Äquivalente Gleichungen

\[20=20\]

Term \(T_1\) und \(T_2\) sind in dem Beispiel oben normale Zahlen. Du musst beachten, dass Gleichungen entweder wahr oder falsch sind. Hier ist die Gleichung logischerweise wahr, da \(20\) und \(20\) zwei gleiche Zahlen sind.

\[3x-5=6x+3\]

Hier erkennst Du die linke Seite der Gleichung als Term \(T_1=3x-5\) und die rechte Seite der Gleichung als Term \(T_2=6x+3\).

Diese Gleichung ist auch entweder wahr oder falsch, abhängig davon welche Werte (Zahlen) Du für die Variable \(x\) einsetzt. Die Werte der Variablen, für die die Gleichung erfüllt ist, werden Lösungen der Gleichung genannt. Die Lösung der Gleichung im Beispiel 2 wird mithilfe von Äquivalenzumformungen folgendermaßen berechnet:

\begin{align}3x-5&=6x+3 &&|-3\\3x-8&=6x &&|-3x\\-8&=3x&&|:3\\x&=-\frac{8}{3}\end{align}

In diesem Beispiel erhalten wir als Lösung \(x=-\frac{8}{3}\). Das heißt die Lösungsmenge \(L\) ist \(L=\{-\frac{8}{3}\}\). Das bedeutet, dass die Gleichung einzig und allein für die Werte aus der Lösungsmenge, hier \(-\frac{8}{3}\) wahr ist und für alle anderen Werte falsch ist.

Gleichung A: \[4x+20=6x+12\] Gleichung B: \[2x+10=2x+4\]

Hier kannst Du folgende Terme entdecken: \(T_1=4x+20\), \(T_2=6x+12\), \(T_3=2x+10\) und \(T_4=2x+4\)

Du erkennst, dass \(T_1\) der Gleichung A ein Vielfaches von \(T_3\) der Gleichung B ist, genauso wie \(T_2\) der Gleichung A ein Vielfaches von \(T_4\) der Gleichung B ist. Das bedeutet, dass die einzelnen Terme sich ineinander umformen lassen. Und das heißt folgendes: \(\Longrightarrow\) Gleichung A und B sind äquivalent zueinander \(\Longleftrightarrow\) Gleichung A besitzt die gleiche Lösungsmenge \(L=\{...\}\) wie Gleichung B.

Genau hier kommt wieder die Waage von oben ins Spiel: Du kannst Dir äquivalente Gleichungen so vorstellen, dass auf der einen Seite der Waage zwei große Äpfel liegen (Gleichung A), auf der anderen Seite 4 kleine (Gleichung B). Die Waage ist auf beiden Seiten gleich hoch, somit wiegen beide Seiten gleich viel.

Du siehst also– es muss nicht auf beiden Seiten das Gleiche sein, damit die Seiten gleichwertig sind. Genau so ist es auch mit Gleichungen. Sie müssen nicht gleich aussehen, um äquivalent zu sein.

\begin{align}&1.)\,\,x^2-9&=0\\&2.)\,\,3\cdot(x+3)\cdot(x-3)&=0 \end{align}

Da diese Gleichungen schon etwas komplizierter sind, bleibt Dir hier nichts anderes übrig als jede der Gleichungen mithilfe von Äquivalenzumformungen nach \(x\) umzuformen.

Zuerst formst Du Gleichung 1 um, indem Du Variablen auf die eine und Zahlen auf die andere Seite der Gleichung sortierst: \begin{align}x^2-9&=0\hspace{2cm}|+9\\x^2&=9\hspace{2cm}|\sqrt{}\\x&=+-3\end{align}

Im nächsten Schritt wird Gleichung 2 umgeformt. Dazu benutzt Du die 3. binomische Formel und dividierst die gesamte Gleichung mit 3. Anschließend sortierst Du wieder Variablen auf die linke Seite und Zahlen auf die rechte Seite der Gleichung und erhältst die Lösung für x:\begin{align}3\cdot(x+3)\cdot(x-3)&=0\\3\cdot (x^2-9)&=0 \hspace{2cm}|:3\\x^2-9&=0\hspace{2cm}|+9\\x^2&=9\hspace{2cm}|\sqrt{}\\x&=+-3\end{align}

Du erkennst beide Gleichungen 1 und 2 haben dieselbe Lösungsmenge nämlich \(L=\{3;-3\}\). Also sind Gleichung 7 und 8 äquivalent.

\begin{align}&3.)\,\,x&&=-\frac{2}{11}\\&4.)\,\,\frac{3}{x+1}&&=-\frac{5}{2x-1} \end{align}Gleichung 3 ist schon nach \(x\) umgeformt. Jetzt solltest Du noch Gleichung 4 so umformen, dass \(x\) auf der linken Seite steht. Das sieht dann so aus: \begin{align}&\Leftrightarrow\frac{3}{x+1}&&=-\frac{5}{2x-1}\hspace{2cm}|\cdot{(x+1)} \hspace{0,25cm }|\cdot(2x-1)\\&\Leftrightarrow 3\cdot(2x-1)&&=-5\cdot(x+1)\\&\Leftrightarrow 6x-3&&=-5x-5\\&\Leftrightarrow11x&&=-2\\&\Leftrightarrow x&&=-\frac{2}{11} \end{align} Du siehst das für beide Gleichungen 3 und 4 \(x=-\frac{2}{11}\) gilt. Also sind die Gleichungen äquivalent.

Aufgabe 1:

Überprüfe die beiden Gleichungen auf Äquivalenz!\begin{align}&a)\,\,x+6&&=8\\&b)\,\,x&&=2 \end{align}

Lösung:

Du formst Gleichung \(a\) nach \(x\) um: \begin{align}x+6&=8\hspace{2cm}|-6\\x&=8-6\\x&=2\end{align} Du erkennst, dass die Lösungsmenge \(L=\{2\}\) ist. Gleichung \(b\) ist bereits nach \(x\) aufgelöst und besitzt auch die Lösungsmenge \(L=\{2\}\). Das heißt Gleichung \(a\) und Gleichung \(b\) sind äquivalent, da sie die gleiche Lösungsmenge besitzen.

Aufgabe 2:

Sind die beiden Gleichungen äquivalent?\begin{align}&a)\,\,x+6&=10\\&b)\,\,x&=3 \end{align} Lösung

Wird Gleichung \(a\) umgeformt, dann erhältst Du:\begin{align}x+6&=10\hspace{2cm}|-6\\x&=10-6\\x&=4\end{align}Die Lösungsmenge von Gleichung \(a\) ist \(L=\{4\}\). Die Lösungsmenge von Gleichung \(b\) ist allerdings \(L=\{3\}\). Die Gleichungen \(a\) und \(b\) sind also nicht äquivalent zueinander, da ihre Lösungsmengen verschieden sind.

Aufgabe 3:

Sind die unten angegebenen Gleichungen äquivalent?\begin{align}&a)\,\,3x-5&=6x+3\\&b)\,\,300x&=-800 \end{align}

Lösung

Gleichung \(a\) wird durch Äquivalenzumformungen so umgestellt, dass das \(x\) auf der einen und Zahlen auf der anderen Seite der Gleichung stehen. Dann sieht das so aus: \begin{align}3x-5&=6x+3 \hspace{2cm}&&|-3\\3x-8&=6x &&|-3x\\-8&=3x\\3x&=-8\hspace{2cm}&&|:3\\x&=-\frac{8}{3}\end{align} Gleichung \(a\) ist also \(x=-\frac{8}{3}\).

Formst Du Gleichung \(b\) um, erhältst Du dieselbe Lösungsmenge \(L=\{-\frac{8}{3}\}\): \begin{align}300x&=-800\hspace{2cm}|:300\\x&=-\frac{800}{300}\\x&=-\frac{8}{3}\end{align}

Also sind die beiden Gleichungen äquivalent zueinander.