KV-Diagramm

Ausführliche Funktion einer KV-Diagramm

Ein KV-Diagramm hat einen entscheidenden Nutzen: Es ermöglicht dir das Minimieren boolescher Ausdrücke. Du denkst vielleicht: Warum ist das so hilfreich? Die Antwort liegt in der Effizienz: Eine durch ein KV-Diagramm minimierte Funktion kann durch weniger Schaltglieder realisiert werden, was in der Praxis hilft, Kosten, Energie und Platz zu sparen.

Das Minimieren im KV-Diagramm erfolgt durch die Bildung sogenannter Primimplikanten. Das sind Gruppen von benachbarten Feldern, in denen die Funktion den Wert Eins annimmt. Die Gruppengröße muss dabei stets eine Potenz von 2 betragen, und innerhalb einer Gruppe darf nur eine Variable ihren Wert ändern.

Beispiel in Pseudo-Code:

BEGINN
erstelle KV-Diagramm mit x Eingangsvariablen
bilde auf Basis der Nachbarschaft Primimplikanten
minimiere die boolesche Funktion
END

Allgemeines Beispiel für ein KV-Diagramm

Eines der simpelsten KV-Diagramme ist dasjenige mit zwei Variablen. Dabei steht jede Zelle für einen möglichen Zustand der beiden Variablen, und der Wert in der Zelle repräsentiert den zugehörigen Funktionswert.

KV-Diagramm für verschiedene Variablen

Wie bereits erwähnt, sind KV-Diagramme nicht nur auf zwei Variablen beschränkt. Tatsächlich können sie auf eine beliebige Anzahl von Variablen angewendet werden. Die Komplexität und Größe des Diagramms nimmt dabei allerdings zu. Die folgenden Abschnitte vertiefen das Thema für KV-Diagramme mit 3, 5 und 6 Variablen.

KV-Diagramm 3 Variablen

Für ein KV-Diagramm mit drei Variablen betrachten wir eine Matrix mit \(2^2 = 4\) Reihen und \(2^1 = 2\) Spalten, da wir immer noch versuchen, das Diagramm in eine geometrische Form zu bringen, die etwas praktikabler ist.

Beispiel für ein KV-Diagramm mit 3 Variablen:

BEGIN
initialisiere eine 4x2 Matrix
für jeden Zustand der drei Variablen:
  berechne den korrespondierenden Funktionswert
  trage diesen Wert in das passende Feld der Matrix ein
END

KV Diagramm 5 Variablen

Die Erstellung von KV-Diagrammen mit 5 Variablen steigt in ihrer Komplexität, da man hier bereits 32 verschiedene Zustände darstellen muss. Aufgrund dieser steigenden Komplexität werden in der Praxis häufig Methoden wie die Quine-McCluskey-Methode zur Minimierung boolescher Ausdrücke bevorzugt.

KV-Diagramm 6 Variablen

Die Anwendung des KV-Diagramms auf 6 Variable ist das Maximum dessen, was in der Praxis angetroffen wird. Bei sechs Variablen müssen 64 verschiedene Zustände dargestellt werden, was selbst in tabellarischer Form recht unübersichtlich werden kann.

Allerdings bleibt das Prinzip bei auch hier gleich: du ordnest die Variablenzustände in einer Tabelle an und kennzeichnest diejenigen Zustände, in denen die Funktion den Wert 1 annimmt. Auch die Nachbarschaftsregel bleibt erhalten, allerdings kannst du dir hier möglicherweise vorstellen, dass die Nachbarschaften in sechs Dimensionen deutlich schwieriger zu ermitteln sind als in zwei oder drei Dimensionen.

Anwendung und Erstellung von KV-Diagrammen

KV-Diagramme sind ein essenzielles Instrument in den Händen von Elektrotechnikern, Informatikern und allen, die sich mit digitaler Schaltungstechnik und binären Zustandsmaschinen beschäftigen. Sie bieten eine intuitive, grafische Methode zur Vereinfachung boolescher Ausdrücke. Im Folgenden werden wir uns detalliert mit der Erstellung und Vereinfachung von KV-Diagrammen sowie dem Einsatz spezieller Software für diese Aufgabe beschäftigen.

KV-Diagramm erstellen

Hier ist ein grundlegender Schritt-für-Schritt-Prozess zur Erstellung eines KV-Diagramms:

• Bestimme die Anzahl der Eingangsvariablen und erstelle eine Tabelle oder Grid, die genug Zellen für alle möglichen Zustände bereitstellt. Bei n Variablen sind das \(2^n\) mögliche Zustände.
• Ordne die Zellen so an, dass jeweils benachbarte Zellen nur eine Variable ändern.
• Berechne für jeden möglichen Zustand den Wert der Funktion und trage diesen in das entsprechende Feld ein.

Nehmen wir ein einfaches Beispiel für ein KV-Diagramm mit zwei Variablen A und B:

KV-Diagramm für zwei Variablen:

KV Diagramm vereinfachen

Um ein KV-Diagramm zu vereinfachen, gehen wir wie folgt vor:

• Identifiziere große Gruppen von benachbarten Zellen, in denen die Funktion den Wert 1 annimmt. Diese Gruppengröße muss eine Potenz von 2 sein.
• Ersetze jede dieser Gruppen durch eine einfachere Funktion, die nur die Variablen enthält, die innerhalb der Gruppe konstant bleiben.
• Die minimale Funktion ist die logische ODER-Verknüpfung all dieser einfacheren Funktionen.

Indem wir dieses Prozedere zur Vereinfachung anwenden, verringern wir die Komplexität des ursprünglichen booleschen Ausdrucks und erlauben somit eine effiziente Implementierung als Schaltung.

Einsatz vom KV-Diagramm Rechner

In der Praxis, vor allem wenn wir mit einer größeren Anzahl von Variablen arbeiten, kann das Erstellen und Vereinfachen von KV-Diagrammen kompliziert und zeitaufwändig sein. Daher gibt es spezielle Software und Online-Tools, sogenannte KV-Diagramm Rechner, die diesen Prozess automatisieren.

Fortgeschrittene Themen zur KV-Diagramm

In der fortgeschrittenen Anwendung von KV-Diagrammen können wir diese nutzen, um boolesche Funktionsgleichungen zu erstellen und praxisbezogene Beispiele zu analysieren. In diesem Abschnitt werden wir uns diesen Anwendungsmöglichkeiten widmen.

KV Diagramm Funktionsgleichung

Die grundlegende Idee des KV-Diagramms besteht darin, Ausdrücke der booleschen Algebra zu vereinfachen. Eine wichtige Anwendung hiervon ist die Erstellung von Funktionsgleichungen.

Ein typisches Verfahren zum Erstellen einer Funktionsgleichung aus einem KV-Diagramm sieht folgendermaßen aus:

• Schritt 1: Jede Gruppe von Einsen in der Tabelle bildet einen Term in der Gleichung. Je größer die Gruppe von Einsen, desto einfacher wird der Term.
• Schritt 2: Der Term wird erzeugt, indem die Variablen identifiziert werden, die innerhalb der Gruppe gleich bleiben. Die Variablen, die innerhalb der Gruppe den Wert 1 behalten, werden im Term positiv verwendet. Die Variablen, die innerhalb der Gruppe den Wert 0 behalten, werden im Term mit einem Strich (Nicht-Operator) versehen.
• Schritt 3: Alle Terme werden dann mit einem logischen ODER verknüpft, um die Gesamtfunktion zu erzeugen.

KV Diagramm Beispiel aus der Praxis

Um zu verstehen, wie wir KV-Diagramme in der Praxis verwenden können, betrachten wir ein einfaches Beispiel aus dem Bereich der digitalen Logik: das Entwerfen einer binären Addiererschaltung.

Ein binärer Addierer ist eine Schaltung, die zwei binäre Zahlen addiert und das Ergebnis ausgibt. Er hat zwei Eingänge für die zu addierenden Zahlen und zwei Ausgänge für das Ergebnis und den eventuellen Übertrag. Betrachten wir zunächst den Fall eines 1-Bit Addierers ohne Übertrag. Es gibt zwei Eingangsvariablen, A und B, und zwei Ausgangsvariablen, Sum und Carry. Nun wollen wir eine Funktion für diese Ausgabevariablen erstellen.

Wir können die möglichen Kombinationen der Eingangsvariablen und den entsprechenden Ausgang in einer Wahrheitstabelle zusammenfassen:

Daraus können wir ein KV-Diagramm erstellen und die Funktionen für Summe und Carry erzeugen. Das Ergebnis sieht dann wie folgt aus:

Das Sum Ergebnis ist nur dann 1, wenn genau eine der Eingabevariablen 1 ist (das entspricht einer logischen XOR-Funktion), und das Carry ist nur dann 1, wenn beide Eingangsvariablen 1 sind (das entspricht einer logischen UND-Funktion). So einfach kann man das Design und Verständnis boolescher Funktionen mit KV-Diagrammen erleichtern.