Äquivalenzumformungen: Erklärung & Beispiele

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Äquivalenzumformungen: Beispiele und Erklärung

Bevor du dich damit beschäftigst, welche Äquivalenzumformungen es gibt und wie du diese auf Gleichungen anwendest, schaue dir zunächst an, was Äquivalenzumformungen überhaupt sind und wann man zwei Terme äquivalent nennt. Dieses Verständnis wird dir später bei der Anwendung helfen.

Zwei Terme sind äquivalent, wenn sie für dieselben Einsetzungen aus der Grundmenge denselben Termwert ergeben. Man nennt diese Terme dann auch gleichwertig.

Schauen wir uns dazu ein Beispiel an.

Gegeben sind die Terme

$10 \cdot x + 20$ und $5 \cdot (2 \cdot x + 4)$

mit der Grundmenge

G = {1, 2, 3, 4}

Um zu prüfen, ob die beiden Terme gleichwertig sind, setzen wir beispielhaft Werte aus der Grundmenge ein. Da die Grundmenge nur aus vier Elementen besteht, setzen wir alle 4 Werte ein.

x	$10 \cdot x + 20$	$5 \cdot (2 \cdot x + 4)$
1	30	30
2	40	40
3	50	50
4	60	60

Da beide Terme für alle Einsetzungen der Grundmenge dieselben Werte ausgeben, sind die beiden Terme gleichwertig. Man kann sie also verbunden mit einem Gleichzeichen als Gleichung notieren.

$10 \cdot x + 20 = 5 \cdot (2 \cdot x + 4)$

Demnach bedeutetet äquivalent, dass zwei Terme gleichwertig sind. Damit wird auch der Begriff Äquivalenzumformung verständlich, der oft bei Gleichungen fällt.

Äquivalenzumformungen sind Umformungen, welche die Lösungsmenge einer Gleichung unverändert lassen.

Wenn du an einer Gleichung also Äquivalenzumformungen vornimmst, dann bleiben die möglichen Lösungen der Gleichung gleich. Man notiert die Äquivalenzumformung hinter der Gleichung hinter einem senkrechten Strich. Dort schreibt man die Äquivalenzumformung auf, welche auf beide Seiten der Gleichung angewendet wird.

$\begin{array}{rcl} 8 \cdot x + 20 & = & - 2 \cdot x - 20 \\ 8 \cdot x + 20 - 20 & = & - 2 \cdot x - 20 \\ 8 \cdot x & = & - 2 \cdot x - 20 \end{array}$

In diesem Beispiel ist die Subtraktion von 20 auf beiden Seiten der Gleichung die Äquivalenzumformung.

Die Lösungsmenge

$L = {- 2}$

bleibt unverändert.

Damit du dir Äquivalenzumformungen besser vorstellen kannst, sieh dir folgendes Modell an:

Die Gleichung $x + 5 = 7$ kann mit dem Waagemodell dargestellt werden als:

Äquivalenzumformungen Waagemodell StudySmarter Abbildung 1: Waagemodell der ursprünglichen Gleichung

Wir wollen nun die folgende Äquivalenzumformung in diesem Modell darstellen:

$\begin{array}{rcl} x + 5 & = & 7 - 5 \\ x + 5 - 5 & = & 7 - 5 \\ x & = & 2 \end{array}$

Im Waagemodell ziehen wir also die fünf roten Bälle von jeweils der linken und der rechten Seite ab.

Äquivalenzumformungen Waagemodell StudySmarter Abbildung 2: Waagemodell der umgeformten Gleichung

Was bleibt ist die Lösung der Gleichung, nämlich, dass das x den Wert 2 hat.

Arten von Äquivalenzumformungen

Du hast verschiedene Möglichkeiten, eine gegebene Gleichung äquivalent umzuformen. Im Folgenden lernst du diese kennen und erhältst anhand von Beispielen eine Vorstellung davon, wie man sie in spezifischen Situationen zielführend anwendet.

Äquivalenzumformungen: Addition und Subtraktion

Addition und Subtraktion ähneln sich in der Art und dem Zweck, für den sie eingesetzt werden.

Bei der Addition wird auf beiden Seiten der Gleichung ein Term addiert.

$\begin{array}{rcl} A & = & B + T \\ A + T & = & B + T \end{array}$

Bei der Subtraktion wird, ähnlich wie bei der Addition, auf beiden Seiten der Gleichung ein Term subtrahiert.

$\begin{array}{rcl} A & = & B - T \\ A - T & = & B - T \end{array}$

Terme können beispielsweise Zahlterme, Bruchterme, eingliedrige oder mehrgliedrige Terme, mit oder ohne Variable sein. Im Artikel "Terme" kannst du alles zu Termen nachlesen.

Schaue dir die folgenden zwei Beispiele an, um zu verstehen, wie Addition und Subtraktion umgesetzt werden.

$\begin{array}{rcl} 5 \cdot x & = & 10 + 5 \\ 5 \cdot x + 5 & = & 10 + 5 \\ 5 \cdot x + 5 & = & 15 \end{array}$

Hier wird der Zahlterm 5 addiert.

Bei der Addition sowie Subtraktion werden nicht nur Zahlterme, sondern auch solche mit Variable oder Bruchterme verwendet.

$\begin{array}{rcl} 42 + 2 \cdot x & = & 8 \cdot x + 12 - 2 \cdot x \\ 42 + 2 \cdot x - 2 \cdot x & = & 8 \cdot x - 2 \cdot x + 12 \\ 42 & = & 6 \cdot x + 12 - 12 \\ 42 - 12 & = & 6 \cdot x + 12 - 12 \\ 30 & = & 6 \cdot x \end{array}$

Durch die Subtraktion von $2 \cdot x$ wird das $+ 2 \cdot x$ auf der linken Seite der Gleichung aufgelöst und du kommst deinem x-Wert ein Stück näher.

Die anschließende Subtraktion von 12 sorgt dafür, dass du die Zahlterme auf der linken Seite der Gleichung hast und auf der rechten solche mit Variable.

Diese beiden Arten der Äquivalenzumformungen verwendest du besonders, um Termglieder mit Variable auf eine Seite des Gleichzeichens zu bekommen und die Termglieder ohne Variable auf die andere. Dadurch ordnest du deine Terme.

Äquivalenzumformungen: Multiplikation und Division

Multiplikation und Division werden besonders häufig dazu verwendet, um die Variable zu isolieren, also den Faktor vor dem x zu entfernen.

Möchtest du eine Gleichung mit einer Multiplikation äquivalent umformen, multiplizierst du beide Seiten des Gleichzeichens mit einem Term.

$\begin{array}{rcl} A & = & B \cdot T \\ A \cdot T & = & B \cdot T \end{array}$

Ähnlich wie bei der Multiplikation gehst du bei der Division vor, mit dem Unterschied, dass du dividierst, statt multiplizierst.

$\begin{array}{rcl} A & = & B : T \\ A : T & = & B : T \end{array}$

Achte darauf, dass du die Rechenregeln beachtest.

Schaue dir in den folgenden Beispielen an, wie Multiplikation und Division angewendet werden.

$\begin{array}{rcl} \frac{22}{4 \cdot x} & = & \frac{12 \cdot x}{4 \cdot x} \cdot (4 \cdot x) \\ \frac{22 \cdot (4 \cdot x)}{4 \cdot x} & = & \frac{12 \cdot x \cdot (4 \cdot x)}{4 \cdot x} \\ \frac{22 \cdot (4 \cdot x)}{4 \cdot x} & = & \frac{12 \cdot x \cdot (4 \cdot x)}{4 \cdot x} \\ 22 & = & 12 \cdot x \end{array}$

Durch die Multiplikation mit dem Term $4 \cdot x$ können die Brüche gekürzt werden.

$\begin{array}{rcl} 48 \cdot x & = & 24 : 24 \\ 48 \cdot x : 24 & = & 24 : 24 \\ 2 \cdot x & = & 1 \end{array}$

Durch die Division mit 8 erhältst du einen einfacheren Term, welchen du nur noch einmal äquivalent umformen musst, um an dein Ergebnis zu kommen.

Die Division kann auch immer dargestellt werden als Multiplikation mit einem Bruch.

Dabei entspricht

$: x$ immer $\cdot \frac{1}{x}$

Es wird also mit dem Kehrwert von x multipliziert.

$: 2$ kann geschrieben werden als $\cdot \frac{1}{2}$

Dieses Vorgehen kann besonders hilfreich sein, wenn ein Faktor in Form eines Bruches vor deinem x steht.

$\frac{1}{4} \cdot x = 5$

Um diese Gleichung zu lösen, würdest du wahrscheinlich zunächst in Erwägung ziehen, durch $\frac{1}{4}$ zu teilen. Viel leichter ist es jedoch, mit dem Kehrwert des Bruches zu multiplizieren:

$\begin{array}{rcl} \frac{1}{4} \cdot x & = & 5 : \frac{1}{4} \leftrightarrow \frac{1}{4} \cdot x + 5 \cdot \frac{4}{1} \end{array}$

Du kannst also immer, wenn du eigentlich durch einen Bruch dividieren würdest, stattdessen mit dem Kehrwert des Bruches multiplizieren.

Aufgabe

Löse die Gleichung

$10 \cdot x + 7 = \frac{1}{2} \cdot x + 45$

mit den bisher aufgeführten Äquivalenzumformungen.

Lösung

Bringe zunächst beide Zahlterme durch Subtraktion auf eine Seite der Gleichung.

$\begin{array}{rcl} - 10 \cdot x + 7 & = & - \frac{1}{2} \cdot x + 45 - 7 \\ - 10 \cdot x + 7 - 7 & = & - \frac{1}{2} \cdot x + 45 - 7 \\ - 10 \cdot x & = & - \frac{1}{2} \cdot x + 38 \end{array}$

Anschließend addierst du, um alle Terme mit Variable auf der anderen Seite der Gleichung zu haben.

$\begin{array}{rcl} - 10 \cdot x & = & - \frac{1}{2} \cdot x + 38 + \frac{1}{2} \cdot x \\ - 10 \cdot x + \frac{1}{2} \cdot x & = & - \frac{1}{2} \cdot x + \frac{1}{2} \cdot x + 38 \\ - \frac{19}{2} \cdot x & = & 38 \end{array}$

Um nun die Variable zu isolieren, multiplizierst du noch mit dem Kehrwert des Bruches.

$\begin{array}{rcl} - \frac{19}{2} \cdot x & = & 38 \cdot (- \frac{2}{19}) \\ - \frac{19}{2} \cdot (- \frac{2}{19}) \cdot x & = & 38 \cdot (- \frac{2}{19}) \\ x & = & - 4 \end{array}$

Die Lösung der Gleichung ist also $x = - 4$ .

Ersetzen eines Terms durch einen äquivalenten Term

Diese Art der Äquivalenzumformung kennst du sicherlich schon oder wendest sie vielleicht bereits auch automatisch an. Es geht darum, dass du Terme in äquivalente Terme umformst und damit deiner Lösung näher kommst. Das geht immer dann, wenn du die beiden Terme mit einem Gleichzeichen verbinden könntest.

Ein Term kann durch einen äquivalenten Term ersetzt werden.

$\begin{array}{rcl} A & = & B A \leftrightarrow C \\ C & = & B \end{array}$

Solltest du dir nicht mehr sicher seien, wann zwei Terme äquivalent zueinander sind, schau gerne in unserem Artikel dazu vorbei.

Das Ersetzen eines Terms mit einem äquivalenten Term ist besonders sinnvoll, wenn sich dadurch neue Möglichkeiten für weitere Umformungen ergeben oder das Ergebnis sich direkt ablesen lässt.

$\begin{array}{rcl} 25 + 25 \cdot x & = & 0 25 + 25 \cdot x \leftrightarrow 5 \cdot (5 + 5 \cdot x) \\ 5 \cdot (5 + 5 \cdot x) & = & 0 \end{array}$

Oft lässt sich durch das Ersetzen eines Terms mit einem äquivalenten Term die Lösung direkt ablesen.

Ein weiteres Beispiel für diese Art der Umformung kennst du sicherlich schon. Es geht um das Einsetzungsverfahren bei Gleichungssystemen.

Gegeben sei das Gleichungssystem

$I . 25 \cdot y + 5 = x I I . 20 + x = y$

Mit dem Einsetzungsverfahren kannst du nun II. in I. einsetzen und hast somit nur noch eine Variable. Das ist möglich, da dir die Gleichheit der Terme bereits gegeben ist.

$I . 25 \cdot y + 5 = x I I . 20 + x = y$

$\begin{array}{rcl} 25 \cdot (20 + x) + 5 & = & x \\ 500 + 25 \cdot x + 5 & = & x \\ 505 + 25 \cdot x & = & x \end{array}$

Logarithmieren und Exponenzieren

Die Variable kann in einer Gleichung nicht nur als Faktor oder Summand vorkommen, sondern auch als Potenz. In diesem Fall hilft dir der Logarithmus, die Variable aus der Potenz zu bekommen, um so das weitere Auflösen zu ermöglichen.

Ziehe den Logarithmus zur Basis deines Exponenten.

$\begin{array}{rcl} A & = & B^{x} l o g_{B} (A) \\ l o g_{B} (A) & = & x \end{array}$

In der Praxis sieht das dann so aus:

$\begin{array}{rcl} 45 & = & 5^{x} l o g_{5} () \\ l o g_{5} (45) & = & 9 \end{array}$

Ein Sonderfall liegt vor, wenn die Basis von x die eulersche Zahl e ist. In diesem Fall kannst du den natürlichen Logarithmus verwenden. Mehr dazu im Artikel zum Lösen von Exponentialgleichungen.

Wie beim Addieren und Multiplizieren gibt es auch eine Gegenoperation für das Logarithmieren. Das ist etwa sinnvoll, falls du den Logarithmus nicht lösen kannst, da eine Unbekannte in ihm vorkommt.

Beim Exponenzieren wird der Logarithmus rückgängig gemacht.

$\begin{array}{rcl} l o g_{B} (x) & = & A | B ↑ \\ x & = & B^{A} \end{array}$

Zur Anwendung kommt das Exponenzieren für gewöhnlich, wenn innerhalb des Logarithmus die Variable vorkommt.

Gegeben ist die Gleichung

$\log_{5} (x + 2) = 4$ .

Um deinen x-Wert zu ermitteln, formst du folgendermaßen um:

$\begin{array}{rcl} \log_{5} (x + 2) & = & 4 | 5 ↑ \\ x + 2 & = & 5^{4} \end{array}$

Diese Gleichung kannst du ohne Probleme lösen.

$\begin{array}{rcl} 5^{4} & = & x + 2 \\ 625 & = & x + 2 - 2 \\ 623 & = & x \end{array}$

Äquivalenzumformungen: Weitere wichtige Umformungen

Neben den oben genannten Äquivalenzumformungen gibt es noch weitere Umformungen, welche nicht direkt zu den Äquivalenzumformungen zählen, da möglicherweise die Lösungsmenge verändert werden kann. Dennoch sind sie sehr nützlich, um Gleichungen umzuformen.

Werden der Lösungsmenge beim Umformen weitere Elemente zugefügt oder gehen verloren, spricht man auch von Gewinn- bzw. Verlustumformungen.

Beispiel für eine Gewinnumformung:

Du hast die Gleichung

$x + 2 = 4$

gegeben und erkennst sofort, dass die Lösung dieser $L = {2}$ sein muss.

Formst du die Gleichung allerdings durch Potenzieren folgendermaßen um, erhältst du zusätzliche falsche Elemente der Lösungsmenge:

$\begin{array}{rcl} x + 2 & = & 4^{2} \\ {(x + 2)}^{2} & = & 4^{2} \\ {(x + 2)}^{2} & = & 16 \end{array}$

$L = {- 6, 2}$

$(- 6) + 2 \neq 4$

Bei der -6 handelt es sich also um eine Scheinlösung aufgrund falscher Umformung.

Wurzel ziehen

Damit du nachvollziehen kannst, weshalb beim Wurzelziehen Lösungen verloren gehen, können schau dir zunächst die Definition dazu an.

Die Wurzel ist definiert als

$x^{n} = a \leftrightarrow x = \sqrt[n]{a}$

Hier ist wichtig, dass du bedenkst, dass der Radikand nicht negativ werden kann.

Kommen in deiner Gleichung Potenzen vor, löst man diese am besten durch das Wurzelziehen auf.

Ziehe auf beiden Seiten der Gleichung die Wurzel.

$\begin{array}{rcl} A & = & B \sqrt{} \\ \sqrt{A} & = & \sqrt{B} \end{array}$

Angewendet sieht das folgendermaßen aus:

$\begin{array}{rcl} x^{2} & = & 121 \sqrt{} \\ \sqrt{x^{2}} & = & \sqrt{121} \\ x & = & |11| = \pm 11 \end{array}$

In diesem Beispiel lässt sich die Wurzel einfach ziehen, es kann aber auch vorkommen, dass die Wurzel einer Zahl eine Dezimalzahl ist.

Potenzieren

Wenn in Gleichungen Wurzeln vorkommen, macht es wiederum Sinn, diese durch Potenzieren aufzulösen.

Potenziere beide Seiten der Gleichung.

$\begin{array}{rcl} A & = & B ↑^{x} \\ A^{x} & = & B^{x} \end{array}$

Um eine gewöhnliche (also eine zweite) Wurzel aufzulösen, wählst du den Exponent 2. In diesem Fall spricht man auch vom Quadrieren.

$\begin{array}{rcl} \sqrt{9} & = & x + 1 ↑^{2} \\ {\sqrt{9}}^{2} & = & {(x + 1)}^{2} \\ 9 & = & {(x + 1)}^{2} \\ 9 & = & x^{2} + 2 \cdot x + 1 - 9 \\ 0 & = & x^{2} + 2 \cdot x - 8 \\ x_{1 / 2} & = & - \frac{2}{2} \pm \sqrt{{(\frac{2}{2})}^{2} + 8} \\ x_{1 / 2} & = & - 1 \pm \sqrt{{(1)}^{2} + 8} \\ x_{1 / 2} & = & - 1 \pm \sqrt{9} \\ x_{1} & = & 2 \\ x_{2} & = & - 4 \end{array}$

Durch die falsche Umformung erhält man die Lösungsmenge $L = {- 4, 2}$ . Bei -4 handelt es sich um eine Scheinlösung, da diese eingesetzt in die Ursprungsgleichung einen Widerspruch erzeugt.

Äquivalenzumformungen – Übungen

Versuche doch gleich einmal, die gelernten Äquivalenzumformungen anzuwenden!

Aufgabe 1

Finde die Lösung der folgenden Gleichung mithilfe von Äquivalenzumformungen.

$\frac{1}{2} \cdot x + 21 = 42 + 4 \cdot x$

Lösung

Zunächst multiplizierst du die Gleichung mit 2, um den Bruch aufzulösen.

$\begin{array}{rcl} \frac{1}{2} \cdot x + 21 & = & 42 + 4 \cdot x \cdot 2 \\ (\frac{1}{2} \cdot x + 21) \cdot 2 & = & (42 + 4 \cdot x) \cdot 2 \\ x + 42 & = & 84 + 8 \cdot x \end{array}$

Um nun die Lösung zu erhalten, bringst du alle Zahlterme auf eine Seite des Gleichzeichens und die Terme mit der Variablen x auf die andere.

$\begin{array}{rcl} x + 42 & = & 84 + 8 \cdot x - 8 \cdot x \\ x + 42 - 8 \cdot x & = & 84 - 42 \\ x - 8 \cdot x & = & 84 - 42 \\ - 7 \cdot x & = & 42 : (- 7) \\ - \frac{- 7 \cdot x}{7} & = & - \frac{42}{7} \\ x & = & - 6 \end{array}$

Hast du das gemacht, dividierst du noch mit -7, um das x zu isolieren und erhältst die Lösung

$L = {- 6}$

Aufgabe 2

Welche Äquivalenzumformung würdest du bei dieser Gleichung als Erstes anwenden?

$x^{2} + 25 = 36$

Lösung

Um die Lösung dieser Gleichung zu ermitteln, ist es am besten zunächst die Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung zu ziehen, um die Potenz der Variable aufzulösen.

Äquivalenzumformungen - Das Wichtigste

Äquivalenzumformungen sind Umformungen, welche die Lösungsmenge der Gleichung unverändert lassen.
Man notiert hinter der Gleichung einen senkrechten Strich und schreibt dahinter die Umformung, welche auf beide Seiten der Gleichung angewendet wird.
Bei der Addition wird auf beiden Seiten der Gleichung ein Term addiert.
Bei der Subtraktion wird, ähnlich wie bei der Addition, auf beiden Seiten der Gleichung ein Term subtrahiert.
Möchtest du eine Gleichung mit einer Multiplikation äquivalent umformen, multiplizierst du beide Seiten des Gleichzeichens mit einem Term.
Möchtest du eine Gleichung mit einer Division äquivalent umformen, dividierst du beide Seiten des Gleichzeichens mit einem Term.
Die Division kannst du auch als Multiplikation mit einem Bruch darstellen.
Mit dem Logarithmus kann der Wert einer Variable ermittelt werden, welche Exponent ist.
Ein Term kann durch einen äquivalenten Term ersetzt werden.
Weitere wichtige Umformungen sind das Wurzelziehen und Potenzieren.

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Häufig gestellte Fragen zum Thema Äquivalenzumformungen

Welche Äquivalenzumformungen gibt es?

Zu den Äquivalenzumformungen gehören:

Addition
Subtraktion
Multiplikation
Division
Ersetzen eines Terms durch einen äquivalenten Term
Wurzel ziehen
Potenzieren
Logarithmisieren

Was sind Äquivalenzumformungen und wofür braucht man sie?

Äquivalenzumformungen sind Umformungen, welche die Lösungsmenge der Gleichung unverändert lassen. Man verwendet sie besonders häufig, um die Lösung von Gleichungen zu ermitteln.

Was sind keine Äquivalenzumformungen?

Wird bei einer Umformung die Lösungsmenge einer Gleichung verändert, handelt es sich nicht um eine Äquivalenzumformung.

Was ist äquivalent in der Mathematik?

Äquivalent sind Terme, welche durch Äquivalenzumformungen ineinander überführt werden können.

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Äquivalenzumformungen

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Äquivalenzumformungen: Beispiele und Erklärung

Arten von Äquivalenzumformungen

Äquivalenzumformungen: Addition und Subtraktion

Äquivalenzumformungen: Multiplikation und Division