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Assoziativgesetz Mathe – einfach erklärt
Das Assoziativgesetz (auch Verknüpfungsgesetz oder Verbindungsgesetz) in Mathe besagt, dass sich bei der Addition oder Multiplikation von drei oder mehr Zahlen \(a,\,b,\,c\,\in\mathbb{R}\) beliebig Klammern setzen lassen, ohne damit das Ergebnis der Rechnung zu verändern.
Sowohl die Addition als auch die Multiplikation sind assoziative Rechenoperationen, bei denen Du an beliebigen Stellen Klammern um Zahlen setzen kannst, um vorteilhaft zu rechnen.
Assoziativgesetz der Multiplikation
Das Assoziativgesetz der Multiplikation besagt, dass bei dem Produkt aus den Zahlen \(a,\,b,\,c\,\in\mathbb{R}\) beliebig Klammern gesetzt oder weggelassen werden können.
\[a\cdot b\cdot c=a\cdot (b\cdot c)=(a\cdot b)\cdot c\]
Assoziativgesetz der Addition
Das Assoziativgesetz der Addition besagt, dass bei der Summe aus den Zahlen \(a,\,b,\,c\,\in\mathbb{R}\) beliebig Klammern gesetzt oder weggelassen werden können.
\[a+b+ c=a+ (b+ c)=(a+ b)+ c\]
Assoziativgesetz Subtraktion
Das Assoziativgesetz gilt bei der Subtraktion nicht! Um trotzdem das Assoziativgesetz anwenden zu können, musst Du Deine Differenz zuerst in eine Summe umwandeln. \[\underbrace{5-3-8}_{Differenz} = \underbrace{5+(-3)+(-8)}_{Summe} = 5 + \left[(-3)+(-8)\right] = 5+(-3-8)\]
Assoziativgesetz Division
Das Assoziativgesetz gilt bei der Division nicht! Um dennoch das Assoziativgesetz bei der Division anwenden zu können, musst Du vorher alle Quotienten in Faktoren eines Produkts umformen. Am einfachsten funktioniert das mit Brüchen, da jeder Quotient in einen Bruch umgeformt werden kann.
Assoziativgesetz Beispiele
Sowohl bei reinen Summen als auch bei reinen Produkten lassen sich aufgrund des Assoziativgesetzes beliebig Klammern setzen.
Assoziativgesetz Multiplikation – Vorteilhaft Rechnen
Berechne das Produkt \(5\cdot 0{,}3 \cdot 10\) vorteilhaft durch Anwendung des Assoziativgesetzes.
Lösung
Das Assoziativgesetz der Multiplikation erlaubt es Dir, beliebig Klammern zu setzen. Dadurch ergibt sich:
\[5\cdot 0{,}3\cdot 10=5\cdot {\color{#00DCB4}(}0{,}3\cdot 10{\color{#00DCB4})}=5\cdot {\color{#00DCB4}3}=15\]
Assoziativgesetz Addition – Vorteilhaft Rechnen
Berechne die Summe \(6{,}2+3{,8}+4\) vorteilhaft durch Anwendung des Assoziativgesetzes.
Lösung
Das Assoziativgesetz der Addition erlaubt es Dir, beliebig Klammern zu setzen. Dadurch ergibt sich:
\[6{,}2+3{,}8+4={\color{#00DCB4}(}6{,}2+3{,}8{\color{#00DCB4})}+4={\color{#00DCB4}10}+4=14\]
Assoziativgesetz Subtraktion – Beispiel 3
Aus einer Differenz kannst Du eine Summe machen, indem Du das negative Vorzeichen einer Zahl „mitziehst“. So wird beispielsweise aus \(-2\) der Ausdruck \({\color{#FA3273}+}(-2)\).
Berechne die Differenz \(8-3-1\) durch Umwandlung in eine Summe und wende das Assoziativgesetz an.
Lösung
Zunächst werden die negativen Zahlen mithilfe der Vorzeichen in Summen umgeschrieben.
\[8{\color{#FA3273}\,+\,}(-3){\color{#FA3273}\,+\,}(-1)\]
Jetzt können die Klammern wieder beliebig gesetzt werden, was die folgenden Berechnungen zeigen.
\begin{align}&=8{\color{#FA3273}\,+\,}(-3){\color{#FA3273}\,+\,}(-1)={\color{#00DCB4}(}8+(-3){\color{#00DCB4})}-1={\color{#00DCB4}5}-1=4\\[0.2cm]&=8{\color{#FA3273}\,+\,}(-3){\color{#FA3273}\,+\,}(-1)=8+{\color{#1478C8}(}(-3)+(-1){\color{#1478C8})}=8+{\color{#1478C8}(-4)}=4\end{align}
Weitere Übungsaufgaben zum Assoziativgesetz findest Du in den zugehörigen Karteikarten!
Assoziativgesetz – Das Wichtigste
- Das Assoziativgesetz besagt, dass sich bei der Addition oder Multiplikation von drei oder mehr Zahlen \(a,\,b,\,c\,\in\mathbb{R}\) beliebig Klammern setzen lassen, ohne damit das Ergebnis der Rechnung zu verändern.
- Assoziativgesetz der Addition:\[a+b+ c=a+ (b+ c)=(a+ b)+ c\]
- Assoziativgesetz der Multiplikation:\[a\cdot b\cdot c=a\cdot (b\cdot c)=(a\cdot b)\cdot c\]
- Für die Subtraktion und die Division gilt das Assoziativgesetz nicht.
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Häufig gestellte Fragen zum Thema Assoziativgesetz
Wie lautet das Assoziativgesetz?
Für alle Zahlen a, b und c gilt:
- das Assoziativgesetz der Addition: a+(b+c)=(a+b)+c
- das Assoziativgesetz der Multiplikation: a · (b · c) = (a · b) · c
Wann gilt das Assoziativgesetz?
Du darfst das Assoziativgesetz innerhalb von Summen (also beim Addieren) und innerhalb von Produkten (also beim Multiplizieren) anwenden. Beim Subtrahieren und Dividieren gilt es jedoch nicht. Wenn du hier Klammern beliebig setzt oder weglässt, verändert sich das Ergebnis der Rechnung.
Was ist das Assoziativgesetz Beispiel?
Das Assoziativgesetz erlaubt dir, in Summen und Produkten Klammern zu setzen oder sie wegzulassen. Dadurch kannst du dir Rechenvorteile verschaffen. Zwei Beispiele hierfür sind:
- 134+63+37 = 134+(63+37) = 134+100=234
- (12 · 40) · 25 = 12· (40 · 25) = 12· 1000=12000
Wann wendet man das Assoziativgesetz an?
Das Assoziativgesetz wendet man beim Addieren oder Multiplizieren an, wenn man durch das Setzen von Klammern oder durch das Weglassen von Klammern Rechenvorteile bekommt, sich also die Rechnung dadurch vereinfacht. Durch das Anwenden des Assoziativgesetzes kannst du also häufig auf den Taschenrechner verzichten und kompliziert aussehende Rechenaufgaben im Kopf lösen.
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