Äquivalenzumformung Ungleichung

Aufgabe 1

Löse folgende Gleichung mit Äquivalenzumformungen.

$4·x+16=\hspace{0.17em}8$

Lösung

Schritt 1:

Im ersten Schritt siehst Du Dir Äquivalenzumformungen mit einer Addition oder Subtraktion an. Dazu möchtest Du die 16 durch eine Subtraktion auf die andere Seite bringen.

$\begin{array}{rcl}& & \begin{array}{ccc}& 2·x+16=8& \hspace{0.17em}|-16\\ \iff & 2·x+16-16=8-16& \\ \iff & 2·x=-8& \end{array}\\ & & \end{array}$

Schritt 2:

Nun sind die Äquivalenzumformungen der Multiplikation oder Division an der Reihe. Damit Du x auf einer Seite stehen hast, dividierst Du durch 2.

$\begin{array}{rcl}2·x& =& -8|:2\\ 2·x:2& =& -8:2\\ x& =& -4\end{array}$

Also -4 ist die Lösung der Gleichung:

$\mathbb{L}=\hspace{0.17em}\{-4\}$

Die Lösung einer Ungleichung gibst Du wie folgt an:

$\begin{array}{rcl}x+5& \le & 3\\ x& \le & -2\\ & & \\ \mathbb{L}& =& \hspace{0.17em}\{x|x\le -2\}\end{array}$

Setzt Du ein Element der Menge in die ursprüngliche Ungleichung ein, so bekommst Du folgenden wahren Ausdruck:

$\begin{array}{rcl}& & \begin{array}{cc}x+5\le 3& \overline{)x=-2}\\ -2+5\le 3& \\ 3\le 3& (w)\end{array}\\ & & \end{array}$

Das bedeutet, für alle Werte kleiner oder gleich -2 ist die Ungleichung richtig.

Aufgabe 2

Bestimme die Lösungsmenge folgender Ungleichung über den reellen Zahlen:

$9x+1x-1\le 9$

Lösung

Hier wendest Du die oben genannten Äquivalenzumformungen an:

Schritt 1:

Fasse alle Variablen und Zahlen auf beiden Seiten der Ungleichung zusammen.

$\begin{array}{ccc}& 9x+1x-1\le 9& \\ \iff & 10x-1\le 9& \end{array}$

Schritt 2:

Nun bringe alle Variablen auf eine Seite und die Zahlen auf die andere. Dazu addierst Du die Zahl 1.

$\begin{array}{ccc}& 10x-1\le 9& |+1\\ \iff & 10x-1+1\le 9+1& \\ \iff & 10x\le 10& \end{array}$

Schritt 3:

Um nun auf die Variable x aufzulösen, dividierst Du durch 10, damit nur noch x auf einer Seite stehen bleibt.

$\begin{array}{ccc}& 10x\le 10& |:10\\ \iff & 10x:10\le 10:10& \\ \iff & x\le 1& \\ & & \end{array}$

Dies zeigt also, dass die Ungleichung für alle $x\le 1$ erfüllt ist. Die Lösungsmenge ist hiermit:

$\mathbb{L}=\{x|x\le 1\}$

Das kannst Du auch so schreiben:

$\mathbb{L}=(-\infty ;1]$

Denn x soll kleiner oder gleich 1 sein. Damit ist jede Zahl von minus unendlich bis 1 erlaubt.

Aufgabe 3

Löse die folgende Ungleichung mit Äquivalenzumformungen

$(3-x)\hspace{0.17em}·5\le (10+x)·2$

Lösung

Dazu kannst Du im ersten Schritt alle Klammern auf beiden Seiten ausmultiplizieren. Dazu nutzt Du jeweils den Faktor außerhalb der Klammer und multiplizierst ihn mit den Summanden/ Subtrahenden innerhalb der Klammer.

$\begin{array}{rcl}& & \begin{array}{cc}& 3·5-x·5\le 10·2+x·2\\ \iff & 15-5x\le 20+2x\end{array}\end{array}$

Im nächsten Schritt kannst Du alle Variablen auf eine Seite bringen.

$\begin{array}{rcl}& & \begin{array}{ccc}& 15-5x\le 20+2x& |-2x\\ \iff & 15-5x-2x\le 20+2x-2x& \\ \iff & 15-7x\le 20& \end{array}\\ & & \end{array}$

Zum Schluss kannst Du wieder erst eine Subtraktion nutzen und dann die Division. Achte dabei darauf, dass beim Dividieren mit einer negativen Zahl das Ungleichheitszeichen umgekehrt wird.

$\begin{array}{rcl}& & \begin{array}{ccc}& 15-7x\le 20& |-15\\ \iff & 15-15-7x\le 20-15& \\ \iff & -7x\le 5& |:\hspace{0.17em}(-7)\\ \iff & -7x:\hspace{0.17em}(-7)\le 5:\hspace{0.17em}(-7)& \\ \iff & x\ge -\frac{5}{7}& \end{array}\end{array}$

Aufgabe 4

Überprüfe, ob

$\mathbb{L}=\left\{x\right|x\le 9\}$

eine Lösungsmenge von

$2x+1\le 7$

ist.

Lösung

Setze 9 in die Ungleichung ein, da dies laut der Lösungsmenge $\mathbb{L}$ die größtmögliche Zahl ist, für die die Ungleichung gilt.

$\begin{array}{ccc}& 2·9+1\le 7& \\ \iff & 18+1\le 7& \\ \iff & 19\le 7& \end{array}$

Diese Ungleichung ist eine falsche Aussage, also ist die gegebene Lösungsmenge $\mathbb{L}$ keine Lösungsmenge der Ungleichung.

Für die richtige Lösungsmenge formst Du die gegebene Ungleichung um:

$\begin{array}{cc}& 2x-1\le 7\\ \iff & 2x-1+1\le 7+1\\ \iff & 2x\le 8\\ \iff & 2x:2\le 8:2\\ \iff & x\le 4\end{array}\begin{array}{l}\overline{)+1}\\ \\ \overline{):2}\\ \\ \end{array}$

Dies zeigt, dass die Lösungsmenge

$\mathbb{L}=\left\{x\right|x\le 4\}$

korrekt ist.

Für die Ungleichung

$\frac{2·x}{5}<30$

kannst Du mit Äquivalenzumformungen die Lösungsmenge ermitteln:

Multipliziere dazu zunächst mit dem Nenner des Bruches, sodass die Variable nicht mehr in einem Bruch steht. Anschließend kannst Du wie gewohnt umformen.

$\begin{array}{ccc}& \frac{2·x}{5}<30& \overline{)·5}\\ & \frac{2·x·\cancel{5}}{\cancel{5}}<30·5& \\ & 2·x<150& \overline{):2}\\ & 2·x:2<150:2& \\ & x<75& \end{array}$

Die Lösungsmenge der Ungleichung ist also

$\mathbb{L}=\left\{x\right|x<75\}$

Bei der Ungleichung:

$\frac{2}{a}\le 3mita\in \mathrm{ℝ}$

ist a eine reelle Zahl und somit kann a negativ oder positiv sein.

Aufgabe 5

Ermittle die Lösungsmenge folgender Ungleichung:

$\frac{4}{x+2}<4$

Lösung

Um die Lösungsmenge der Ungleichung zu ermitteln, unterscheidest Du die beiden Fälle

• $x+2>0$
• $x+2<0$

Fall 1 für den Nenner größer 0:

Nun solltest Du zuerst die Bedingung umstellen:

$\begin{array}{cc}& x+2>0\begin{array}{c}|-2\end{array}\\ \iff & x+2-2>0-2\\ \iff & x>-2\end{array}$

Jetzt kannst Du auch die Ungleichung umstellen:

$\begin{array}{ccc}& \frac{4}{x+2}<4& \overline{)·(x+2)}\\ \iff & \frac{4·\cancel{(x+2)}}{\cancel{x+2}}<4·(x+2)& \\ \iff & 4<4·(x+2)& \\ \iff & 4<4x+8& \end{array}$

Nun kannst Du die Gleichung nach x auflösen:

$\begin{array}{ccc}& 4<4x+8& |-8\\ \iff & 4-8<4x+8-8& \\ \iff & -4<4x& |:4\\ \iff & -4:4<4x:4& \\ \iff & -1<x& \end{array}$

Als Lösungsmenge soll für den ersten Fall sowohl gelten, dass die Variable x größer als -1 und -2 sein soll. Das bedeutet, -1 ist die stärkere Bedingung.

${\mathbb{L}}_1=\hspace{0.17em}\{x|x>-1\}$

Fall 2 für den Nenner kleiner 0:

Dies kann umgestellt werden zu:

$\begin{array}{cc}& x+2<0\begin{array}{c}|-2\end{array}\\ \iff & x+2-2<0-2\\ \iff & x<-2\end{array}$

Und damit kannst Du nun die Ungleichung umformen. Dabei handelt es sich um dieselbe Rechnung, nur das Ungleichheitszeichen ist gedreht, da hier die Werte für x kleiner 0 betrachtet werden.

$\begin{array}{ccc}& 4>4x+8& |-8\\ \iff & 4-8>4x+8-8& \\ \iff & -4>4x& |:4\\ \iff & -4:4>4x:4& \\ \iff & -1>x& \end{array}$

Hier soll die Variable x also kleiner -2 und -1 sein, was in -2 resultiert.

${\mathbb{L}}_1=\hspace{0.17em}\{x|x<-2\}$

Die gesamte Lösungsmenge besteht aus den einzelnen beiden Teillösungsmengen.

$L_{ges}=\left\{x\right|x<-2oderx>-1\}$

Aufgabe 6

Sieh Dir gerne noch einmal die Einleitung an. Konkret kannst Du aus der Einleitung lesen:

• Es sollen maximal 30 Personen eingeladen werden.
• Du lädst sieben Schulfreunde und neun Freunde aus anderen Freundeskreisen ein.
• Dein Freund kann den Rest mitbringen.

Wie viele Freunde kann Dein Freund also maximal mitbringen? Gib die Lösungsmenge der Ungleichung an.

Lösung

Dazu kannst Du eine Ungleichung aufstellen. Auf der einen Seite befinden sich Deine Freunde und eine Variable x für die Freunde, die noch eingeladen werden können. Auf der anderen Seite steht die Maximalanzahl 30 Personen. Sie sind mit einem Ungleichheitszeichen verbunden, da Dein Freund auch weniger als die Maximalanzahl einladen könnte.

$7+9+x\le 30$

Nun kannst Du zuerst Deine Freunde zusammenrechnen.

$\begin{array}{rcl}& & \begin{array}{cc}& 7+9+x\le 30\\ \iff & 16+x\le 30\end{array}\\ & & \end{array}$

Du bringst also genau 16 Freunde mit.

Im nächsten Schritt ziehst Du die 16 von beiden Seiten der Ungleichung ab und erhältst die Lösungsmenge.

$\begin{array}{rcl}& & \begin{array}{ccc}& 16+x\le 30& |-16\\ \iff & 16-16+x\le 30-16& \\ \iff & x\le 14& \end{array}\end{array}$

Jetzt kannst Du die Lösungsmenge angeben. Denke aber daran, dass Dein Freund weder 4,5 Freunde, noch -4 Freunde mitnehmen kann. Das Ergebnis soll sich also in den natürlichen Zahlen mit der Null befinden. Alternativ kannst Du auch die positiven ganzen Zahlen mit der Null verwenden.

$\mathbb{L}=\hspace{0.17em}\{x\in {\mathrm{\mathbb{N}}}_o|x\le 14\}$

oder

$\mathbb{L}=\hspace{0.17em}\{x\in {{\mathrm{\mathbb{Z}}}_o}^{+}|x\le 14\}$