Brüche kürzen

Der Bruch \(\frac{36}{72}\) soll vollständig gekürzt werden. Du erkennst vielleicht sofort, dass Du mit 36 kürzen kannst. \begin{align}&: 36 \\ \frac{36}{72}\quad &=\quad\frac{36:36 }{72:36}\quad = \quad \frac{1}{2} \end{align}

Falls nicht, kannst Du aber auch kleinschrittiger vorgehen. \(36\) und \(72\) sind gerade Zahlen und lassen sich damit durch \(2\) teilen. Du kannst also wie folgt in mehreren Schritten rechnen:

\begin{array}{cccc}\,&:2&\,& :2&\,& :2&\,&:3\\ \frac{36}{72} & =&\frac{18 }{36}& = & \frac{9}{18} &= &\frac{3}{6}&=& \frac{1}{2}\end{array}

Angenommen Dein Bruch lautet \(\frac{36}{90}\).Die Teilermengen für den Zähler (36) und den Nenner (90) lauten hier: \begin{align}T_{36}&=\{2; 3; 4; 6; 12; 18; 36\}\\T_{90}&=\{2; 3; 5; 6; 10; 12; 15; 18; 30; 45; 90\}\end{align}

Die größte Zahl, die in beiden Mengen vorkommt, ist \(18\). Also lässt sich der Bruch vollständig mit \(18\) kürzen

\begin{array}{ccc}\,&:18&\\ \frac{36}{90} & =&\frac{2 }{5}\end{array}

Aufgabe 3

Der Bruch $\frac{32}{60}$ soll mithilfe der Primfaktorzerlegung vollständig gekürzt werden.

Lösung

Dazu werden Zähler und Nenner zunächst in Primfaktoren zerlegt:

$32=2·2·2·2·260=2·2·3·5$

Im Zähler kommt lediglich der Faktor 2 vor, dafür aber gleich fünfmal. Im Nenner kommt der Faktor 2 auch vor, zweimal, und je einmal die Faktoren 3 und 5.

Es können jetzt nur Faktoren gekürzt werden, die im Zähler und im Nenner vorkommen, also in diesem Fall nur die 2. Da sie im Zähler und Nenner gleich oft weggestrichen werden müssen, können jeweils nur zwei Zweier gekürzt werden, obwohl im Zähler fünf Zweier wären!

Durch Wegstreichen erhält man also:

$\frac{32}{60}=\frac{2·2·2·2·2}{2·2·3·5}=\frac{\cancel{2}·\cancel{2}·2·2·2}{\cancel{2}·\cancel{2}·3·5}=\frac{2·2·2}{3·5}=\frac{8}{15}$

Betrachte den Bruch $\frac{2a^2+5}{2a^2}$. Falls du dir jetzt denkst "juhu, ich kürze $2a^2$", dann müssen wir dich leider enttäuschen. Der Zählerterm ist eine Summe, weshalb du hier nicht kürzen darfst. $2a^2$ ist nämlich kein Teiler des Zählers.

Betrachte dagegen den Bruch $\frac{2a^2·5}{2a^2}$. Hier darfst du mit $2a^2$ kürzen, denn das ist ein Teiler des Zählers, weil der Zähler in Produktform vorliegt.

Aufgabe 4

Klammere beim folgenden Bruch geschickt aus, um kürzen zu können.

$\frac{a^2+4ab+4b^2}{2a+4b}$

Lösung

Wenn du genau hinschaust, liegt im Zähler eine binomische Formel vor! Im Nenner kann zudem der Faktor 2 ausgeklammert werden:

$\frac{a^2+4ab+4b^2}{2a+4b}=\frac{{\left(a+2b\right)}^2}{2·\left(a+2b\right)}$

Sowohl im Zähler, als auch im Nenner findet sich jetzt der Faktor $\left(a+2b\right)$, der also gekürzt werden kann:

$\frac{{\left(a+2b\right)}^2}{2·\left(a+2b\right)}=\frac{\cancel{\left(a+2b\right)}·\left(a+2b\right)}{2·\cancel{\left(a+2b\right)}}=\frac{\left(a+2b\right)}{2}$

Aufgabe 5

Berechne. Kürze zuerst über Kreuz: $\frac{8}{15}·\frac{20}{64}$

Lösung

Die Zahlen 8 und 64 können beide mit der 8 gekürzt werden:

$\frac{8}{15}·\frac{20}{64}=\frac{\cancel{8}·1}{15}·\frac{20}{\cancel{8}·8}=\frac{1}{15}·\frac{20}{8}$

Außerdem können die Zahlen 15 und 20 beide mit der 5 gekürzt werden:

$\frac{1}{15}·\frac{20}{8}=\frac{1}{3·\cancel{5}}·\frac{4·\cancel{5}}{8}=\frac{1}{3}·\frac{4}{8}$

Jetzt kann nicht mehr überkreuz gekürzt werden.

$\frac{1}{3}·\frac{4}{8}=\frac{4}{24}$

Das Ergebnis kann jedoch noch gekürzt werden.

$\frac{4}{24}=\frac{1·\cancel{4}}{6·\cancel{4}}=\frac{1}{6}$

Aufgabe 6

Kürze die folgenden Brüche vollständig.

$\begin{array}{ccc}1.\frac{28}{12}& 2.\frac{100}{1}& 3.\frac{14}{7}\\ 4.\frac{9}{8}& 5.\frac{27}{30}& 6.\frac{128}{256}\end{array}$

Lösung

$1.\frac{28}{12}=\frac{28:4}{12:4}=\frac{7}{3}$

$2.\frac{100}{1}=100$

$3.\frac{14}{7}=\frac{14:7}{7:7}=\frac{2}{1}=2$

$4.\frac{9}{8}$ kann nicht weiter gekürzt werden, da die Differenz zwischen Zähler und Nenner 1 ist.

$5.\frac{27}{30}=\frac{27:3}{30:3}=\frac{9}{10}$

$6.\frac{128}{256}=\frac{128:128}{256:128}=\frac{1}{2}$

Aufgabe 7

Berechne. Wenn es möglich ist, kürze zuerst über Kreuz.

$\begin{array}{lcl}1.\frac{25}{48}·\frac{24}{70}& 2.\frac{1}{14}·\frac{28}{5}& 3.\frac{22}{30}·\frac{126}{121}\\ 4.\frac{36}{6}·\frac{1}{12}& 5.\frac{11}{8}·\frac{3}{9}& 6.\frac{42}{63}·\frac{3}{5}\end{array}$

Lösung

$1.\frac{25}{48}·\frac{24}{70}=\frac{5·5}{2·24}·\frac{1·24}{5·14}=\frac{5}{2}·\frac{1}{14}=\frac{5}{28}$

$2.\frac{1}{14}·\frac{28}{5}=\frac{1}{1·14}·\frac{2·14}{5}=\frac{1}{1}·\frac{2}{5}=\frac{2}{5}$

$3.\frac{22}{30}·\frac{126}{121}=\frac{2·11}{10·3}·\frac{42·3}{11·11}=\frac{2}{2·5}·\frac{2·21}{11}=\frac{2}{5}·\frac{21}{11}=\frac{42}{55}$

$4.\frac{36}{6}·\frac{1}{12}=\frac{3·12}{2·3}·\frac{1}{1·12}=\frac{1}{2}·\frac{1}{1}=\frac{1}{2}$

$5.\frac{11}{8}·\frac{3}{9}=\frac{11}{8}·\frac{1·3}{3·3}=\frac{11}{8}·\frac{1}{3}=\frac{11}{24}$

$6.\frac{42}{63}·\frac{3}{5}=\frac{2·21}{3·21}·\frac{1·3}{5}=\frac{2}{1}·\frac{1}{5}=\frac{2}{5}$

Aufgabe 8

Kürze in den folgenden Bruchtermen so viel wie möglich.

$\begin{array}{ccc}1.\frac{2ab·\left(a^2+ab\right)}{4a^2{b}^2+6a^{2}b}& 2.\frac{x^4-6x^{2}y+9y}{x^2-3y}& 3.\frac{6s^3{t}^4-12s^2{t}^5+{\left(3st\right)}^3}{s^{2}t·\left(9s{t}^2-3t^2\right)}\end{array}$

Lösung

$1.\frac{2ab·\left(a^2+ab\right)}{4a^2{b}^2+6a^{2}b}=\frac{2ab·a·\left(a+b\right)}{2a^{2}b·\left(2b+3\right)}=\frac{a+b}{2b+3}$

$2.\frac{x^4-6x^{2}y+9y}{x^2-3y}=\frac{{\left(x^2-3y\right)}^2}{1·\left(x^2-3y\right)}=\frac{x^2-3y}{1}=x^2-3y$

$3.\frac{6s^3{t}^4-12s^2{t}^5+{\left(3st\right)}^3}{s^{2}t·\left(9s{t}^2-3t^2\right)}=\frac{6s^3{t}^4-12s^2{t}^5+27s^3{t}^3}{s^{2}t·3t^2·\left(3s-1\right)}=\frac{3s^2{t}^3·\left(2st-4t^2+9s\right)}{3s^2{t}^3·\left(3s-1\right)}=\frac{2st-4t^2+9s}{3s-1}$