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Additionstheoreme werden in der Analysis im Zusammenhang mit Sinus, Cosinus oder Tangens verwendet. Sie können Dir bei der Berechnung von Summen und Differenzen von Winkeln in der Trigonometrie behilflich sein. Welche Additionstheoreme es gibt und wie sie definiert werden, lernst Du in der folgenden Erklärung kennen.
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Wähle die Additionstheoreme der Sinusfunktion aus.
Wähle die Additionstheoreme der Cosinusfunktion aus.
Gegeben ist \(\alpha=30°\). Gesucht ist der Cosinus des Doppelwinkels \(\cos(2 \alpha)\).
Gegeben ist \(\alpha=60°\) und \(\beta=15°\). Gesucht ist \(\cos(\alpha + \beta)\). Wähle die richtige Antwort aus.
Gegeben ist \(\alpha=60°\). Gesucht ist der Sinus des Doppelwinkels \(\sin(2\alpha)\).
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Additionstheoreme sind in der Mathematik bestimmte Formeln, die bei Sinus, Cosinus und Tangens angewandt werden.
In der Trigonometrie werden die Additionstheoreme definiert als Formeln zur Vereinfachung von Winkelfunktionen der Form:
\[\sin(\alpha\pm\beta)\]
\[\cos(\alpha\pm\beta)\]
\[\tan(\alpha\pm\beta)\]
Die zwei Winkel \(\alpha\) und \(\beta\) werden dabei als Variablen betrachtet.
Statt den Winkeln \(\alpha\) und \(\beta\) können zum Beispiel auch \(x\) und \(y\) eingesetzt werden, also beispielsweise \(\sin(x\pm y)\). Das Prinzip bleibt jedoch gleich.
Je nachdem, ob es sich bei der Winkelfunktion um eine Sinus-, Cosinus- oder eine Tangensfunktion handelt, gibt es verschiedene Additionstheoreme.
Für die Sinusfunktion gibt es mehrere Additionstheoreme, die Du im Folgenden kennenlernst.
Die Additionstheoreme für die Sinusfunktion lauten:
\begin{align}\sin(\alpha+\beta )&=\sin(\alpha)\cdot \cos(\beta)+\cos(\alpha)\cdot \sin(\beta)\\ \\\sin(\alpha-\beta )&=\sin(\alpha)\cdot \cos(\beta)-\cos(\alpha)\cdot \sin(\beta)\end{align}
Die zwei Winkel \(\alpha\) und \(\beta\) werden dabei als Variablen betrachtet.
Die Anwendung der Additionstheoreme des Sinus kannst Du Dir anhand eines Beispiels ansehen.
Gegeben ist \(\alpha=30°\) und \(\beta=90°\). Gesucht ist der Sinus der Summe der beiden Winkel:
$$\sin(30° + 90°)=?$$
Die Winkel werden hier bewusst nicht direkt zusammengerechnet. Sie sollen lediglich die Anwendung des Additionstheorems zeigen.
Um dies zu berechnen, kannst Du folgendes Additionstheorem anwenden:$$\sin(\alpha+\beta )=\sin(\alpha)\cdot \cos(\beta)+\cos(\alpha)\cdot \sin(\beta)$$
Setze dazu die gegebenen Winkel anstelle von \(\alpha\) und \(\beta\) ein.$$\sin(30°+90°)=\sin(30°)\cdot \cos(90°)+\cos(30°)\cdot \sin(90°)$$
Die Funktionswerte der trigonometrischen Funktionen einzelner Winkel kannst Du der Trigonometrie-Tabelle entnehmen:
| \(\alpha\) | \(30°\) | \(90°\) |
\(\sin(\alpha)\) | \(\dfrac{1}{2}\) | \(1\) |
\(\cos(\alpha)\) | \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) | \(0\) |
Du kannst diese Werte auch mit dem Taschenrechner ausrechnen, anstatt die Tabelle zu nutzen. Achte darauf, die Winkel im Gradmaß („DEG“ im Taschenrechner) zu berechnen.
Nun kannst Du diese Werte in Deine Formel einsetzen:
\begin{align}\sin(30°+90°)&=\sin(30°)\cdot \cos(90°)+\cos(30°)\cdot \sin(90°)\\[0.2cm] &=\frac{1}{2} \cdot 0+\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot 1 \\[0.2cm] &=\frac{\sqrt{3}}{2} \end{align}
Somit konntest Du den Sinus der Summe der beiden Winkel \(\sin(30° + 90°)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) mithilfe eines Additionstheorems berechnen.
Auch für die Cosinusfunktion gibt es Additionstheoreme. Diese lernst Du in diesem Abschnitt kennen.
Die Additionstheoreme für die Cosinusfunktion lauten:
\begin{align}\cos(\alpha+\beta )&=\cos(\alpha)\cdot \cos(\beta)-\sin(\alpha)\cdot \sin(\beta)\\ \\\cos(\alpha-\beta )&=\cos(\alpha)\cdot \cos(\beta)+\sin(\alpha)\cdot \sin(\beta)\end{align}
Die zwei Winkel \(\alpha\) und \(\beta\) werden dabei als Variablen betrachtet.
Die Anwendung der Additionstheoreme des Cosinus kannst Du Dir anhand eines Beispiels ansehen.
Gegeben ist \(\alpha=45°\) und \(\beta=60°\). Gesucht ist der Cosinus der Differenz der beiden Winkel: $$\cos(45°-60°)=?$$
Um dies zu berechnen, kannst Du folgendes Additionstheorem anwenden:$$\cos(\alpha-\beta )=\cos(\alpha)\cdot \cos(\beta)+\sin(\alpha)\cdot \sin(\beta)$$
In diese Formel kannst Du Deine Zahlenwerte für \(\alpha\) und \(\beta\) einsetzen:$$\cos(45°-60° )=\cos(45°)\cdot \cos(60°)+\sin(45°)\cdot \sin(60°)$$
Die Funktionswerte der trigonometrischen Funktionen der einzelnen Winkel kannst Du der Trigonometrie-Tabelle entnehmen:
| \(\alpha\) | \(45°\) | \(60°\) |
\(\sin(\alpha)\) | \(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) | \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) |
\(\cos(\alpha)\) | \(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\ \) | \(\dfrac{1}{2} \) |
Nun kannst Du diese Werte in Deine Formel einsetzen:
\begin{align} \cos(45°-60° )&=\cos(45°)\cdot \cos(60°)+\sin(45°)\cdot \sin(60° ) \\[0.2cm] &=\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} +\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \\[0.2cm] &=\frac{\sqrt{2}}{4} +\frac{\sqrt{6}}{4} \\[0.2cm] &=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4} \end{align}
Die Additionstheoreme der Tangensfunktion unterscheiden sich vom Aufbau ein wenig von den Additionstheoremen für Sinus und Cosinus.
Die Additionstheoreme für die Tangensfunktion lauten:
\begin{align}\tan(\alpha+\beta )&=\frac{\tan(\alpha)+\tan(\beta)}{1-\tan(\alpha)\cdot \tan(\beta)}\\ \\\tan(\alpha-\beta )&=\frac{\tan(\alpha)-\tan(\beta)}{1+\tan(\alpha)\cdot \tan(\beta)}\end{align}
Die zwei Winkel \(\alpha\) und \(\beta\) werden dabei als variable Winkel betrachtet.
Die Anwendung der Additionstheoreme des Tangens kannst Du Dir anhand eines Beispiels ansehen.
Gegeben ist \(\alpha=30°\) und \(\beta=45°\). Gesucht ist der Tangens der Summe der beiden Winkel: $$\tan(30°+45°)=?$$
Um dies zu berechnen, kannst Du folgendes Additionstheorem anwenden:$$\tan(\alpha+\beta )=\frac{\tan(\alpha)+\tan(\beta)}{1-\tan(\alpha)\cdot \tan(\beta)}$$
In diese Formel kannst Du Deinen Zahlenwert für \(\alpha\) und \(\beta\) einsetzen:
$$\tan(30°+45°)=\frac{\tan(30°)+\tan(45°)}{1-\tan(30°)\cdot \tan(45°)}$$
Die Funktionswerte der trigonometrischen Funktionen der einzelnen Winkel kannst Du der Trigonometrie-Tabelle entnehmen:
| \(\alpha\) | \(30°\) | \(45°\) |
\(\tan(\alpha)\) | \(\dfrac{\sqrt{3}}{3}\) | \(1\) |
Nun kannst Du diese Werte in Deine Formel einsetzen:\begin{align} \tan(30°+45°)&=\frac{\dfrac{\sqrt{3}}{3}+1}{1-\dfrac{\sqrt{3}}{3}\ \cdot 1}\\[0.3cm]&=2+\sqrt{3}\end{align}
Aus den Additionstheoremen von Sinus, Cosinus und Tangens ergeben sich auch die Doppelwinkelfunktion. Sieh Dir dazu die folgende Vertiefung an.
Die Doppelwinkelfunktionen des Sinus und Cosinus kannst Du der Tabelle entnehmen.
| Formel |
| \(\sin(2\cdot \alpha)=2\cdot \sin(\alpha)\cdot \cos(\alpha)\) |
\(\cos(2\cdot \alpha)=\cos^2(\alpha)-\sin^2(\alpha)\) |
Woher stammen die Additionstheoreme eigentlich? Interessiert Dich die Herleitung der Additionstheoreme? Dann auf zum nächsten Abschnitt.
Möchtest Du direkt Übungsaufgaben zu den Additionstheoremen lösen, dann überspring einfach das folgende Kapitel.
Bei der Herleitung der Additionstheoreme muss wieder zwischen Sinus-, Cosinus- oder Tangens unterschieden werden.
Den Beweis der Additionstheoreme des Sinus und Cosinus kannst Du Dir mithilfe des Einheitskreises mit dem Radius \(r=1\) ansehen (Abbildung 1).
Abb 1. - Additionstheoreme Herleitung Sinus Cosinus
Gegeben sind die Winkel \(\alpha\) und \(\beta\) innerhalb des Einheitskreises. Die Strecke \(\overline{OB}\) hat die Länge 1 und die Dreiecke \(\bigtriangleup OAB\), \(\bigtriangleup ODB\), \(\bigtriangleup OCD\) und \(\bigtriangleup EDB\) sind rechtwinklig.
Als Erstes kannst Du Dir den Beweis für \(\sin(\alpha+\beta)=\sin(\alpha)\cdot\cos(\beta)+\sin(\beta)\cdot\cos(\alpha)\) ansehen.
Zur Erinnerung: \(\sin(\alpha)=\frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypothenuse}}\) und \(\cos(\alpha)=\frac{\text{Ankathete}}{\text{Hypothenuse}}\)
Im rechtwinkligen Dreieck \(\bigtriangleup OAB\) gilt für die Strecke \(\overline{AB}\):$$\text{I.} \quad \sin(\alpha+\beta)=\frac{\overline{AB}}{1}=\overline{AB}$$
Zusätzlich gilt: $$ \text{II.} \quad \overline{AB}=\overline{CD}+\overline{BE} $$
Im rechtwinkligen Dreieck \(\bigtriangleup ODB\) gilt:\begin{align} \text{III.} \quad \sin(\beta)=\frac{\overline{BD}}{1}=\overline{BD}\\[0.2cm]\text{IV.} \quad \cos(\beta)=\frac{\overline{OD}}{1}=\overline{OD}\\ \end{align}
Zur Erinnerung: Die Hypotenuse ist hier \(1\), da es sich um einen Einheitskreis handelt.
Im rechtwinkligen Dreieck \(\bigtriangleup OCD\) gilt:$$\text{V.} \quad \sin(\alpha)=\frac{\overline{CD}}{\overline{OD}}$$
\(\text{IV.}\) in \(\text{V.}\) eingesetzt:\begin{align} \sin(\alpha)&=\frac{\overline{CD}}{\cos(\beta)} \hspace{1cm} |\cdot(\cos(\beta)\\ \\ \text{V.a} \hspace{1cm}\sin(\alpha)\cdot \cos(\beta)&=\overline{CD} \end{align}
Im rechtwinkligen Dreieck \(\bigtriangleup EDB\) gilt:$$\text{VI.} \quad \cos(\alpha)=\frac{\overline{BE}}{\overline{BD}}$$
\(\text{III.}\) in \(\text{VI.}\) eingesetzt:\begin{align}\cos(\alpha)&=\frac{\overline{BE}}{\sin(\beta)} \hspace{1cm} |\cdot \sin(\beta)\\ \\ \text{VI.a} \quad \sin(\beta)\cdot \cos(\alpha)&=\overline{BE} \end{align}
\(\text{V.a}\) und \(\text{VI.a}\) in \(\text{II.}\) eingesetzt:$$\text{II.a} \quad \overline{AB}=\sin(\alpha)\cdot\cos(\beta)+\sin(\beta)\cdot\cos(\alpha)$$
\(\text{II.a}\) in \(\text{I.}\) eingesetzt:$$\sin(\alpha+\beta)=\sin(\alpha)\cdot\cos(\beta)+\sin(\beta)\cdot\cos(\alpha)$$
Somit konntest Du das erste Theorem des Sinus herleiten und beweisen.
Um \(\sin(\alpha-\beta)=\sin(\alpha)\cdot\cos(\beta)-\sin(\beta)\cdot\cos(\alpha)\) zu beweisen gehst Du davon aus das \(\beta\) negativ ist:
\begin{align} \sin(\alpha-\beta)&=\sin(\alpha)\cdot\cos(-\beta)+\sin(-\beta)\cdot\cos(\alpha) \\[0.2cm] &=\sin(\alpha)\cdot\cos(\beta)-\sin(\beta)\cdot\cos(\alpha) \end{align}
Zur Erinnerung: \(\cos(-\beta)=\cos(\beta) \quad \text{und} \quad \sin(-\beta)=-\sin(\beta)\)
Somit konntest Du die Additionstheoreme des Sinus herleiten und beweisen. Der Beweis der Additionstheoreme des Cosinus funktioniert nach demselben Prinzip.
Die Additionstheoreme des Tangens lassen sich mittels der Additionstheoreme von Sinus und Cosinus, sowie den Eigenschaften des Tangens herleiten.
Für den Tangens gilt: $$\text{I.} \quad \tan(\alpha)=\frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}$$
Die relevanten Additionstheoreme des Sinus und Cosinus für die Herleitung und den Beweis der Additionstheoreme des Tangens sind:\begin{align} \text{II.} \quad \sin(\alpha\pm \beta )&=\sin(\alpha)\cdot \cos(\beta) \pm \cos(\alpha)\cdot \sin(\beta) \\ \text{III.} \quad \cos(\alpha \pm \beta)&=\cos(\alpha)\cdot \cos(\beta) \mp \sin(\alpha)\cdot \sin(\beta) \end{align}
Für die Herleitung kannst Du als Erstes die Gleichung \(\text{I.}\) anwenden und erhältst damit den ersten Teil des Additionstheorems des Tangens: $$\tan(\alpha\pm\beta )=\frac{\sin(\alpha\pm\beta)}{\cos(\alpha\pm\beta)} $$
Nun kannst Du Gleichung \(\text{II.}\) und \(\text{III.}\) in die eben erhaltene Gleichung einsetzen:\begin{align} \tan(\alpha\pm\beta )=\frac{\sin(\alpha\pm\beta)}{\cos(\alpha\pm\beta)}=\frac{\sin(\alpha)\cdot \cos(\beta) \pm \cos(\alpha)\cdot \sin(\beta) }{\cos(\alpha)\cdot \cos(\beta) \mp \sin(\alpha)\cdot \sin(\beta) } \end{align}
Teilst Du jetzt alle Elemente der Gleichung durch \(\cos(\alpha)\cdot \cos(\beta)\), ergibt sich:
\begin{align} \tan(\alpha\pm\beta )=\frac{\sin(\alpha\pm\beta)}{\cos(\alpha\pm\beta)}&=\frac{\sin(\alpha)\cdot \cos(\beta) \pm \cos(\alpha)\cdot \sin(\beta) }{\cos(\alpha)\cdot \cos(\beta) \mp \sin(\alpha)\cdot \sin(\beta) } \\ \\&=\frac{\frac{\sin(\alpha)\cdot \cancel{\cos(\beta)}}{\cos(\alpha)\cdot \cancel{\cos(\beta)}} \pm \frac{\cancel{\cos(\alpha)}\cdot \sin(\beta) }{\cancel{\cos(\alpha)}\cdot \cos(\beta)}}{\frac{\cancel{\cos(\alpha)\cdot \cos(\beta)}}{\cancel{\cos(\alpha)\cdot \cos(\beta)}} \mp \frac{\sin(\alpha)\cdot \sin(\beta)}{\cos(\alpha)\cdot \cos(\beta)} } \\ \\&=\frac{\frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} \pm \frac{\sin(\beta) }{\cos(\beta)}}{1 \mp \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} \cdot \frac{\sin(\beta)}{\cos(\beta)}} \\ \\&=\frac{\tan(\alpha)\pm\tan(\beta)}{1\mp\tan(\alpha)\cdot \tan(\beta)} \end{align}Damit konntest Du die Additionstheoreme des Tangens der Summe und Differenz von zwei Winkeln herleiten.
Um einen Gesamtüberblick über die Additionstheoreme von Sinus, Cosinus und Tangens zu erhalten findest Du im Folgenden eine Tabelle zur Übersicht.
| Trigonometrische Funktion | Additionstheoreme |
| Sinus | \(\sin(\alpha\pm \beta )=\sin(\alpha)\cdot \cos(\beta)\pm \cos(\alpha)\cdot \sin(\beta)\) |
| Cosinus | \(\cos(\alpha \pm \beta )=\cos(\alpha)\cdot \cos(\beta) \mp \sin(\alpha)\cdot \sin(\beta)\) |
| Tangens | \(\tan(\alpha\pm\beta )=\dfrac{\sin(\alpha\pm\beta)}{\cos(\alpha\pm\beta)}=\dfrac{\tan(\alpha)\pm\tan(\beta)}{1\mp\tan(\alpha)\cdot \tan(\beta)}\) |
Im Folgenden findest Du eine Übungsaufgabe, mit der Du die Anwendung der Additionstheoreme üben kannst.
Aufgabe 1
Gegeben ist \(\alpha=15°\) und \(\beta=90°\). Gesucht ist der Cosinus der Summe der beiden Winkel: $$\cos(15°+90°)=?$$
Lösung
Um die Aufgabe zu lösen, kannst Du folgendes Additionstheorem anwenden:$$\cos(\alpha+\beta )=\cos(\alpha)\cdot \cos(\beta)-\sin(\alpha)\cdot \sin(\beta)$$
In diese Formel kannst Du Deine Zahlenwerte für \(\alpha\) und \(\beta\) einsetzen:$$\cos(15°+90° )=\cos(15°)\cdot \cos(90°)-\sin(15°)\cdot \sin(90°)$$
Die Werte für die Funktionswerte der trigonometrischen Funktionen einzelner Winkel kannst Du der Trigonometrie-Tabelle entnehmen:
| \(\alpha\) | \(15°\) | \(90°\) |
\(\sin(\alpha)\) | \(\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}\) | \(1\) |
\(\cos(\alpha)\) | \(\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4} \) | \(0\) |
Nun kannst Du diese Werte in Deine Formel einsetzen:
\begin{align} \cos(15°+90°) &=\cos(15°)\cdot \cos(90°)-\sin(15°)\cdot \sin(90°) \\[0.2cm] &=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4} \cdot 0 -\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4} \cdot 1\\[0.2cm] &=\frac{-\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4} \end{align}
Noch mehr Übungsaufgaben findest Du in den Karteikarten zu den Additionstheoremen.
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Für was werden die Additionstheoreme gebraucht?
Additionstheoreme werden in der Analysis gebraucht, um Winkelfunktionen der Form sin(ɑ±ß), cos(ɑ±ß) und tan(ɑ±ß) zu vereinfachen.
Kann der Cosinus addiert werden?
Ein Cosinus der Form cos(ɑ±ß) mit den Variablen ɑ und ß kann über die Additionstheoreme addiert werden.
Was ist Sinus plus Cosinus?
Um sin(ɑ) und cos(ɑ) zu addieren, kannst Du beide Funktionswerte für Sinus und Cosinus einzeln ausrechnen und dann addieren.
Was ist das Additionstheorem?
Die Additionstheoreme für Sinus und Cosinus lauten:
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