Brüche und Dezimalzahlen

Da Du zwei Stücke gegessen hast, ist der Anteil des Kuchens, den Du gegessen hast, \(\dfrac{2}{12}\). Der Zähler ist hier also die 2, der Nenner ist die 12.

Hier siehst Du verschiedene Brüche, die in Dezimalschreibweise geschrieben werden.

\[\frac{1}{2}=\text{0,5}\]

\[\frac{1}{4}=\text{0,25}\]

\[\frac{3}{10}=\text{0,3}\]

Die Brüche \( \dfrac{1}{5}\) und \( \dfrac{3}{20}\) sollen addiert werden. Dafür kannst Du den ersten Bruch mit vier erweitern, um ihn auf den Nenner 20 zu bringen:

\[ \frac{1}{5}+\frac{3}{20}=\frac{1\cdot4}{5\cdot 4}+\frac{3}{20}=\frac{4}{20}+\frac{3}{20}=\frac{7}{20}\]

Da die 7 eine Primzahl ist, besitzt sie keine gemeinsamen Teiler mit der 20. Daher kann das Ergebnis nicht weiter gekürzt werden.

Möchtest Du nun den Bruch \(\dfrac{1}{2}\) von \(\dfrac{11}{14}\) subtrahieren, funktioniert es ähnlich. Den Bruch \(\dfrac{11}{14}\) kannst Du aufgrund der Primzahl 11 im Zähler nicht kürzen. Allerdings kannst Du auch hier wieder die \(\dfrac{1}{2}\) auf den Nenner 14 bringen, indem Du den Bruch mit 7 erweiterst.

\[ \frac{11}{14}-\frac{1}{2}=\frac{11}{14}-\frac{1 \cdot 7}{2 \cdot 7}=\frac{11}{14}-\frac{7}{14}=\frac{4}{14}\]

Dieses Ergebnis kann noch mit zwei gekürzt werden:

\[ \frac{4}{14}=\frac{4:2}{14:2}=\frac{2}{7}\]

Die Brüche \(\dfrac{11}{12}\) und \(\dfrac{2}{5}\) sollen multipliziert werden. Du rechnest also

\[\frac{11}{12} \cdot \frac{2}{5}=\frac{11\cdot 2}{12 \cdot 5}=\frac{22}{60}\]

Diesen Bruch kannst Du kürzen:

\[ \frac{22}{60}=\frac{22:2}{60:2}=\frac{11}{30}\]

Gegeben ist die Aufgabe \[\frac{\frac{3}{4}}{\frac{7}{8}}\] Du multiplizierst also die \(\dfrac{3}{4}\) mit dem Kehrbruch von \(\dfrac{7}{8}\).

\[\frac{\frac{3}{4}}{ \frac{7}{8}}=\frac{3}{4} \cdot \frac{8}{7}=\frac{3\cdot 8}{4 \cdot 7}=\frac{24}{28}\]

Gekürzt lautet das Ergebnis dann \(\dfrac{6}{7}\).

Bei der (schriftlichen) Addition kannst Du so rechnen wie mit natürlichen Zahlen. Schreibe bei der schriftlichen Addition jedoch immer die jeweiligen Kommata untereinander und ziehe sie am Ende mit nach unten an die passende Stelle:

\begin{align} &3,12\\+&1,45\\ \hline &4,57\end{align} Addierst Du die Zahlen im Kopf, so solltest du ebenfalls darauf achten, das Komma an der richtigen Stelle zu platzieren.

Die (schriftliche Subtraktion) funktioniert nach dem gleichen Prinzip.

Möchtest Du zwei Dezimalzahlen (schriftlich) multiplizieren, so werden zunächst alle Kommata ignoriert. Du rechnest also eine ganz normale (schriftliche) Multiplikation zweier Zahlen: \[\text{1,5} \cdot \text{15,1} \rightarrow 22\,65.\]

Dein Ergebnis enthält noch kein Komma. Dazu musst Du noch die richtige Stelle ermitteln. Du addierst die Anzahl der Nachkommastellen für jede Dezimalzahl. Die Summe zeigt dir die Anzahl der Nachkommastellen, die dein Produkt besitzen muss. Du fügst das Komma also an entsprechender Stelle ein: \[\text{1,5} \cdot \text{15,1} =\text{22,65}.\]

Bei der (schriftlichen) Division kannst Du das Komma in beiden Zahlen um gleich viele Stellen nach rechts verschieben, um durch eine ganze Zahl teilen zu können. Das Ergebnis verändert sich dadurch nicht. Dann ignorierst Du auch hier das Komma und berechnest ganz normal den Quotienten: \[\text{0,18} : \text{0,6} =1,8:6 \rightarrow 3.\] Da die 1,8, also der Dividend, hier eine Nachkommastelle hat, der Divisor 6 aber nicht, so sollte vor die 3 noch ein Komma. Das Ergebnis ist also 0,3: \[\text{0,18} : \text{0,6} =\text{0,3}.\]

Gegeben ist die Aufgabe \[\frac{1}{4}+\text{4,4}+\frac{3}{4}+\text{2,5}+\text{1,6}\] Hier kannst Du die Zahlen mit dem Kommutativgesetz so umtauschen, dass manche (Dezimal-)Brüche im Kopf einfacher addiert werden können. So haben die Brüche den gleichen Nenner und können addiert werden. Außerdem ist die Summe der Dezimalzahlen 4,4 und 1,6 eine ganze Zahl. Du rechnest also:

\begin{align}\color{#8363e2}\frac{1}{4}\color{#000000}+\color{#ffcd00}\text{4,4}\color{#000000}+\color{#8363e2}\frac{3}{4}\color{#000000}+\text{2,5}+\color{#ffcd00}\text{1,6} &=\color{#8363e2}\frac{1}{4}+\frac{3}{4}\color{#000000}+\color{#ffcd00}\text{4,4}+\text{1,6}\color{#000000}+\text{2,5}\\[0.2cm] &=\color{#8363e2}\frac{4}{4}\color{#000000}+\color{#ffcd00}6\color{#000000}+\text{2,5}\\[0.2cm]&=\color{#8363e2}1\color{#000000}+\color{#ffcd00}6\color{#000000}+\text{2,5}\\[0.2cm] &=\text{9,5}\end{align}.

Sollst Du die Zahl 1,5 mit dem Bruch \(\dfrac{2}{3}\), so rechnest Du also

\[\text{1,5} \cdot \frac{2}{3}=\frac{\text{1,5}\cdot 2}{3}=\frac{3}{3}=1\]

Anstelle von \(2,2: \dfrac{2}{5}\) kannst Du folgendes rechnen:

\[2,2: \frac{2}{5}=2,2 \cdot \frac{5}{2}=\frac{2,2 \cdot 5}{2}=\frac{11}{2}\]

Gegeben ist die Aufgabe \(\dfrac{3}{4}:\text{1,5}\). Hier rechnest Du dann:

\[\frac{3}{4}:\text{1,5}=\frac{3}{4 \cdot \text{1,5}}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}\]

Der Bruch wurde im letzten Schritt gekürzt.

Gegeben sind die Brüche \(\dfrac{1}{8}\), \(\dfrac{5}{8}\), \(\dfrac{1}{4}\).

Sie sollen der Größe nach in aufsteigender Reihenfolge geordnet werden.

Zunächst siehst Du Dir die ersten beiden Brüche an: \(\dfrac{1}{8}\) und \(\dfrac{5}{8}\). Da beide gleichnamig sind und der Nenner des zweiten Bruchs größer ist, ist auch der zweite Bruch größer: \[\frac{1}{8}<\frac{5}{8}\]

Der Bruch \(\dfrac{1}{4}\) besitzt den gleichen Zähler wie \(\dfrac{1}{8}\), sein Nenner ist aber kleiner, weshalb \(\dfrac{1}{4}\) der größere Bruch ist. Um zu sehen, ob er größer oder kleiner als \(\dfrac{5}{8}\) ist, muss er auf den gleichen Nenner gebracht werden:

\[\frac{1}{4}=\frac{2}{8}\]

Er ist also kleiner und liegt damit zwischen \(\dfrac{1}{8}\) und \(\dfrac{5}{8}\): \[\frac{1}{8}<\frac{1}{4}<\frac{5}{8}\]

Schreibe 55% als Bruch und Dezimalzahl.

Als Bruch gilt

\[55\%=\frac{55}{100}=\frac{11}{20}\]

Für die Dezimalzahl gilt

\[55\%=55:100=\text{0,55}\]

Aufgabe 1

Berechne die folgenden Aufgaben.

a) \[\frac{3}{20}+\frac{1}{5}\]

b) \[\text{1,5} \cdot \left( \frac{1}{4}+\frac{1}{3}\right) \]

Lösung

a) Hier wird der zweite Bruch mit 4 erweitert, damit die Brüche gleichnamig sind und addiert werden können. \[\frac{3}{20}+\frac{1}{5}=\frac{3}{20}+\frac{4}{20}=\frac{7}{20}\]

b) Zuerst bringst Du beide Brüche auf den gleichen Nenner, um sie zu addieren. Hier bietet sich 12 als gemeinsamer Nenner an. Dann multiplizierst Du mit 1,5.

\begin{align}\text{1,5} \cdot \left( \frac{1}{4}+\frac{1}{3}\right) &=\text{1,5} \cdot \left( \frac{3}{12}+\frac{4}{12}\right)\\[0.2cm ] &= \text{1,5} \cdot \frac{7}{12} \\[0.2cm ]&=\frac{\text{10,5}}{12}\\[0.2cm ]&=\text{0,875}\end{align}

Aufgabe 2

Eine Pizzeria bekommt eine Lieferung von 25 Tüten Mehl. Eine halbe Tüte ist noch da. Jede der Tüten wiegt \(1\dfrac{1}{2}\) kg. Wie viel Kilogramm Mehl besitzt die Pizzeria dann?

Lösung

Die Pizzeria bekommt eine Lieferung von 25 Tüten und besitzt noch eine halbe Tüte. Das sind also 25,5 Tüten. Diese multiplizierst Du mit dem Gewicht einer einzelnen Tüte. Dafür kannst Du die gemischte Zahl vorab in einen Bruch umwandeln:

\[1\frac{1}{2}=\frac{2}{2}+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}\]

Jede Tüte wiegt also \(\dfrac{3}{2}\) kg.

Nun kannst Du die Anzahl der Tüten mit ihrem Gewicht multiplizieren:

\begin{align}\text{25,5} \cdot \frac{3}{2}&=\frac{\text{25,5} \cdot3}{2}\\[0.2cm]&=\frac{\text{76,5}}{2}\\[0.2cm]&=\text{38,25}\end{align}

Die Pizzeria besitzt also \(38,25 \,\text{kg} \) Mehl.

Aufgabe 3

Sortiere die Zahlen nach Größe. Beginne dabei mit der kleinsten.

a) \[\frac{1}{3},\, \frac{1}{4},\,\frac{2}{3},\,\frac{5}{6}\]

b) \[\text{0,7},\, \frac{9}{10},\,\text{0,5} \]

Lösung

a) Die richtige Reihenfolge ist

\[\frac{1}{4}<\frac{1}{3}< \frac{2}{3}<\frac{5}{6}\]

b) Hier bietet es sich an, den Bruch in Dezimalschreibweise zu schreiben: \[\frac{9}{10}=0,9.\] Er ist also größer als die beiden anderen Dezimalzahlen.

Damit lautet die Reihenfolge

\[\text{0,5}<\text{0,7},\, \frac{9}{10}\]