Bruchgleichungen

Aufgabe 1

Gegeben ist die folgende Gleichung:

Du nimmst dir den Nenner, setzt diesen gleich 0 und löst die so erhaltene Gleichung auf. So können wir einen Wert ermitteln, den wir aus der Definitionsmenge ausschließen müssen, da unser Nenner nicht 0 werden darf.

$$\begin{gathered} 4-x=0\overline{)+x} \\ x=4 \end{gathered}$$

Die Definitionsmenge dieser Gleichung ist:

Ausgesprochen bedeutet das, dass du in dieser Gleichung alle reellen Zahlen außer die 4 für x einsetzen kannst.

Aufgabe 2

Folgende Gleichung ist dir gegeben. Bestimme deren Lösungsmenge.

Lösung

1. Lege zunächst die Definitionsmenge der Bruchgleichung fest.

Nimm dir dazu den Nenner, setze diesen gleich 0 und löse weiter auf. Wir haben also:

$D=\mathrm{ℝ}\backslash \left\{0\right\}$

2. Dann multiplizierst du beide Seiten der Gleichung mit$2·x$. Du erweiterst demnach beide Seiten der Gleichung mit dem Wert$2·x$.

$\frac{4·x+20}{2·x}·2·x=4·2·x$

3. Durch die Multiplikation mit$2·x$löst sich der Bruch auf und es bleibt nur noch:

Warum steht auf der linken Seite jetzt kein$2·x$mehr? Das liegt daran, dass der Ausdruck sowohl oben als auch unten im Bruch mit einem Malzeichen verbunden ist und somit gekürzt werden kann.

Subtrahiere$4·x$.

Teile durch 4.

4. Prüfe nun, ob das Ergebnis in deiner Definitionsmenge enthalten ist.

$5liegtinD=\mathrm{ℝ}\backslash \left\{0\right\}$

5. Also ist die Lösungsmenge der Gleichung:

Aufgabe 3

Dir ist diese Bruchgleichung gegeben. Bestimmen deren Lösungsmenge.

$\frac{16}{4·x}=4$

Um dies graphisch zu tun, zeichnest du für den Bruchterm auf der linken Seite des Gleichheitszeichens die Funktion f(x).

$f\left(x\right)=\frac{16}{4·x}$

Für den Zahlterm auf der rechten Seite des Gleichheitszeichens die Funktion$g\left(x\right)$.

$g\left(x\right)=4$

Um die Lösungen der obigen Gleichung jetzt zu ermitteln, musst du alle Schnittpunkte von f(x) und g(x) finden. In unserem Beispiel ist das nur einer, nämlich der Schnittpunkt$S\left(1\right|4)$. Die Bruchgleichung hat also die Lösungsmenge:

$L=\left\{1\right\}$

Aufgabe 4

Die Definitionsmenge der Bruchgleichung

$\frac{10}{2·x}=\frac{8·x}{2·x}+1$

ist:

$D=\mathrm{ℝ}\backslash \left\{0\right\}$

Um das herauszufinden, nimmst du dir von jedem Bruchterm in der Bruchgleichung den Nenner, setzt diesen gleich 0 und löst nach x auf.

Da die beiden Bruchterme schon denselben Nenner haben, reicht es einmal zu zeigen, dass gilt:

$\begin{array}{rcl}2·x& =& 0\overline{):2}\\ x& =& 0\end{array}$

So erhält du alle Werte, welche du für x in dieser Bruchgleichung nicht einsetzen darfst.

Aufgabe 5

Wir führen unser Beispiel von oben mit folgender Bruchgleichung weiter. Die Definitionsmenge haben wir bereits festgelegt. Jetzt müssen wir alle Bruchterme auf eine Seite verschieben und sie danach auf einen Hauptnenner bringen.

$\frac{10}{2·x}=\frac{8·x}{2·x}+1$

Bringe zunächst beide Bruchterme auf eine Seite des Gleichzeichens, indem du$-\frac{8·x}{2·x}$rechnest. (Schritt 2)

$\frac{10}{2·x}-\frac{8·x}{2·x}=1$

In diesem Fall besitzen beide Brüche schon den gleichen Nenner. Es entfällt demnach Schritt 3. Ziehe nun die beiden Brüche zusammen.

$\frac{10-8·x}{2·x}=1$

Du erhältst eine Gleichung mit nur noch einem Bruchterm.

Aufgabe 5

Wir greifen das obige Beispiel wieder auf und suchen die Lösungsmenge von:

Die Definitionsmenge dieser Bruchgleichung ist:

$D=\mathrm{ℝ}\backslash \left\{0\right\}$

Um die Lösungsmenge zu erhalten, multiplizierst du mit $2·x$. (Schritt 4)

Danach rechnest du +$8·x$. (Schritt 5)

Um den Wert für x zu bekommen, teilst du noch durch 10.

Da die 1 in der Definitionsmenge D liegt, gilt (Schritt 6 und 7):

Aufgabe 6

Wir betrachten die folgende Bruchgleichung:

$\frac{25}{5·x}=\frac{2·x+3·x}{x}$

Um ihre Lösung graphisch zu ermitteln, zeichnen wir die beiden Funktionen:

$f\left(x\right)=\frac{25}{5·x}$

$g\left(x\right)=\frac{2·x+3·x}{x}$

Man erkennt sofort, dass die beiden Funktionen sich am Punkt$S\left(1\right|5)$schneiden. Die Lösung der obigen Bruchgleichung ist also:

$L=\left\{1\right\}$

Aufgabe 7

Bilde den Kehrwert der Gleichung und löse die Gleichung dann weiter auf.

Der Kehrwert ist:

Das können wir vereinfachen zu:

Die Lösungsmenge der Gleichung ist also:

$L=\mathrm{ℝ}\backslash \left\{0\right\}$

Beispielsweise würde

$\frac{4}{x}=\frac{2}{6}$

durch Überkreuz multiplizieren zu:

$$\begin{gathered} 4·6=x·2 \\ 24=2·x\overline{):2} \\ x=12 \end{gathered}$$

Aufgabe 8

Bringe folgende Bruchgleichung

$\frac{8·x}{2+x}=\frac{4·x}{2+x}$

in die Form:

$\frac{Zähler}{Nenner}=0$

Löse diese dann auf.

Lösung

Bringe die obige Gleichung zunächst in die obige Form:

$$\begin{gathered} \frac{8·x}{2+x}=\frac{4·x}{2+x}\overline{)-\frac{4·x}{2+x}} \\ \frac{8·x}{2+x}-\frac{4·x}{2+x}=0 \\ \frac{4·x}{2+x}=0 \end{gathered}$$

Setze nun den Zähler gleich 0 und löse auf.

$$\begin{gathered} 4·x=0\overline{):4} \\ x=0 \end{gathered}$$

Setze das Ergebnis, also $x=0$ in den Nenner ein.

$2+0=2$

Da der Nenner nicht 0 wird, stimmt das Ergebnis und die Lösungsmenge ist:

$L=\left\{0\right\}$

Aufgabe 9: Brüche auf einen Nenner bringen

Bringe folgende Bruchgleichung auf den gleichen Nenner.

$\frac{1}{x}+5=\frac{20}{4·x}+1$

Lösung

Bringe zunächst beide Bruchterme auf eine Seite des Gleichzeichens.

$\begin{array}{rcl}\frac{1}{x}+5& =& \frac{20}{4·x}+1\overline{)-\frac{20}{4·x}}\\ \frac{1}{x}+5-\frac{20}{4·x}& =& 1\overline{)-5}\\ \frac{1}{x}-\frac{20}{4·x}& =& 1-5\\ \frac{1}{x}-\frac{20}{4·x}& =& -4\\ & & \end{array}$

$\frac{1·4}{x·4}=\frac{4}{4·x}$

Du erhältst also die Gleichung,

$\frac{4}{4·x}-\frac{20}{4·x}=-4$

welche du dann weiter umformen kannst zu:

$\begin{array}{rcl}\frac{4}{4·x}-\frac{20}{4·x}& =& -4\\ -\frac{16}{4·x}& =& -4\overline{)·(-1)}\\ \frac{16}{4·x}& =& 4\overline{)·4·x}\\ 16& =& 4·4·x\\ 16& =& 16·x\overline{):16}\\ x& =& 1\end{array}$

Aufgabe 10

Finde für folgende Bruchgleichung zunächst die Definitionsmenge und bestimme dann die Lösungsmenge.

Lösung

Die Definitionsmenge der obigen Gleichung ist:

Die 12 wird als Wert für x aus der Definitionsmenge ausgeschlossen, da für sie der Nenner Null und somit die Gleichung ungültig werden würde.

Du kannst jetzt die Gleichung nach x auflösen.

Multipliziere dafür beide Seiten der Gleichung zunächst mit dem Nenner des Bruchterms.

Jetzt kannst du wie gewohnt nach x auflösen.

Da 5 in der Definitionsmenge liegt, ist:

Aufgabe 11

Finde für folgende Bruchgleichung zunächst die Definitionsmenge und bestimme dann die Lösungsmenge.

Lösung

Die Definitionsmenge der obigen Gleichung ist

$D=\mathrm{ℝ}\backslash \left\{0\right\}$

Wir bringen zunächst beide Bruchterme auf eine Seite der Gleichung und ziehen diese zusammen.

Anschließend multiplizieren wir mit dem Nenner des Bruchs und lösen dann die Gleichung weiter auf.

Da die Lösung in der Definitionsmenge enthalten ist, ist

$L=\left\{\frac{1}{2}\right\}$