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Du möchtest die Determinante einer 3x3 Matrix berechnen, damit Du weißt, ob eine inverse 3x3 Matrix existiert? Dann bist Du hier genau richtig, denn hier bekommst Du eine Formel, mit der Du die Determinante einer 3x3 Matrix bestimmen kannst, sowie eine weitere Lösungsmöglichkeit von Laplace.
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Leg kostenfrei losWelche zwei Methoden gibt es zur Berechnung der Determinante einer 3x3 Matrix?
Welche Formel verwendet man zur Berechnung der Determinante einer 3x3 Matrix?
Wie lautet die Formel zur Berechnung der Determinante einer 3x3 Matrix?
Welche Regel hilft dir, die Formel für die Determinante einer 3x3 Matrix leichter zu merken?
Was kannst du mit der Determinante einer 3x3 Matrix herausfinden?
Welche Methode kannst Du verwenden, um die Determinante einer 3x3 Matrix zu berechnen?
Was passiert, wenn die Determinante einer 3x3 Matrix null ist?
Wie lautet der erste Schritt bei der Anwendung der Regel von Sarrus?
Welche Matrixgröße erhältst Du, wenn Du den Laplaceschen Entwicklungssatz anwendest?
Welche Operation führst Du mit den Pfeilen durch, die nach unten verlaufen?
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Team Determinante 3x3 Matrix Lehrer
Die Formel für die Determinante einer 3x3 Matrix \(A=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix}\) lautet:
\begin{align} \det(A)=\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} = & \; a_{11} \cdot a_{22} \cdot a_{33} + a_{12} \cdot a_{23} \cdot a_{31} + a_{13} \cdot a_{21} \cdot a_{32} \\ & \; - a_{31} \cdot a_{22} \cdot a_{13} - a_{32} \cdot a_{23} \cdot a_{11} - a_{33} \cdot a_{21} \cdot a_{12} \end{align}
Damit Du Dir diese Regel leichter merken bzw. selbst herleiten kannst, kannst Du Dir die Formel wie einen Gartenzaun vorstellen. Dieses Verfahren wird Regel von Sarrus genannt. Dazu schreibst Du die ersten beiden Spalten der Matrix noch einmal rechts daneben und kannst dann ein Rautenmuster einzeichnen wie in Abbildung 1.
Abb. 1 - Determinante 3x3 Matrix Formel.
Die Pfeile, die nach unten verlaufen, werden addiert und die Pfeile, die nach oben verlaufen, werden subtrahiert. Die Zahlen entlang eines Pfeils multiplizierst Du miteinander. Somit erhältst Du:
\begin{align} \definecolor{bl}{RGB}{20, 120, 200} \definecolor{gr}{RGB}{0, 220, 180} \definecolor{r}{RGB}{250, 50, 115} \definecolor{li}{RGB}{131, 99, 226} \definecolor{ge}{RGB}{255, 205, 0} \det(A)= & \; {\color{bl}a_{11} \cdot a_{22} \cdot a_{33} + a_{12} \cdot a_{23} \cdot a_{31} + a_{13} \cdot a_{21} \cdot a_{32}} \\ & \; {\color{gr} - a_{31} \cdot a_{22} \cdot a_{13} - a_{32} \cdot a_{23} \cdot a_{11} - a_{33} \cdot a_{21} \cdot a_{12}} \end{align}
Um die Determinante einer 3x3 Matrix zu bestimmen, wendest Du eine Formel von Sarrus an.
Berechne die Determinante der 3x3 Matrix \(A=\begin{pmatrix} 46 & 31 & 17 \\ 48 & 69 & 40 \\ 20 & 55 & 78 \end{pmatrix}\).
Lösung
Um die Determinante zu bestimmen, schreibst Du Dir die Matrix \(A\) auf und die ersten beiden Zeilen davon nochmal daneben. Wenn es Dir hilft, kannst Du zusätzlich noch die Pfeile einzeichnen, welche Zahlen wie verrechnet werden müssen.
Abb. 2 - Determinante 3x3 Matrix berechnen.
Somit erhältst Du:
\begin{align} \det(A) & = {\color{bl}46 \cdot 69 \cdot 78 + 31 \cdot 40 \cdot 20 + 17 \cdot 48 \cdot 55} \\ & \quad \; {\color{gr} - 20 \cdot 69 \cdot 17 - 55 \cdot 40 \cdot 46 - 78 \cdot 48 \cdot 31} \\ & = 76\,528\end{align}
Die Determinante einer 3x3 Matrix kannst Du auch mit dem Laplaceschen Entwicklungssatz ermitteln. Mit Laplace verkleinerst Du die 3x3 Matrix auf eine 2x2 Matrix, von der Du anschließend die Determinante mit einer kurzen Formel berechnen kannst. Dabei kannst Du entweder nach einer Zeile oder einer Spalte entwickeln, das Ergebnis ist dasselbe.
| Entwicklung nach i-ter Zeile | Entwicklung nach j-ter Spalte |
| \[ \det(A) = \sum_{j=1}^n a_{ij} \cdot (-1)^{i+j} \cdot \det(A_{ij}) \] | \[ \det(A) = \sum_{i=1}^n a_{ij} \cdot (-1)^{i+j} \cdot \det(A_{ij}) \] |
Berechne die Determinante der Matrix \(A=\begin{pmatrix} 46 & 31 & 17 \\ 48 & 69 & 40 \\ 20 & 55 & 78 \end{pmatrix}\) mit dem Laplaceschen Entwicklungssatz.
Wie das genau funktioniert, findest Du in der Erklärung "Laplacescher Entwicklungssatz".
Lösung
Ob Du die Matrix nach einer Zeile oder eine Spalte entwickelst, ist egal. Hier siehst Du den Lösungsweg, wenn Du nach der ersten Spalte entwickelst. Die Formel lautet in diesem Fall:
\[ \det(A) = a_{11} \cdot (-1)^{1+1} \cdot \det(A_{11}) + a_{12} \cdot (-1)^{1+2} \cdot \det(A_{12}) + a_{13} \cdot (-1)^{1+3} \cdot \det(A_{13}) \]
Somit lautet die Determinante der gesamten Matrix:
\begin{align} \det(A) & = a_{11} \cdot (-1)^{1+1} \cdot \det(A_{11}) + a_{12} \cdot (-1)^{1+2} \cdot \det(A_{12}) + a_{13} \cdot (-1)^{1+3} \cdot \det(A_{13}) \\ & = 46 \cdot (-1)^{1+1} \cdot 3 \, 182 + 31 \cdot (-1)^{1+2} \cdot 2 \, 944 + 17 \cdot (-1)^{1+3} \cdot 1 \, 260 \\ & = 46 \cdot 3 \, 182 - 31 \cdot 2\,944 + 17 \cdot 1\,260 \\ & = 76\,528 \end{align}
Mit der Determinante einer 3x3 Matrix kannst Du herausfinden, ob die Matrix eine Inverse besitzt oder nicht. Ist die Determinante nicht null, dann kannst Du die Matrix invertieren.
Abb. 3 - Regel von Sarrus.Melde dich kostenlos an, um Zugriff auf all unsere Karteikarten zu erhalten.
Was sagt die Determinante über eine Matrix aus?
Eine Determinante gibt Dir Auskunft darüber, ob eine Matrix invertierbar ist oder nicht.
Wie berechnet man die Determinante einer Matrix?
Du kannst die Determinante einer Matrix entweder mit einer Formel, der Regel von Sarrus oder dem Laplaceschen Entwicklungssatz berechnen.
Kann man die Determinante einer nicht quadratischen Matrix berechnen?
Nein, die Determinante einer nicht quadratischen Matrix kann nicht berechnet werden.
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Lily Hulatt ist Digital Content Specialist mit über drei Jahren Erfahrung in Content-Strategie und Curriculum-Design. Sie hat 2022 ihren Doktortitel in Englischer Literatur an der Durham University erhalten, dort auch im Fachbereich Englische Studien unterrichtet und an verschiedenen Veröffentlichungen mitgewirkt. Lily ist Expertin für Englische Literatur, Englische Sprache, Geschichte und Philosophie.
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Gabriel Freitas ist AI Engineer mit solider Erfahrung in Softwareentwicklung, maschinellen Lernalgorithmen und generativer KI, einschließlich Anwendungen großer Sprachmodelle (LLMs). Er hat Elektrotechnik an der Universität von São Paulo studiert und macht aktuell seinen MSc in Computertechnik an der Universität von Campinas mit Schwerpunkt auf maschinellem Lernen. Gabriel hat einen starken Hintergrund in Software-Engineering und hat an Projekten zu Computer Vision, Embedded AI und LLM-Anwendungen gearbeitet.
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