Bruchterme: Vereinfachen, Kürzen & Aufgaben

Q: Wie werden Bruchterme addiert?

Bei der Addition von zwei Bruchterme erweiterst Du die Bruchterme zunächst so, dass beide denselben Nenner besitzen. Dann kannst Du die Zähler addieren und lässt dabei den Nenner unberührt.

Q: Wie werden Bruchterme gekürzt?

Beim Kürzen achtest Du darauf, ob der Zähler und Nenner einen gemeinsamen Faktor besitzen. Diesen kannst Du dann streichen. Um diesen gemeinsamen Faktor "hervorzulocken", kannst Du Tricks wie das Ausklammern oder die binomischen Formeln verwenden.

Springe zu einem wichtigen Kapitel

Du hast bereits Brüche und Terme kennengelernt. Ein Bruchterm kombiniert diese Begriffe. Was genau Bruchterme sind und wie Du mit ihnen genau umgehen musst, erfährst Du alles in dieser Erklärung.

Bruchterme – Definition

Folgende Terme sind Beispiele für Bruchtermen:

$\frac{8x}{13x^2+2}$
$\frac{1}{4x}$
$\frac{2}{x}+\frac{12x + 1}{x-2}$

Bruchterme Definitionsmenge

Wie bei jedem Bruch darf der Nenner auch bei Bruchtermen nicht null werden. Da Bruchterme Variablen enthalten, für die beliebige Zahlen eingesetzt werden dürfen, muss hier die Anzahl der Möglichkeiten reduziert werden, sodass im Nenner niemals Null steht. Diese reduzierte Menge an Zahlen, die eingesetzt werden dürfen, wird Definitionsmenge $\mathbb{D}$ genannt.

Bestimmen der Definitionsmenge:

Alle Nenner des Bruchterms jeweils mit null gleichsetzen, um herauszufinden, für welche Zahlen die Nenner null werden
Alle Lösungen in einer Menge zusammenfassen z.B.: $\mathbb{L}=\{\text{Lösung 1}; \text{Lösung 3} ;\text{Lösung 3} \}$
Die Definitionsmenge ist die Grundmenge (in der Regel die rationalen Zahlen $\mathbb{Q}$ oder die reellen Zahlen $\mathbb{R}$) ohne die Menge $\mathbb{L}$
Das ganze wird als $\mathbb{D}\backslash\{\text{Lösung 1}; \text{Lösung 3} ;\text{Lösung 3} \}$ aufgeschrieben (Ausgesprochen D ohne Lösung 1, Lösung 2, Lösung 3)

Betrachte folgende Beispiele:

Definitionsmenge von Bruchterme bei einer Nullstelle

Betrachte den Bruchterm

$\frac{12}{\frac{3}{4} x - 9} .$

Der Nenner ist hier also

$N (x) = \frac{3}{4} x - 9$

und damit eine lineare Funktion. Eine solche Funktion kann maximal eine Nullstelle besitzen. In diesem Fall führt die Gleichung

$N (x) = \frac{3}{4} x - 9 = 0$

auf die Nullstelle

$x_{0} = 12 .$

Die Definitionsmenge für diesen Bruchterm lautet daher

$\mathbb{D} = \mathbb{Q}\backslash\{12\}$

Du darfst also in den Bruchterm alle rationalen Zahlen einsetzen, außer die Zahl 12.

Bruchterme kürzen, addieren und multiplizieren

Du kannst mit Bruchterme umgehen, wie mit Brüchen. Abgesehen von längeren Ausdrücken, musst Du dabei stets auf die Definitionsmenge achten.

Bruchterme kürzen

Betrachte den Bruchterm

$\frac{5 x^{3} + 5 x}{x^{2} + 1} .$

Der Nenner hat keine (reellen) Nullstellen, also kannst Du in den Bruchterm alle ganzen Zahlen einsetzen. Du kannst im Zähler einen Faktor von 5x ausklammern und erhältst

$\frac{5 x^{3} + 5 x}{x^{2} + 1} = \frac{5 x \cdot (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1} .$

Der Term $x^{2} + 1$ taucht sowohl im Zähler als auch im Nenner auf, also darfst Du ihn kürzen

$\frac{5 x^{3} + 5 x}{x^{2} + 1} = \frac{5 x \cdot (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1} = 5 x .$

Die gekürzte Version des Burchterms hat dieselbe Definitionsmenge wie der ursprüngliche Bruchterm.

Bruchterme kürzen, wobei die Definitionsmenge geändert wird

Du hast diesmal den Bruchterm

$\frac{x^{2} - x - 20}{x - 5}$

gegeben. Der Nenner hat bei $x_{0} = 5$ eine Nullstelle. Der Bruchterm hat damit eine Definitionsmenge von

$D = ℤ \ \{x_{0}\} = ℤ \ \{5\} .$

Setzt Du die Nullstelle in den Zähler ein, so siehst Du, dass $x_{0} = 5$ auch eine Nullstelle des Zählers ist. Du kannst daher aus dem Zähler einen Faktor von $x - 5$ ausklammern und bekommst

$\frac{x^{2} - x - 20}{x - 5} = \frac{(x - 5) \cdot (x + 4)}{x - 5} .$

Im Zähler und Nenner befindet sich nun der Term $x - 5$ . Das Kürzen führt dann auf

$\frac{(x - 5) \cdot (x + 4)}{x - 5} = x + 4 .$

In der gekürzten Version darfst Du aber alle ganzen Zahlen einsetzen. Durch das Kürzen wurde also die Definitionsmenge geändert.

Eine solche Nullstelle des Nenners, die im gekürzten Bruch nicht mehr vorhanden ist, heißt eine hebbare Definitionslücke. Sie ist hebbar in dem Sinne, dass Du Dir den ursprünglichen Bruchterm wegdenken und Dich auf die gekürzte Version konzentrieren kannst. In der gekürzten Version gibt es dann die Definitionslücke nicht mehr; sie wurde als "behoben". Allgemein werden die Nullstellen des Nenners als Definitionslücken bezeichnet, wenn Bruchterme als Funktionen verstanden werden.

Das letzte Beispiel hat aufgezeigt, wann der Zähler bei der Bestimmung der Definitionsmenge eine Rolle spielen kann: Wann immer eine Nullstelle des Nenners auch eine Nullstelle des Zählers ist, so kann gekürzt werden. Bei der gekürzten Version des Bruchterms kann dann die problematische Stelle "behoben" sein.

Bruchterme addierst Du wie Brüche: Du erweiterst die Bruchterme so, dass sie denselben Nenner besitzen. Beim Erweitern kannst Du aber neue Problemstellen einführen und dadurch die Definitionsmenge ändern.

Bruchterme addieren

Du hast die beiden Bruchterme

$\frac{1}{x - 7}$ und $\frac{1}{x - 12}$

gegeben. Der erste Bruchterm hat eine Definitionsmenge von

$D_{1} = ℤ \ \{7\}$

und der Zweite hingegen

$D_{2} = ℤ \ \{12\} .$

Das Erweitern der Bruchterme mit der "Brute-Force"-Methode führt auf

$\frac{1}{x - 7} = \frac{(x - 12) \cdot 1}{(x - 12) \cdot (x - 7)}$

und

$\frac{1}{x - 12} = \frac{(x - 7) \cdot 1}{(x - 7) \cdot (x - 12)} .$

Durch anschließende Addition erhältst Du

$\frac{1}{x - 7} + \frac{1}{x - 12} = \frac{(x - 12)}{(x - 12) \cdot (x - 7)} + \frac{(x - 7)}{(x - 12) \cdot (x - 7)} = \frac{2 x - 19}{(x - 12) \cdot (x - 7)} .$

Der Nenner des Ergebnisses besitzt nun die beiden Nullstellen $x_{0} = 7$ und $x_{1} = 12$ . Damit hast Du als Definitionsmenge

$D = ℤ \ \{x_{0}, x_{1}\} = ℤ \ \{7, 12\} .$

Die Summe hat also die Problemstellen der Summanden geerbt.

Bei der Multiplikation zweier Bruchterme gehst Du erneut genauso vor, wie bei der Multiplikation von zwei Brüchen.

Bruchterme multiplizieren

Betrachte die beiden Bruchterme

$\frac{5 x}{x + 1}$ und $\frac{x^{2}}{x - 9}$ .

Bei der Multiplikation dieser beiden, nimmst Du separat das Produkt der Zähler und das Produkt der Nenner. Die Ergebnisse davon bilden Zähler und Nenner des neuen Bruchterms. Konkret hast Du hier

$\frac{5 x}{x + 1} \cdot \frac{x^{2}}{x - 9} = \frac{5 x \cdot x^{2}}{(x + 1) \cdot (x - 9)} = \frac{5 x^{3}}{(x + 1) \cdot (x - 9)} .$

Die Definitionsmenge davon ist

$D = ℤ \ \{- 1, 9\} .$

Es erfordert Übung, um Bruchterme anzusehen und zu erkennen, was Du ausklammern oder wo Du spezielle Formeln verwenden kannst. Das Ziel am Ende ist oft, die Bruchterme so weit wie möglich zu vereinfachen.

Bruchterme vereinfachen und Bruchterme zusammenfassen

Es gibt mehrere Möglichkeiten, Bruchterme zu vereinfachen und zusammenzufassen. Alle Regeln, die für das vereinfachen von Brüchen gelten, können auch bei Bruchtermen angewandt werden. Dazu gehören:

Kürzen und Erweitern von Bruchtermen
Mehrere Bruchterme auf denselben Nenner bringen
Addieren, Subtrahieren, Dividieren und Multiplizieren von Bruchtermen

Beispiel 1

Betrachte den Bruchterm

$\frac{5 x^{3} - 10 x}{x^{2} - 2} .$

Der Nenner hätte die Nullstellen $x_{0} = \sqrt{2}$ und $x_{1} = - \sqrt{2}$ . Weil hier aber nur die ganzen Zahlen betrachtet werden und $\sqrt{2}$ keine ganze Zahl ist, hat der Bruchterm als Definitionsmenge alle ganzen Zahlen.

Im Zähler kannst Du einen Faktor von $5 x$ ausklammern und erhältst

$\frac{5 x^{3} - 10 x}{x^{2} - 2} = \frac{5 x \cdot (x^{2} - 2)}{x^{2} - 2} .$

Jetzt kannst Du den Term $x^{2} - 2$ kürzen

$\frac{5 x \cdot (x^{2} - 2)}{x^{2} - 2} = 5 x .$

Hier kommt der erste Tipp: Wann immer die Summanden im Zähler oder Nenner alle zumindest einen Faktor derselben Variable besitzen, so kann das Ausklammern davon hilfreich sein.

Im Beispiel hatten die Summanden des Zählers $5 x^{3}$ und $- 10 x$ beide mindestens einen Faktor der Variable $x$ . Das war bereits ein Hinweis darauf, dass das Ausklammern dieses Faktors nützlich sein wird. Ein zweiter Blick zeigt dann zusätzlich, dass in den Summanden nicht nur ein Faktor von x steckt, sondern auch ein Faktor von $5 x$ .

Beispiel 2

Nun hast Du den Bruchterm

$\frac{x^{2} + 2 x - 15}{x + 5} .$

Die Definitionsmenge davon ist $D = ℤ \ \{- 5\}$ . Im Zähler besitzen nicht alle Summanden mindestens einen Faktor von x.

Du kannst aber mit der Mitternachtsformel die Nullstellen

$x_{0} = - 5$ und $x_{1} = + 3$

berechnen. (Wieso wir auch die Vorzeichen hervorgehoben haben, wird gleich klar werden.)

Du kannst damit den Zähler folgendermaßen zerlegen

$x^{2} + 2 x - 15 = (x + 5) \cdot (x - 3) .$

Beachte, wie dabei die Vorzeichen der Nullstellen umgekehrt werden: Aus -5 wurde +5 und aus +3 wurde -3. Das muss so sein, denn nur so bleiben -5 und +3 Nullstellen.

Weshalb -5 und +3 weiterhin Nullstellen bleiben, kannst Du auch mit dem Satz vom Nullprodukt einsehen: Ein Produkt ist Null, wenn einer seiner Faktoren Null ist. Die Faktoren in diesem Beispiel sind die Ausdrücke in den Klammern.

Hättest Du $(x - 5) \cdot (x + 3)$ geschrieben, so ergibt dieser Ausdruck für den Wert $x = - 5$

$(- 5 - 5) \cdot (- 5 + 3) = - 10 \cdot (- 2) = 20 \neq 0 .$

Damit wäre $x = - 5$ keine Nullstelle. Das darf aber nicht sein, denn $x^{2} + 2 x - 15$ und seine Zerlegung sollen denselben Term darstellen.

Jetzt kannst Du den Zähler durch seine Zerlegung ersetzen und bekommst

$\frac{x^{2} + 2 x - 15}{x + 5} = \frac{(x + 5) \cdot (x - 3)}{x + 5} .$

In dieser Form findest Du im Zähler und Nenner denselben Faktor und kannst diesen daher kürzen

$\frac{x^{2} + 2 x - 15}{x + 5} = \frac{(x + 5) \cdot (x - 3)}{x + 5} = x - 3 .$

Der gekürzte Bruchterm hat eine Definitionsmenge von $D = ℤ$ ; Du darfst also alle ganzen Zahlen einsetzen.

Hier kommt der zweite Tipp: Wenn Du nicht auf den ersten Blick Faktoren ausklammern kannst, versuche den Zähler (oder auch den Nenner) zu zerlegen, indem Du die Nullstellen bestimmst. Vergesse dabei nicht, in der Zerlegung die Vorzeichen umzukehren.

Bruchterme vereinfachen durch Verwendung von binomischen Formeln

Manchmal kannst Du Bruchterme vereinfachen, indem Du bekannte Formeln verwendest, die lange Ausdrücke in kompaktere Ausdrücke umwandeln.

Betrachte zum Beispiel den Bruchterm

$\frac{x^{2} - 4}{x^{2} + 4 x + 4} .$

Im Zähler haben die Summanden keine gemeinsamen Faktoren. Du kannst also so nicht direkt ausklammern. Du könntest die Nullstellen bestimmen und den Zähler zerlegen.

Wenn Du aber die binomischen Formeln beherrschst, erkennst Du, dass

$\frac{x^{2} - 4}{x^{2} + 4 x + 4} = \frac{(x + 2) \cdot (x - 2)}{{(x + 2)}^{2}}$

gilt. Jetzt hast Du im Zähler und Nenner jeweils einen Faktor von $x + 2$ . Wenn Du diesen kürzt, erhältst Du

$\frac{x^{2} - 4}{x^{2} + 4 x + 4} = \frac{(x + 2) \cdot (x - 2)}{{(x + 2)}^{2}} = \frac{x - 2}{x + 2} .$

Hier kommt der dritte Tipp: Meistere gängige Formeln, die lange Ausdrücke in kompakte Ausdrücke verwandeln. Zu den bekanntesten solcher Formeln gehören die binomischen Formeln.

Abgesehen davon gibt uns der Bruchterm einen weiteren Hinweis, was getan werden kann: Sowohl im Zähler als auch im Nenner befinden sich Summanden und Faktoren von 4. Solche Beobachtungen sind oft ein Indiz dafür, dass die binomischen Formeln nützlich sein können.

Nun ist es soweit, die Tür zu öffnen und die Feier zu genießen.

Du hast natürlich recht: Nach all der Zeit, die wegen des Lesens verstrichen ist, wird die Feier wahrscheinlich vorüber sein. Aber, Feiern kommen und gehen, die Fähigkeit jedoch, solche mysteriösen Türen zu knacken, wirst Du für immer beibehalten. Die nächste Tür wartet bereits auf Dich.

Bruchterme – Aufgaben

Jetzt bist Du an der Reihe. Wenn Du merkst, dass die Aufgaben nicht so flüssig laufen, keine Sorge: Schaue Dir noch einmal die entsprechenden Abschnitte im Text an.

Aufgabe 1 - Bestimmen von Definitionsmengen

Bestimme die Definitionsmengen der folgenden Bruchterme:

$\frac{12 + x}{x - 4}$
$\frac{x^{2} + 3}{x^{2} + x - 12}$
$\frac{x^{2} - 4 x + 13}{x^{2} - 10 x + 25}$

Gebe zu jedem Bruchterm auch den Nenner $N (x)$ an.

Lösung

(a) Der Nenner ist hier

$N (x) = x - 4 .$

Die einzige Nullstelle davon ist $x_{0} = 4$ . Damit lautet die Definitionsmenge

$D = ℤ \ \{x_{0}\} = ℤ \ \{4\} .$

(b) Beim Bruchterm in (b) ist der Nenner

$N (x) = x^{2} + x - 12 .$

Die Nullstellen davon kannst Du mit der Mitternachtsformel berechnen und erhältst

$x_{0} = - 4, x_{1} = 3 .$

Die Definitionsmenge ist also

$D = ℤ \ \{x_{0}, x_{1}\} = ℤ \ \{- 4, 3\} .$

$N (x) = x^{2} - 10 x + 25 .$

Du könntest zur Bestimmung der Nullstellen direkt die Mitternachtsformel verwenden. Jedoch kannst Du den Nenner vereinfachen, indem Du die zweite binomische Formel verwendest:

$N (x) = x^{2} - 10 x + 25 = {(x - 5)}^{2} .$

In dieser Form lässt sich die (doppelte) Nullstelle direkt ablesen

$x_{0} = 5 .$

Als Definitionsmenge bekommst Du daher

$D = ℤ \ \{x_{0}\} = ℤ \ \{5\} .$

Aufgabe 2 - Bruchterme vereinfachen

Vereinfache die folgenden Bruchterme so weit wie möglich:

$\frac{1}{x} + \frac{2}{x - 4}$
$\frac{x^{2} + 9 x}{x^{2} - 81}$
$\frac{x^{2} - 6 x - 7}{x^{2} + 2 x + 1}$

Bestimmte zusätzlich von den vereinfachten Versionen die Definitionsmengen.

Lösung

(a) Da hier zwei Bruchterme addiert werden, erweiterst Du sie zunächst mit der "Brute-Force"-Methode. Der erste Bruchterm wird damit zu

$\frac{1}{x} = \frac{(x - 4) \cdot 1}{(x - 4) \cdot x}$

und der zweite Bruchterm zu

$\frac{2}{x - 4} = \frac{x \cdot 2}{x \cdot (x - 4)} .$

Addition der erweiterten Bruchterme führt dann auf

$\frac{1}{x} + \frac{2}{x - 4} = \frac{x - 4}{(x - 4) \cdot x} + \frac{2 x}{(x - 4) \cdot x} = \frac{3 x - 4}{(x - 4) \cdot x} .$

Der Nenner $N (x) = (x - 4) \cdot x$ hat die beiden Nullstellen

$x_{0} = 4$ und $x_{1} = 0 .$

Die Definitionsmenge lautet daher

$D = ℤ \ \{x_{0}, x_{1}\} = ℤ \ \{4, 0\} .$

(b) Die Summanden im Zähler besitzen beide mindestens einen Faktor von x. Du kannst diesen daher ausklammern. Der Zähler wird damit zu

$x^{2} + 9 x = x \cdot (x + 9) .$

Für den Nenner lässt sich die dritte binomische Formel verwenden

$x^{2} - 81 = (x - 9) \cdot (x + 9) .$

Der Bruchterm wird mit diesen beiden Umformungen zu

$\frac{x^{2} + 9 x}{x^{2} - 81} = \frac{x \cdot (x + 9)}{(x - 9) \cdot (x + 9)} .$

Nun befindet sich im Zähler und Nenner jeweils der Term $x + 9$ . Diesen kannst Du kürzen und bekommst

$\frac{x^{2} + 9 x}{x^{2} - 81} = \frac{x \cdot (x + 9)}{(x - 9) \cdot (x + 9)} = \frac{x}{x - 9} .$

Die vereinfachte Version hat den Nenner $N (x) = x - 9$ . Damit lautet die Definitionsmenge

$D = ℤ \ \{9\} .$

(c) Im Zähler haben die Summanden keinen gemeinsamen Faktor. Auch lässt sich keine binomische Formel erkennen. Ein guter Versuch ist es daher, die Nullstellen zu bestimmen und den Zähler zu zerlegen.

Die Mitternachtsformel angewandt auf den Zähler liefert Dir die folgenden Nullstellen

$x_{0} = - 1$ und $x_{1} = 7 .$

Dadurch wird der Zähler zerlegt in

$x^{2} - 6 x - 7 = (x + 1) \cdot (x - 7) .$

Im Nenner hingegen kannst Du die erste binomische Formel verwenden

$x^{2} + 2 x + 1 = {(x + 1)}^{2} .$

Der Bruchterm wird damit insgesamt zu

$\frac{x^{2} - 6 x - 7}{x^{2} + 2 x + 1} = \frac{(x + 1) \cdot (x - 7)}{{(x + 1)}^{2}} .$

Im Zähler und Nenner hast Du jetzt jeweils den Term $x + 1$ . Durch Kürzen erhältst Du schließlich

$\frac{x^{2} - 6 x - 7}{x^{2} + 2 x + 1} = \frac{(x + 1) \cdot (x - 7)}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{x - 7}{x + 1} .$

Der Nenner $N (x) = x + 1$ hat als Nullstelle $x_{0} = - 1$ . Die Definitionsmenge ist also

$D = ℤ \ \{- 1\} .$

Bruchterme – Das Wichtigste

Bruchterme sind besondere Terme, die aus Brüchen bestehen. Im Zähler und im Nenner können sich dabei zusätzlich zu konkreten Zahlen auch Variablen befinden.

Bruchterme kannst Du kürzen, erweitern, addieren und multiplizieren wie Brüche:
- Beim Kürzen achtest Du darauf, ob der Zähler und Nenner einen gemeinsamen Faktor besitzen. Diesen kannst Du dann streichen.
- Beim Erweitern werden der Zähler und der Nenner mit demselben Term multipliziert.
- Bei der Addition von zwei Bruchterme erweiterst Du die Bruchterme zunächst so, dass beide denselben Nenner besitzen. Dann kannst Du die Zähler addieren und lässt dabei den Nenner unberührt.
- Bei der Multiplikation zweier Bruchterme nimmst Du separat das Produkt der Zähler und das Produkt der Nenner. Die Ergebnisse davon werden der Zähler und Nenner des neuen Bruches.

Auch bei Bruchterme musst Du darauf achten, dass im Nenner nicht die Null vorkommt. Jedes Mal, wenn Du einen Bruchterm angibst, musst Du auch seine Definitionsmenge angeben.

Die Definitionsmenge besteht aus den Nullstellen der Funktion, die sich im Nenner befindet. Dabei ist zu beachten, dass sich die Definitionsmenge durch Kürzen, Erweitern, Addieren oder Multiplizieren verändern kann.

Zum Vereinfachen von Bruchterme gibt es mehrere nützliche Tricks. Dazu zählen unter anderem:
- Ausklammern von gemeinsamen Faktoren (das kannst Du sowohl im Zähler als auch im Nenner machen).
- Zerlegung des Zählers oder Nenners mit Hilfe der Nullstellen.
- Anwendung der binomischen Formeln.

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Häufig gestellte Fragen zum Thema Bruchterme

Was sind Bruchterme?

Bruchterme sind besondere Terme, die aus Brüchen bestehen. Im Zähler und im Nenner können sich dabei zusätzlich zu konkreten Zahlen auch Variablen befinden.

Wie wird mit Bruchterme gerechnet?

Bruchterme kannst Du kürzen, erweitern, addieren und multiplizieren wie Brüche.

Wie werden Bruchterme addiert?

Bei der Addition von zwei Bruchterme erweiterst Du die Bruchterme zunächst so, dass beide denselben Nenner besitzen. Dann kannst Du die Zähler addieren und lässt dabei den Nenner unberührt.

Wie werden Bruchterme gekürzt?

Beim Kürzen achtest Du darauf, ob der Zähler und Nenner einen gemeinsamen Faktor besitzen. Diesen kannst Du dann streichen. Um diesen gemeinsamen Faktor "hervorzulocken", kannst Du Tricks wie das Ausklammern oder die binomischen Formeln verwenden.

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