verhält, hängt von der Löslichkeitsenthalpie ab.

Die Enthalpie allgemein gibt die abgegebene oder aufgenommene Wärmeenergie einer chemischen Reaktion an.

Die Löslichkeitsenthalpie gibt dementsprechend die abgegebene oder aufgenommene Wärmeenergie eines Stoffes, bei der Auflösung in einem Lösungsmittel, an.

Positive Löslichkeitsenthalpie (endotherme Reaktionen)

Eine positive Löslichkeitsenthalpie bedeutet, dass die Lösung während des Auflösens kälter wird, also Energie verbraucht. Das heißt, diese chemische Reaktion verläuft endotherm.

Bei endothermer Lösung von Salzen steigt das Löslichkeitsprodukt bei steigender Temperatur. Das bedeutet, bei steigender Temperatur erhöht sich auch die maximal lösliche Menge an Salz, das heißt mehr Salz kann im Lösungsmittel gelöst werden.

Negative Löslichkeitsenthalpie (exotherme Reaktionen)

Eine negative Löslichkeitsenthalpie bedeutet, dass die Lösung während des Auflösens wärmer oder heißer wird, also Energie freigibt. Das heißt, diese chemische Reaktion verläuft exotherm.

Bei exothermer Lösung von Salzen sinkt das Löslichkeitsprodukt bei steigender Temperatur. Bei steigender Temperatur sinkt also die maximal lösliche Menge an Salz. Somit kann weniger Salz im Lösungsmittel gelöst werden.

Löslichkeitsenthalpie ungefähr null

Bei einer Löslichkeitsenthalpie von ungefähr null ändert sich die Temperatur (fast) gar nicht. In diesem Fall ist die Dissoziationsreaktion dieser Salze kaum temperaturabhängig.

Zuführen gleichartiger Ionen

Gibt man zu einer Salzlösung gleichartige Ionen, von einer der beiden Ionensorten ( $A^{n +} oder B^{m -}$ ), hinzu, so wird die Lösung übersättigt.

Aufgrund dessen fällt so viel Salz aus, bis das Ionenprodukt wieder dem Löslichkeitsprodukt entspricht.

Gibt man zu einer gesättigten Silberchloridlösung (maximale Löslichkeit des Salzes ist erreicht) beispielsweise Kaliumchlorid hinzu, so erhöht sich die Konzentration der Chloridionen in der Lösung. Aufgrund dessen erhöht sich auch das Ionenprodukt, da das Ionenprodukt das Produkt der Chloridionenkonzentration und der Silberionenkonzentration ist.

Das Ionenprodukt entspricht hierbei nicht mehr dem Löslichkeitsprodukt.Nun fällt festes Silberchlorid aus, damit der Wert des Ionenprodukts wieder dem Löslichkeitsprodukt entspricht.

Löslichkeitsprodukt – Ionenprodukt

Das Ionenprodukt ist das Produkt der Ionenkonzentrationen in einer Lösung. Das Ionenprodukt ist, wie auch das Löslichkeitsprodukt, temperaturabhängig.

Ist die Lösung gesättigt, so entspricht das Ionenprodukt dem Löslichkeitsprodukt.

Oft wird das Ionenprodukt im Zusammenhang mit der Autoprotolyse des Wassers genannt. In diesem Fall bezeichnet man es als Ionenprodukt des Wassers.

Gesättigte Lösungen

Ist die maximale Menge an Salz in Wasser gelöst, so wird die Lösung als gesättigt bezeichnet. Alle Salzmoleküle liegen in ionisierter Form vor. Das Löslichkeitsprodukt entspricht in diesem Fall genau dem Ionenprodukt.

Ungesättigte Lösungen

Ist in der Lösung weniger Salz als maximal löslich wäre, so ist diese Lösung ungesättigt. Alle Salzmoleküle liegen in ionisierter Form vor. Das Ionenprodukt ist hierbei kleiner als das Löslichkeitsprodukt.

Übersättigte Lösungen

Überschreitet man die maximal lösliche Menge bei einer konkreten Temperatur, so löst sich nur ein Teil des Salzes und der Rest liegt in nichtionisierter Form vor. Man bezeichnet die Lösung als übersättigt. Das Ionenprodukt ist in diesem Fall größer als das Löslichkeitsprodukt.

Überblick

Ionenprodukt versus Löslichkeitsprodukt	Sättigung der Lösung
Ionenprodukt < Löslichkeitsprodukt	Lösung ist ungesättigt.
Ionenprodukt = Löslichkeitsprodukt	Lösung ist gesättigt.
Ionenprodukt > Löslichkeitsprodukt	Lösung ist übersättigt.

Löslichkeitsprodukt – Einheit

Wahrscheinlich ist Dir bei der Betrachtung der Löslichkeitstabelle aufgefallen, dass Löslichkeitsprodukte von unterschiedlichen Salzen teilweise unterschiedliche Einheiten besitzen. Der Grund für die unterschiedlichen Einheiten liegt bei der allgemeinen Formel zur Löslichkeit von Salzen:

A_{m} B_{n} ⇌ m \times A^{n +} + n \times B^{m -}

Die Einheit des Löslichkeitsprodukts hängt von den stöchiometrischen Koeffizienten ab.

Stöchiometrische Koeffizienten sind die Koeffizienten, die angeben, wie viele Teile von diesem Stoff reagieren. In der allgemeinen Formel zur Löslichkeit von Salzen gibt es zwei Koeffizienten.

Die Koeffizienten mit dem Wert 1 werden zur Vereinfachung weggelassen. Daher hat das Kation A den Koeffizienten "m" und das Anion B den Koeffizienten "n", während das Edukt $A_{m} B_{n}$ keinen Koeffizient besitzt.

Die Konzentration der Ionen des Salzes wird bei der Berechnung des Löslichkeitsprodukts mit den Koeffizienten potenziert, die Koeffizienten werden dann also zu den Exponenten.

$K_{L} = c^{m} (A^{n +}) \times c^{n} (B^{m -})$

Dadurch wird die Einheit der Konzentration ( $\frac{mol}{l}$ ) mit der Summe der Exponenten potenziert.

Silbersulfid:

${Ag}_{2} S ⇌ 2 {Ag}^{+} + S^{2 -}$

Das Löslichkeitsprodukt von Silbersulfid hat die Einheit $\frac{{mol}^{3}}{l^{3}}$ , da die Formel zur Berechnung des Löslichkeitsprodukts wie folgt lautet:

$K_{L} = c^{2} ({Ag}^{+}) \times c (S^{2 -})$

Die Summe der Exponenten ist hierbei drei, da die Konzentration der Silberionen ins Quadrat genommen wird und diese dann mit der Konzentration der Sulfid-Ionen multipliziert wird. Da die Konzentration die Einheit $\frac{mol}{l}$ hat, besitzt das Löslichkeitsprodukt von Silbersulfid die Einheit $\frac{{mol}^{3}}{l^{3}}$ .

Silberchlorid:

$AgCl ⇌ {Ag}^{+} + {Cl}^{-}$

Das Löslichkeitsprodukt von Silberchlorid hingegen hat die Einheit $\frac{{mol}^{2}}{l^{2}}$ , da die beiden Ionen keine Koeffizienten besitzen:

$K_{L} = c ({Ag}^{+}) \times c ({Cl}^{-})$

Wichtig ist hierbei, dass man Löslichkeitsprodukte von verschiedenen Salzen nur miteinander vergleichen kann, wenn diese dieselbe Einheit besitzen.

Löslichkeitsprodukt - Das Wichtigste

Das Löslichkeitsprodukt gibt an, wie groß die maximale Menge an Salz ist, die sich in einem Lösungsmittel auflöst.
Die Formel zur Berechnung des Löslichkeitsprodukts lautet: $K_{L} (A_{m} B_{n}) = c^{m} (A^{n +}) \times c^{n} (B^{m -})$
Das Löslichkeitsprodukt ist temperaturabhängig.
Es wird mithilfe des Massenwirkungsgesetzes hergeleitet.
Die Einheiten der Löslichkeitsprodukte verschiedener Salze unterscheiden sich, aufgrund der stöchiometrischen Koeffizienten.

Karteikarten in Löslichkeitsprodukt 2

Lerne jetzt

Lösungen mit der maximalen Menge an Salz bezeichnet man als ...

gesättigt.

Das Ionenprodukt bei ungesättigten Lösungen ...

ist kleiner als das Löslichkeitsprodukt.

Lerne mit 2 Löslichkeitsprodukt Karteikarten in der kostenlosen StudySmarter App

Mit E-Mail registrieren

Du hast bereits ein Konto? Anmelden

Häufig gestellte Fragen zum Thema Löslichkeitsprodukt

Was bedeutet der Begriff gesättigte Lösung?

Eine Lösung wird als gesättigt bezeichnet, wenn die maximale Menge an Salz gelöst ist. Das Löslichkeitsprodukt entspricht in diesem Fall genau dem Ionenprodukt.

Was ist das Löslichkeitsprodukt?

Das Löslichkeitsprodukt gibt an, wie groß die maximale Menge an Salz ist, die sich in einem Lösungsmittel auflöst. Das Löslichkeitsprodukt bezieht sich immer auf eine konkrete Temperatur, da es temperaturabhängig ist. Ist das Löslichkeitsprodukt groß, so löst sich das Salz leicht. Ist das Löslichkeitsprodukt jedoch klein, so löst sich das Salz nur sehr schwer.

Was ist der pKL Wert?

Der pKL Wert entspricht dem negativen dekadischen Logarithmus des Löslichkeitsprodukts. Und wird teilweise auch zur Darstellung des Löslichkeitsprodukts genutzt.

Wie berechnet man das Löslichkeitsprodukt?

Das Löslichkeitsprodukt berechnet man indem man die Konzentrationen der entstandenen Ionen des Salzes multipliziert. Besitzt das Salz stöchiometrische Koeffizienten, so muss man diese ebenfalls beachten. Die Konzentrationen werden mit den stöchiometrischen Koeffizienten potenziert.

Erklärung speichern

Entdecke Lernmaterialien mit der kostenlosen StudySmarter App

Kostenlos anmelden

Über StudySmarter

StudySmarter ist ein weltweit anerkanntes Bildungstechnologie-Unternehmen, das eine ganzheitliche Lernplattform für Schüler und Studenten aller Altersstufen und Bildungsniveaus bietet. Unsere Plattform unterstützt das Lernen in einer breiten Palette von Fächern, einschließlich MINT, Sozialwissenschaften und Sprachen, und hilft den Schülern auch, weltweit verschiedene Tests und Prüfungen wie GCSE, A Level, SAT, ACT, Abitur und mehr erfolgreich zu meistern. Wir bieten eine umfangreiche Bibliothek von Lernmaterialien, einschließlich interaktiver Karteikarten, umfassender Lehrbuchlösungen und detaillierter Erklärungen. Die fortschrittliche Technologie und Werkzeuge, die wir zur Verfügung stellen, helfen Schülern, ihre eigenen Lernmaterialien zu erstellen. Die Inhalte von StudySmarter sind nicht nur von Experten geprüft, sondern werden auch regelmäßig aktualisiert, um Genauigkeit und Relevanz zu gewährleisten.

Erfahre mehr

StudySmarter Redaktionsteam

Team Chemie Lehrer

13 Minuten Lesezeit
Geprüft vom StudySmarter Redaktionsteam