Ausklammern und Ausmultiplizieren: Beispiel

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Das Distributivgesetz – Ausklammern und Ausmultiplizieren

Bevor wir zum tatsächlichen Ausmultiplizieren und Ausklammern kommen, müssen wir uns dafür kurz die Grundlagen ansehen.

Erinnerst du dich noch an das Distributivgesetz? Wenn ganze Zahlen miteinander multipliziert werden, findet diese Regel ihre Anwendung.

Distributivgesetz der Multiplikation:

Für alle Zahlen a, b und c gilt:

$1 . (a \pm b) \cdot c = a \cdot c \pm b \cdot c 2 . a \cdot (b \pm c) = a \cdot b \pm a \cdot c$

Das Distributivgesetz ist DIE Grundlage für das Ausklammern und Ausmultiplizieren. Deshalb solltest du dir, falls du dich damit noch unsicher fühlst, zuerst den Artikel "Distributivgesetz" anschauen.

Ausklammern und Ausmultiplizieren – Erklärung

Ausklammern und Ausmultiplizieren sind zwei Äquivalenzumformungen, die in Termen durchgeführt werden.

Erinnerung: eine Äquivalenzumformung ist eine Umformung einer Gleichung oder eines Terms, die die Lösungsmenge oder das Ergebnis nicht verändert.

Das Ausmultiplizieren ist eine Umformung, durch die eine oder mehrere Klammern aufgelöst werden. Wenn du etwa das Distributivgesetz von links nach rechts liest, wird dort ausmultipliziert.

Das Ausklammern ist die Umkehrung des Ausmultiplizierens. Hier wird eine Klammer gesetzt, indem ein Faktor abgetrennt wird, der in mehreren Summanden vorkommt. Liest du z. B. das Distributivgesetz von rechts nach links, wird dort ausgeklammert.

Abbildung 1: Ausklammern und Ausmultiplizieren

Ganz genau definiert, sind das Ausklammern und das Ausmultiplizieren zwei Anwendungen des Distributivgesetzes:

Mit Ausmultiplizieren wird eine Äquivalenzumformung bezeichnet, bei der durch Anwendung des Distributivgesetzes ein Produkt in eine Summe umgewandelt wird.

Mit Ausklammern oder Faktorisieren wird eine Äquivalenzumformung bezeichnet, bei der durch Anwendung des Distributivgesetzes eine Summe in ein Produkt umgewandelt wird.

Erinnerung: Ein Produkt ist das Ergebnis einer Multiplikation oder ein Term, der eine Multiplikation darstellt. Eine Summe ist das Ergebnis einer Addition oder auch ein Term, der eine Summe darstellt. In dieser Definition werden Summe und Produkt als Bezeichnungen von Termen verwendet.

Ausmultiplizieren – so geht's!

Schauen wir uns jetzt genau an, wie Ausklammern und Ausmultiplizieren funktioniert. Da das Ausmultiplizieren ein wenig einfacher ist, beginnen wir damit.

Es gibt mehrere Fälle, in denen du ausmultiplizieren kannst:

Eine Zahl oder eine Variable (also ein Faktor) wird mit einer Klammer multipliziert, in der eine Summe oder eine Differenz (also eine Strichrechnung) steht.
Zwei oder mehrere Klammern, in denen jeweils Summen oder Differenzen stehen, werden miteinander multipliziert.

Ausmultiplizieren – Fall 1

Der erste Fall ist im Grunde das Distributivgesetz. Wenn du das Distributivgesetz nicht ganz verstanden hast, dann solltest du dir den Artikel dazu unbedingt noch einmal anschauen.

Hier schauen wir uns zwei kurze Rechenbeispiele an.

$\begin{matrix} (2 x^{2} - 3 x y) \cdot y & a b^{2} + a \cdot (4 a + 2 b - 6 a b) \\ = & 2 x^{2} \cdot y - 3 x y \cdot y & = & a b^{2} + a \cdot 4 a + a \cdot 2 b + a \cdot (- 6 a b) \\ = & 2 x^{2} y - 3 x y^{2} & = & a b^{2} + 4 a^{2} + 2 a b - 6 a^{2} b \end{matrix}$

Ausmultiplizieren – Fall 2

Der interessantere und auch kompliziertere Fall ist der zweite Fall, wenn zwei oder sogar mehrere Klammern miteinander multipliziert werden.

Wenn zwei Klammern miteinander multipliziert werden, gibt es dafür das folgende Vorgehen:

Jedes Termglied der vorderen Klammer wird mit jedem Termglied der hinteren Klammer multipliziert.

Damit du keine dieser Verbindungen vergisst, empfiehlt es sich, Hilfsbögen oder Pfeile zu zeichnen. Hier kannst du auch gerne mit Farben in deinem Matheheft arbeiten. Eventuell hilft es dir auch, die Pärchen auf der linken Seite des = farbig zu unterstreichen, um die Übersicht zu behalten. Es ist spätestens dann sinnvoll, wenn nicht mehr nur zwei Klammern mit jeweils zwei Termgliedern vorhanden sind!

Ausklammern und Ausmultiplizieren Hilfsbögen StudySmarter Abbildung 2: Hilfsbögen zum Ausmultiplizieren

Ausklammern und Ausmultiplizieren Hilfsbögen StudySmarter Abbildung 3: Hilfsbögen und Markierungen zum Ausmultiplizieren

Wenn du diese Regel im Detail nachvollziehen möchtest, kannst du dir die folgende Vertiefung dazu ansehen.

Beweis der Regel zum Ausmultiplizieren zweier Klammern

Auch der zweite Fall ist im Grunde genommen nur die Anwendung des Distributivgesetzes, dafür aber direkt zweimal hintereinander.

Es ist ein Term in der Form $(□ + ○) \cdot (△ + ▱)$ gegeben. Wir fassen dabei die zweite Klammer einmal als ein Termglied auf, als ob dort einfach eine Zahl stehen würde. Das können wir uns auch so definieren. Sei also $a : = (△ + ▱)$

Der Term verändert sich damit zu $(□ + ○) \cdot a$ und hier wenden wir wie gewohnt das Distributivgesetz an:

$(□ + ○) \cdot a = □ \cdot a + ○ \cdot a$

Jetzt setzen wir für a wieder die ursprüngliche Klammer ein:

$□ \cdot a + ○ \cdot a$ wird zu $□ \cdot (△ + ▱) + ○ \cdot (△ + ▱)$

Jetzt liegt wieder zweimal das Distributivgesetz vor, einmal mit dem Dreieck $△$ , und einmal mit dem Parallelogramm $▱$ . Hier kannst du wieder wie gewohnt ausmultiplizieren.

$□ \cdot (△ + ▱) + ○ \cdot (△ + ▱) = □ \cdot △ + □ \cdot ▱ + ○ \cdot △ + ○ \cdot ▱$

Genau das haben wir in Abbildung 2 mithilfe der Hilfsbögen herausbekommen.

Schaue dir nun die folgenden Beispiele für ein besseres Verständnis an.

Aufgabe 1.1

Multipliziere aus: $(2 x - 3 y) \cdot (x y + 3 x - y)$

Lösung

Wir gehen ganz im Sinne der Regel "Jedes Termglied der vorderen Klammer wird mit jedem Termglied der hinteren Klammer multipliziert" vor.

$\begin{array}{cl} (2 x - 3 y) \cdot (x y + 3 x - y) \\ = & 2 x \cdot x y + 2 x \cdot 3 x + 2 x \cdot (- y) - 3 y \cdot x y - 3 y \cdot 3 x - 3 y \cdot (- y) \\ = & 2 x^{2} y + 6 x^{2} - 2 x y - 3 x y^{2} - 9 x y + 3 y^{2} \end{array}$

In einem letzten Rechenschritt können noch die xy zusammengefasst werden.

$\begin{array}{cl} = & 2 x^{2} y + 6 x^{2} - 2 x y - 3 x y^{2} - 9 x y + 3 y^{2} \\ = & 2 x^{2} y + 6 x^{2} - 11 x y - 3 x y^{2} + 3 y^{2} \end{array}$

Was aber, wenn nicht nur zwei Klammern miteinander multipliziert werden, sondern gleich drei oder noch mehr?

Im Prinzip wendest du das Vorgehen für zwei Klammern einige Male hintereinander an. Du multiplizierst zunächst die ersten beiden Klammern miteinander und das Ergebnis, das dann wieder in einer Klammer stehen sollte, wird mit der nächsten Klammer multipliziert. So gehst du vor, bis du alle Klammern abgearbeitet hast.

Aufgabe 1.2

Multipliziere aus: $(a + b) \cdot (a^{2} - a b) \cdot (b^{2} + a + b)$

Lösung

Zuerst werden die beiden vorderen Klammern ausmultipliziert, und die hintere vorerst stehen gelassen. Am besten setzt du dazu eine eckige Klammer um die beiden Klammern, die du zuerst miteinander multiplizierst.

$\begin{array}{cl} [(a + b) \cdot (a^{2} - a b)] \cdot (b^{2} + a + b) \\ = & [a \cdot a^{2} + a \cdot (- a b) + b \cdot a^{2} + b \cdot (- a b)] \cdot (b^{2} + a + b) \\ = & [a^{3} - a^{2} b + a^{2} b - a b^{2}] \cdot (b^{2} + a + b) \\ = & [a^{3} - a b^{2}] \cdot (b^{2} + a + b) \end{array}$

Im letzten Schritt wurde die vordere Klammer vereinfacht. Das solltest du nach Möglichkeit immer machen, da du dir dadurch einiges an Rechenarbeit sparst!

Nachdem die vorderen beiden Klammern miteinander multipliziert wurden, kann nun die neu entstandene erste Klammer mit der zweiten Klammer ausmultipliziert werden.

$\begin{array}{cl} [a^{3} - a b^{2}] \cdot (b^{2} + a + b) \\ = & a^{3} \cdot b^{2} + a^{2} \cdot a + a^{2} \cdot b - a b^{2} \cdot b^{2} - a b^{2} \cdot a - a b^{2} \cdot b \\ = & a^{3} b^{2} + a^{3} + a^{2} b - a b^{4} - a^{2} b^{2} - a b^{3} \end{array}$

Beim Ausmultiplizieren gilt – wie bei den meisten Themen in Mathe: Übung macht den Meister. Deshalb findest du am Ende des Artikels einige Übungsaufgaben zum Ausklammern und Ausmultiplizieren.

Ausklammern – so geht's!

Das Ausklammern oder Faktorisieren kann etwas schwieriger sein als das Ausmultiplizieren. Dafür musst du nämlich die Fertigkeit entwickeln, gemeinsame Faktoren in den Termgliedern erst einmal zu finden.

Beim Ausklammern gibt es auch mehrere Fälle:

Du kannst eine Zahl oder Variable ausklammern.
Du kannst eine ganze Klammer ausklammern (oder sogar mehrere Klammern).
Du kannst mehrere Zahlen oder Variablen ausklammern.

Ob nun der erste, zweite oder dritte Fall zutrifft, kannst du nicht unbedingt jedes Mal sofort erkennen. Deshalb zeigen wir dir im folgenden mehrere Beispiele, bei denen die unterschiedlichen Fälle zutreffen.

Aufgabe 2

Vereinfache den gegebenen Term durch Ausklammern: $3 x + 4 x + 5 x$

Lösung

In diesem Beispiel trifft der erste Fall zu: Es kann eine Variable ausgeklammert werden. Der Faktor, der bei allen Termgliedern vorkommt, ist das x. Daher kann das x ausgeklammert werden.

$3 x + 4 x + 5 x = x \cdot (3 + 4 + 5) = x \cdot 12$

Nicht nur Summen, sondern auch Differenzen lassen sich faktorisieren.

Aufgabe 3

Vereinfache den folgenden Term durch Ausklammern: $10 a - 5 a - 5$

Lösung

Auch hier tritt der erste Fall ein, dieses Mal kann eine Zahl ausgeklammert werden. Alle Termglieder des Terms sind nämlich durch 5 teilbar:

$10 a - 5 a - 5 = 5 \cdot 2 a - 5 \cdot a - 5 \cdot 1$

Somit kann der Faktor 5 ausgeklammert werden:

$10 a - 5 a - 5 = 5 \cdot 2 a - 5 \cdot a - 5 \cdot 1 = 5 \cdot (2 a - a - 1) = 5 \cdot (a - 1)$

Aufgabe 4

Schreibe den folgenden Term als Produkt: $(1 - p) \cdot a^{2} + 2 \cdot (1 - p)$

Lösung

Hier tritt der zweite Fall ein, es kann eine ganze Klammer ausgeklammert werden. Die Klammer ist in diesem Fall $(1 - p)$ .

$(1 - p) \cdot a^{2} + 2 \cdot (1 - p) = (1 - p) \cdot (a^{2} + 2)$

Aufgabe 5

Klammere so viel wie möglich aus: $34 a^{2} b + 6 a^{3} - 44 a^{2} b^{3}$

Lösung

Dieses Beispiel gehört zum schwierigeren dritten Fall. Du solltest hier zunächst überlegen, was alles ausgeklammert werden kann.

In allen Termgliedern kommt ein a mit einem Exponenten vor, der mindestens 2 ist. Daher kann ein $a^{2}$ ausgeklammert werden.
Alle Termglieder sind zudem durch 2 teilbar. Daher kann zusätzlich der Faktor 2 ausgeklammert werden.

Du kannst nun insgesamt $2 a^{2}$ ausklammern. Es bleibt dir überlassen, ob du das in einem Schritt machst, oder dafür zwei Schritte nutzt, indem du zuerst den einen Faktor, und dann den anderen Faktor ausklammerst. Wenn du dich noch nicht ganz sicher fühlst, solltest du lieber Schritt für Schritt vorgehen. Hier werden dir beide Wege gezeigt:

Zuerst wird Schritt für Schritt ausgeklammert:

$34 a^{2} b + 6 a^{3} - 44 a^{2} b^{3} = a^{2} \cdot (34 b + 6 a - 44 b^{3}) = a^{2} \cdot 2 \cdot (17 b + 3 a - 22 b^{3}) = 2 a^{2} \cdot (34 b + 6 a - 44 b^{3})$

Hier werden direkt $2 a^{2}$ ausgeklammert:

$34 a^{2} b + 6 a^{3} - 44 a^{2} b^{3} = 2 a^{2} \cdot (17 b + 3 a - 22 b^{3})$

Um zu überprüfen, ob du auch richtig faktorisiert hast, hilft es am Ende eine Probe durchzuführen. Bei der Probe musst du dein Ergebnis wieder ausmultiplizieren.

Um das Ausklammern zu üben, solltest du dir unbedingt die Übungsaufgaben am Ende des Kapitels ansehen.

Ausmultiplizieren und Ausklammern mit Brüchen

Du kannst nicht nur ganze Zahlen und Variablen ausklammern, sondern auch Brüche. Das funktioniert dann genauso, wie oben erklärt.

Manchmal ist es sehr hilfreich, Brüche auszuklammern, um einen Term mit lauter Brüchen in einen Term mit ganzen Zahlen umzuwandeln. Das geht aber nur, wenn alle Brüche denselben Nenner haben, wie im folgenden Beispiel.

Aufgabe 6

Schreibe als Produkt: $\frac{4}{7} x y + \frac{2}{7} x - \frac{5}{7} y^{2}$

Lösung

Alle Elemente des Terms haben hier einen Bruch mit Nenner 7 gemeinsam. Deshalb kann $\frac{1}{7}$ ausgeklammert werden:

$\frac{4}{7} x y + \frac{2}{7} x - \frac{5}{7} y^{2} = \frac{1}{7} \cdot 4 x y + \frac{1}{7} \cdot 2 x - \frac{1}{7} \cdot 5 y^{2} = \frac{1}{7} \cdot (4 x y + 2 x - 5 y^{2})$

Auch wenn nicht alle Elemente denselben Nenner haben, lassen sich manchmal geschickt Brüche ausklammern.

Aufgabe 7

Vereinfache den folgenden Term geschickt: $\frac{1}{2} a b + 3 a^{2} - \frac{3}{4} a b^{2}$

Lösung

Als Erstes könnte dir auffallen, dass in jedem Element ein a vorkommt. Das kann im ersten Schritt ausgeklammert werden.

$\frac{1}{2} a b + 3 a^{2} - \frac{3}{4} a b^{2} = a \cdot (\frac{1}{2} b + 3 a - \frac{3}{4} b^{2})$

Nun stören die Brüche in der hinteren Klammer noch ein wenig. Du kannst jetzt geschickt erweitern, sodass dieselben Nenner in der Klammer vorkommen. Hier bietet es sich an, auf Viertel zu erweitern.

$a \cdot (\frac{1}{2} b + 3 a - \frac{3}{4} b^{2}) = a \cdot (\frac{2}{4} b + \frac{12}{4} a - \frac{3}{4} b^{2})$

Jetzt kann wie im letzten Beispiel $\frac{1}{4}$ ausgeklammert werden.

$a \cdot (\frac{2}{4} b + \frac{12}{4} a - \frac{3}{4} b^{2}) = \frac{1}{4} a \cdot (2 b + 12 a - 3 b^{2})$

Ausklammern und Ausmultiplizieren – Übungen

Damit du dir das Gelernte besser einprägen kannst, folgen hier einige Übungsaufgaben.

Aufgabe 8

Fasse die folgenden Terme so weit wie möglich zusammen.

$1 . a \cdot (4 b - 5) - 3 b \cdot (2 a + 2) 2 . (x - y) - (y - x) + 4 \cdot (y + x) 3 . (s^{2} + t^{2}) \cdot (- 1) + (- 3) \cdot (t^{2} - s^{2}) 4 . \frac{5}{3} \cdot (x - y) - y \cdot (x - y) + 0, 4 \cdot (x - y)$

Tipp: Die Angabe bedeutet, dass der Term am Ende so übersichtlich wie möglich sein sollte. Manchmal musst du dazu zuerst ausmultiplizieren und dann wieder etwas ausklammern.

Lösungen

Lösung zu 1: Den ersten Term solltest du zunächst ausmultiplizieren und dann Termglieder mit denselben Variablen zusammenfassen.

$a \cdot (4 b - 5) - 3 b \cdot (2 a + 2) = 4 a b - 5 a - 6 a b - 6 b = - 2 a b - 5 a - 6 b$

Hier lässt sich nun nicht mehr ausklammern, da die Termglieder keine gemeinsamen Faktoren haben.

Lösung zu 2: Hier ist es sinnvoll, zunächst auszumultiplizieren und zudem die Minusklammer aufzulösen.

Um eine Minusklammer aufzulösen, werden alle Vorzeichen in der Klammer umgedreht.

Beispiel: $2 - (a + b - c) = 2 - a - b + c$

(x - y) - (y - x) + 4 \cdot (y + x) = x - y - y + x + 4 y + 4 x = 6 x - 2 y

Beide Termglieder sind jetzt noch durch 2 teilbar. Daher können wir noch den Faktor 2 ausklammern. Mehr ist danach nicht möglich.

$6 x - 2 y = 2 \cdot (3 x - y)$

Lösung zu 3: Auch hier kommst du um das Ausmultiplizieren nicht herum.

$(s^{2} + t^{2}) \cdot (- 1) + (- 3) \cdot (t^{2} - s^{2}) = - s^{2} - t^{2} - 3 t^{2} + 3 s^{2} = 2 s^{2} - 4 t^{2}$

Wie in der vorherigen Aufgabe kann jetzt noch eine 2 ausgeklammert werden.

$2 s^{2} - 4 t^{2} = 2 \cdot (s^{2} - 2 t^{2})$

Lösung zu 4: Vorsicht! Hier kannst du dir das Ausmultiplizieren sparen, wenn du ganz genau hinschaust. Die Klammer ist nämlich in jedem Termglied gleich und kann daher im Ganzen ausgeklammert werden.

$\frac{5}{3} \cdot (x - y) - y \cdot (x - y) + 0, 4 \cdot (x - y) = (x - y) \cdot (\frac{5}{3} - y + 0, 4) = (x - y) \cdot (\frac{25}{15} - y + \frac{6}{15}) = (x - y) \cdot (\frac{31}{15} - y)$

Aufgabe 9

Schreibe als Produkt.

$1 . 7 a + 14 b 2 . 12 u^{2} - 32 u v 3 . - \frac{1}{4} s t + \frac{3}{4} t s^{2} 4 . i c^{3} h^{2} - i^{2} c^{2} h + i^{3} c^{3} h^{3}$

Lösungen

Lösung zu 1: Hier sind beide Termglieder durch 2 teilbar. Das ist auch schon das einzige, was ausgeklammert werden kann.

$7 a + 14 b = 7 \cdot (a + 2 b)$

Lösung zu 2: In den beiden Termgliedern findet sich ein u. Außerdem sind sie beide durch 4 teilbar. Demnach können insgesamt $4 u$ ausgeklammert werden.

$12 u^{2} - 32 u v = 4 u \cdot (3 u - 8 v)$

Lösung zu 3: Im dritten Term kann ein Bruch ausgeklammert werden, nämlich $\frac{1}{4}$ . Zudem tritt in beiden Termgliedern ein s und ein t auf. Es können also insgesamt $\frac{1}{4} s t$ ausgeklammert werden.

$- \frac{1}{4} s t + \frac{3}{4} t s^{2} = \frac{1}{4} s t \cdot (- 1 + 3 s)$

Lösung zu 4: In diesem Term musst du gut den Überblick behalten! In allen drei Termgliedern kommen die Variablen i, c und h vor. Hier musst du besonders gut auf die Exponenten achten.

Das i kommt im ersten Termglied nur einmal vor, deshalb kann es auch nur einmal ausgeklammert werden.
Das c kommt in jedem Termglied mindestens mit dem Exponenten 2 vor. Daher kann $c^{2}$ ausgeklammert werden.
Das h kommt im zweiten Termglied nur einmal vor und kann daher wie das i auch nur einmal ausgeklammert werden.

Demnach ergibt sich insgesamt:

$i c^{3} h^{2} - i^{2} c^{2} h + i^{3} c^{3} h^{3} = i c^{2} h \cdot (c h - i + i^{2} c h^{2})$

Hinweis: Falls es mit Aufgaben nicht auf Anhieb geklappt hat, mach dir keine Sorgen! Es braucht etwas Übung, bis du ein Gefühl für das Ausklammern und ausmultiplizieren bekommst. Schaue dir auch gerne die Karteikarten zu dem Thema an.

Ausklammern und Ausmultiplizieren - Das Wichtigste

Das Distributivgesetz ist die Grundlage für das Ausklammern und Ausmultiplizieren.
Beim Ausklammern wird eine Summe in ein Produkt umgewandelt.
Beim Ausmultiplizieren wird ein Produkt in eine Summe umgewandelt.
Ausklammern und Ausmultiplizieren sind Umkehroperationen.
Ausklammern und Ausmultiplizieren braucht man, um Terme zu vereinfachen und Rechenvorteile zu finden.
Man kann eine Zahl, eine Variable, eine ganze Klammer oder mehrere Zahlen und Variablen ausklammern.
Wenn man zwei Klammern ausmultiplizieren will, dann gilt die Regel "Jedes Termglied der vorderen Klammer wird mit jedem Termglied der hinteren Klammer multipliziert".
Wenn man mehr als zwei Klammern ausmultiplizieren will, dann multipliziert man Schritt für Schritt je zwei Klammern miteinander.

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Häufig gestellte Fragen zum Thema Ausklammern und Ausmultiplizieren

Wie kann ich Ausmultiplizieren?

Wenn du eine Zahl/Variable mit einer Klammer multiplizieren musst, dann multiplizierst du jedes Termglied der Klammer mit dieser Zahl/Variable.

Wenn du zwei Klammern miteinander multiplizieren musst, dann gehst du nach der Regel "jedes Termglied der vorderen Klammer wird mit jedem Termglied der hinteren Klammer multipliziert" vor.

Musst du mehrere Klammern ausmultiplizieren, so multiplizierst du Schritt für Schritt je zwei Klammern miteinander.

Wie geht das Klammer auflösen?

Klammern auflösen kannst du auf mehreren Wegen:

ausmultiplizieren, wenn die Klammer mit einem Termglied oder einer anderen Klammer multipliziert wird
die Vorzeichen der Termglieder in der Klammer umdrehen, wenn es sich um eine Minusklammer handelt
die Klammer berechnen
die Klammer weglassen, wenn sie nicht wichtig ist.

Wie multipliziere ich zwei Klammern?

Wenn du zwei Klammern miteinander multiplizieren musst, dann gehst du nach der Regel "jedes Termglied der vorderen Klammer wird mit jedem Termglied der hinteren Klammer multipliziert" vor.

Was bedeutet Terme Ausmultiplizieren?

Terme ausmultiplizieren bedeutet, dass du einen Term, in dem Produkte (also Multiplikationen) vorkommen so umformst, dass nur Strichrechnungen (+ oder -) vorkommen.

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