Lerninhalte finden
Features
Entdecke
\( \definecolor{bl}{RGB}{20, 120, 200} \definecolor{gr}{RGB}{0, 220, 180} \definecolor{r}{RGB}{250, 50, 115} \definecolor{li}{RGB}{131, 99, 226} \definecolor{ge}{RGB}{255, 205, 0} \)Was ist die Determinante einer Matrix und was hat sie mit dem Invertieren einer Matrix zu tun? Einen Beweis dazu und wie Du die Determinante einer 2x2 Matrix berechnen kannst, findest Du hier. Außerdem lernst Du, wie Du den Rang einer Matrix mit Determinante bestimmen kannst.
Lerne mit Millionen geteilten Karteikarten
Leg kostenfrei los
Schreib bessere Noten mit StudySmarter Premium
Geld-zurück-Garantie, wenn du durch die Prüfung fällst
Review generated flashcards
Erstelle unlimitiert Karteikarten auf StudySmarter
Team 2x2 Matrix Determinante Lehrer
Um die Determinante einer Matrix zu bilden, solltest Du wissen, was eine Matrix ist und wie Du eine Matrix invertieren kannst.
Anhand der Determinante kannst Du feststellen, ob eine Koeffizientenmatrix lösbar ist und ob sie invertierbar ist.
Die Determinante \((\det (A)=|A|)\) ist ein Skalar, das sich aus einer Matrix \((A)\) ergibt. Die Determinante kann nur von quadratischen Matrizen bestimmt werden.
Ist die Determinante nicht null, so ist die Matrix invertierbar \((A^{-1})\), bzw. die Koeffizientenmatrix eindeutig lösbar.
\begin{align} \det(A) \begin{cases} \neq 0 & \rightarrow & A^{-1}~\text{existiert} \\ = 0 & \rightarrow & A^{-1}~\text{existiert nicht} \end{cases} \end{align}
Ob eine Matrix quadratisch ist, kannst Du auf einen Blick erkennen. Sie muss eine symmetrische Matrix sein, das heißt, sie braucht genauso viele Zeilen, wie Spalten.
Du kannst manchmal auf einen Blick erkennen, ob die Determinante null ergeben wird, oder nicht. Eine Determinante wird dann null, wenn
Die Determinante einer 2x2 Matrix kannst Du mit einer Formel berechnen. Grundsätzlich gilt diese Formel für alle quadratischen Matrizen, jedoch wird sie mit zunehmender Größe komplizierter, weshalb dann andere Verfahren zum Einsatz kommen.
Die Determinante einer 2x2-Matrix \(A=\begin{pmatrix} a_1 & a_2 \\ b_1 & b_2 \end{pmatrix}\) wird mit folgender Formel berechnet:
\[\det(A)=\begin{vmatrix} {\color{bl}a_1} & {\color{gr}a_2} \\ {\color{gr}b_1} & {\color{bl}b_2} \end{vmatrix} = {\color{bl}a_1 \cdot b_2} - {\color{gr}a_2 \cdot b_1}\]
Im Prinzip multiplizierst Du die Zahlen der Matrix also über Kreuz und subtrahierst sie dann voneinander.
An der Matrix \(A=\begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 6 & 8 \end{pmatrix}\) würde das beispielsweise so aussehen:
\[\det(A)=\begin{vmatrix} {\color{bl}2} & {\color{gr}4} \\ {\color{gr}6} & {\color{bl}8} \end{vmatrix} = {\color{bl}2 \cdot 8} - {\color{gr}6 \cdot 4} = -8\]
Die Determinante ist \(-8\) und damit nicht null. Die Matrix ist also invertierbar, sprich \(A^{-1}\) existiert.
Die Gültigkeit bzw. Existenz der Determinante zu beweisen, ist Teil eines Mathematik-Studiums und daher an dieser Stelle nicht relevant. Du kannst allerdings beweisen, dass eine Matrix nicht invertierbar ist, wenn die Determinante null ist.
Hierfür kannst Du eine Matrix verwenden, von der Du bereits weißt, dass die Determinante null ergeben wird. Beispielsweise die Matrix \(A=\begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 4 & 8 \end{pmatrix}\), denn hier ist die 1. Spalte ein Vielfaches der 2. Spalte.
Wenn Du nun versuchst, die Matrix zu invertieren (meist wird das mit dem Gauß Algorithmus gemacht), wirst Du feststellen, dass Du die Zeilen miteinander verrechnen kannst, wie Du willst. Es wird dabei niemals eine Einheitsmatrix entstehen und somit erhältst Du auch keine inverse Matrix.
\[A= \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 4 & 8 \end{pmatrix} {\color{red}\not\rightarrow}\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix} \]
Damit hast Du bewiesen, dass eine Matrix nicht invertierbar ist, wenn die Determinante null ergibt. Andersherum geht das natürlich auch.
Vielleicht hast Du bereits den Rang einer Matrix bestimmt und weißt, dass das normalerweise mit dem Gauß Algorithmus gemacht wird. Im Fall einer quadratischen Matrix kannst Du hierfür allerdings die Determinante verwenden.
Ist die Determinante einer quadratischen Matrix nicht null, so ist der Rang der Matrix gleich ihrer Zeilen- bzw. Spaltenanzahl.
Ob Du dafür die Zeilen oder Spalten zählst, ist egal, denn eine quadratische Matrix hat von beidem gleich viel.
Mehr dazu findest Du in der Erklärung "Rang einer Matrix".
Zum Abschluss kannst Du hier noch ein paar mal selbst die Determinante berechnen.
Berechne die Determinante der Matrix \(A=\begin{pmatrix} 15 & 33 \\ 24 & 56 \end{pmatrix}\) und interpretiere das Ergebnis
Lösung
\[\det(A)=\begin{vmatrix} {\color{bl}15} & {\color{gr}33} \\ {\color{gr}24} & {\color{bl}56} \end{vmatrix} = {\color{bl}15 \cdot 56} - {\color{gr}24 \cdot 33} = 48\not=0\]
Die Determinante ist nicht \(0\). Somit ist die Matrix \(A\) invertierbar, das heißt \(A^{-1}\) existiert.
Welchen Rang hat die Matrix \(B=\begin{pmatrix} 26 & 87 \\ 43 & 65 \end{pmatrix}\)?
Lösung
\[\det(B)=\begin{vmatrix} {\color{bl}26} & {\color{gr}87} \\ {\color{gr}43} & {\color{bl}65} \end{vmatrix} = {\color{bl}26 \cdot 65} - {\color{gr}43 \cdot 87} = -2\,051\]
Die Determinante ist nicht \(0\). Somit hat die Matrix \(B\) den Rang \(2\), da sie quadratisch ist und aus \(2\) Zeilen bzw. Spalten besteht.
Die Matrix \(C=\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 16 & 22 \end{pmatrix}\) ist nicht invertierbar. Stimmt das? Begründe ohne Rechnung.
Lösung
Das ist richtig, denn die erste Zeile besteht nur aus Nullen. Somit ergibt die Determinante null und das heißt wiederum, dass die Matrix \(C\) nicht invertierbar ist.
Melde dich kostenlos an, um Zugriff auf all unsere Karteikarten zu erhalten.
Wie berechnet man die Determinante einer 2x2 Matrix?
Du berechnest sie, indem Du die Zahlen über Kreuz multiplizierst und dann voneinander abziehst, also: det = a11 • a22 - a12 • a21
Was sagt die Determinante über eine Matrix aus?
Eine Determinante gibt Dir Auskunft darüber, ob eine Matrix invertierbar ist oder nicht.
Was bedeutet es, wenn die Determinante 0 ist?
Ist die Determinante null, dann kann sie nicht invertiert werden.
Wie berechnet man die Determinante?
Je nach Größe der Matrix gibt es verschiedene Lösungsansätze:
Bei StudySmarter haben wir eine Lernplattform geschaffen, die Millionen von Studierende unterstützt. Lerne die Menschen kennen, die hart daran arbeiten, Fakten basierten Content zu liefern und sicherzustellen, dass er überprüft wird.
Lily Hulatt ist Digital Content Specialist mit über drei Jahren Erfahrung in Content-Strategie und Curriculum-Design. Sie hat 2022 ihren Doktortitel in Englischer Literatur an der Durham University erhalten, dort auch im Fachbereich Englische Studien unterrichtet und an verschiedenen Veröffentlichungen mitgewirkt. Lily ist Expertin für Englische Literatur, Englische Sprache, Geschichte und Philosophie.
Lerne Lily kennen
Gabriel Freitas ist AI Engineer mit solider Erfahrung in Softwareentwicklung, maschinellen Lernalgorithmen und generativer KI, einschließlich Anwendungen großer Sprachmodelle (LLMs). Er hat Elektrotechnik an der Universität von São Paulo studiert und macht aktuell seinen MSc in Computertechnik an der Universität von Campinas mit Schwerpunkt auf maschinellem Lernen. Gabriel hat einen starken Hintergrund in Software-Engineering und hat an Projekten zu Computer Vision, Embedded AI und LLM-Anwendungen gearbeitet.
Lerne Gabriel kennen
Schule 
Studium 
Ausbildung 
Karteikarten 
StudySmarter AI 
Notizen 
Lernplan 
Spaced Repetition 
Lernsets 
Finde einen Job 
Studentenrabatte 
Ausbildungen 
Magazine 
Mobile App 
Für Unternehmen