Dezimahlzahlen rechnen

Gegeben ist folgender Bruch:

$\frac{321}{25}=12,84$

Alles, was vor dem Komma steht, ist eine Vorkommastelle. In diesem Fall ist das die 12.

Alles, was hinter dem Komma steht, zählt als Nachkommastelle.

Die Nachkommastellen können nochmal unterteilt werden. Am besten lässt sich das anhand der Stellenwerttafel zeigen:

Die erste Nachkommastelle ist in diesem Fall die 8 und die zweite Nachkommastelle die 4.

Folgende Brüche sind gegeben:

$\frac{1}{2};\frac{3}{4};\frac{7}{8};\frac{35}{100}$

In der Dezimalschreibweise sehen sie wie folgt aus:

$$\begin{gathered} \frac{1}{2}=0,5 \\ \frac{3}{4}=0,75 \\ \frac{7}{8}=0,875 \\ \frac{35}{100}=0,35 \end{gathered}$$

Wie du sehen kannst, sind aus den Brüchen Kommazahlen geworden, die mit einem Komma getrennt sind.

Gegeben ist folgender Bruch:

$\frac{321}{25}=12,84$

Alles, was vor dem Komma steht, ist eine Vorkommastelle. In diesem Fall ist das die 12.

Alles, was hinter dem Komma steht, zählt als Nachkommastelle.

Die Nachkommastellen können nochmal unterteilt werden. Am besten lässt sich das anhand der Stellenwerttafel zeigen:

Die erste Nachkommastelle ist in diesem Fall die 8 und die zweite Nachkommastelle die 4.

Im Supermarkt sind selten Produkte zu finden, die genau einen oder zwei Euro kosten. Sie kosten beispielsweise $0,99€$ oder $0,39€$.

Abbildung 2: Preise im Supermarkt

Gegeben sind die folgenden Zahlen:

$89,24und42,98$

Diese lassen sich ebenfalls in die Stellenwerttafel eintragen:

Beide Dezimalzahlen sollen auf Zehntel gerundet werden. Bei der ersten Dezimalzahl wird abgerundet, bei der zweiten aufgerundet. Du erhältst demnach:

$$\begin{gathered} 89,24\approx 89,20 \\ 42,98\approx 43,00 \end{gathered}$$

Beim schriftlichen Addieren kannst du zunähst so rechnen wie mit natürlichen Zahlen. Schreibe jedoch immer die jeweiligen Kommata untereinander und ziehe es dir am Ende runter.

Du möchtest dir eine Flasche Wasser im Supermarkt für $0,49€$kaufen.Dazu kommt noch das Pfand von$0,08€$.

1. Schritt: Schreibe dir die Dezimalzahlen untereinander auf:

2. Schritt: Nun rechne weiter, so wie du es schon aus der schriftlichen Addition kennst.

Zunächst musst du $9+8$ rechnen, was 17 ergibt. Das heißt, du schreibst die 7 unter den Strich und die 1 schreibst du klein im nächsten Schritt oberhalb der Linie auf. Das ist der sogenannte Übertrag:

Beim nächsten Schritt musst du $4+0$ rechnen. Das ergibt 4. Allerdings musst du noch die kleine 1 (den Übertrag) aus dem vorherigen Schritt mit einberechnen. Das Ergebnis lautet dann:

Zuletzt berechnest du noch die Summe von $0+0$:

Im letzten Schritt verändert sich das Komma.

Dieses musst du nun vor die 5 setzen, das heißt, du ziehst es dir runter. Das Ganze sieht dann so aus:

Du weißt nun, dass du $0,57€$ für deinen Einkauf benötigst.

Aufgabe

Du kaufst beim Supermarkt für $4,26€$ein.

Da du aber noch einen Pfandbon über $1,25€$ hast, muss das noch vom Preis abgezogen werden.

Kannst du berechnen, wie viel du an der Kasse bezahlen musst?

Lösung

Schreibe dir die Dezimalzahlen wieder untereinander auf. Achte vor allem darauf, dass die Kommata untereinander stehen.

Dann schaust du dir schonmal die hinterste Zahl an und rechnest $6-5$. Das Ergebnis wäre 1, daher schreibst du eine 1 unter den Strich.

Das sollte bei dir so aussehen:

Im nächsten Schritt berechnest du $2-2$. Da das Ergebnis 0 ist, kannst du eine 0 unter den Strich schreiben und dann mit der nächsten Zahl weitermachen:

Im letzten Schritt ziehst du dann wieder das Komma runter und berechnest die nächste Aufgabe.Da $4-1=3$ ist, kannst du es wieder unter den Strich schreiben und bekommst dann dein Ergebnis:

Folgende Berechnung soll durchgeführt werden:

$12·4,1$

Zunächst schreibst du die Aufgabe auf und ziehst einen Strich darunter. Zur Veranschaulichung sind die Zahlen farbig markiert.

Du beginnst damit, die 4 zuerst mal 1 und dann mal 2 zu nehmen. Das schreibst du dann unter den Strich.

Das Ergebnis ist: $4·1=4und4·2=8$.

Im zweiten Schritt wendest du das gleiche Verfahren noch einmal für die 1 hinter dem Komma an.

Also rechnest du zuerst $1·1unddann1·2$. Die Ergebnisse 1 und 2 schreibst du dann unter das andere:

Als letzten Schritt musst du dann die beiden Ergebnisse miteinander addieren. Dann ziehst du noch das Komma von oben runter, und schon hast du das Ergebnis:

Folgende Dezimalzahlen sollen miteinander multipliziert werden:

$1,5·15,1$

Zur Veranschaulichung sind die Zahlen in verschiedenen Farben markiert. Alle Kommata werden erstmal ignoriert.

Du beginnst mit der hellgrünen Zahl und rechnest erst $1·5$ und dann $1·1$.Die Ergebnisse schreibst du unter den Strich:

Im nächsten Schritt wendest du das gleiche Verfahren für die orange Zahl an. Dafür rechnest du zunächst $5·5$. Das Ergebnis ist 25.

Du schreibst eine 5 in das Ergebnis und merkst dir den Übertrag von 2.

Dann rechnest du$5·1$. Das Ergebnis ist 5. Zusammen mit dem Übertrag ergibt das dann 7. Das schreibst du dann ins Ergebnis rein:

$5·1+2=7$

Im nächsten Schritt wendest du das Verfahren noch einmal mit der letzten Zahl an.Dafür rechnest du$1·5$ und$1·1$:

Im letzten Schritt addierst du wieder jede Spalte der Ergebnisse miteinander:

Dein Ergebnis enthält noch kein Komma. Dazu musst du noch die richtige Stelle ermitteln. Du zählst die Anzahl der Nachkommastellen für jede Dezimalzahl zusammen:

$$\begin{gathered} 1,5\to 1Nachkommastelle \\ 15,1\to 1Nachkommastelle \\ 1+1=2 \end{gathered}$$

Das Ergebnis muss demnach 2 Nachkommastellen aufweisen. Entsprechend setzt du das Komma vor die Zahl 6:

Folgende Aufgabe soll gelöst werden:

$25,8:6$

Da du das Komma ignorierst, schreibst du zunächst 258 geteilt durch 6 auf:

Dann rechnest du so, als würdest wie gewohnt schriftlich dividieren wollen. Das heißt, du schaust im ersten Schritt an, wie oft die 6 in die 25 reinpasst.

Die 6 passt viermal in die 25 rein und deshalb schreibst du die 4 in das Ergebnis und dann eine 24 unter den Strich:

Da der Rest 1 ist, schreibst du die 1 unter den nächsten Strich. Dann ziehst du dir die 8 herunter.

Da die 6 genau dreimal in die 18 passt, schreibst du die 3 in das Ergebnis und als Rest unter den Strich die 0:

Im letzten Schritt fügst du das Komma wieder hinzu und schreibst es in das Ergebnis. Dazu zählst du wieder die Anzahl der Nachkommastellen der einzelnen Dezimalzahlen ab. Hier hat lediglich eine Kommazahl eine Nachkommastelle. Du setzt das Komma daher vor die 3:

Folgende Aufgabe soll berechnet werden:

$2,55:0,5$

Zunächst kannst du das Komma in beiden Zahlen um eine Stelle nach rechts verschieben, um durch eine ganze Zahl teilen zu können. Das Ergebnis verändert sich dadurch nicht:

$25,5:5$

Auch hier ignorierst du zunächst das Komma und rechnest nach dem normalen Verfahren der schriftlichen Division. Das heißt, du rechnest so, als würde dort $255:5$stehen.

Du beginnst damit, zunächst $25:5$zu rechnen, da $2:5$nicht möglich ist. Du schreibst eine 5 in das Ergebnis und schreibst die 25 unter den Bruchstrich. Der Rest ist 0:

Im nächsten Schritt ziehst du die 5 herunter und dividierst das mit 5. Das Ergebnis ist 1 und wird in das Ergebnis geschrieben. Der Rest ist wieder 0:

Zum Schluss musst du noch das Komma setzen. Bei

$25,5:5$

enthält der Dividend (also $25,5$) eine Nachkommastelle. Der Divisior (5) nicht. Daher kannst du das Komma zwischen die 5 und die 1 setzen und erhältst als Ergebnis 5,1.

Folgende periodische Dezimalzahlen sollen miteinander addiert werden:

$1,\overline{16}+1,\overline{3}$

Zunächst schreibst du dir die beiden Zahlen untereinander auf, so wie du es schon vom schriftlichen Addieren kennst. Dabei solltest du versuchen, viele Nachkommastellen aufzuschreiben.

Dann rechnest du das Ergebnis aus und schaust, wie sich eine neue periodische Zahl bildet:

Die Zahlen 4 und 9 könnten sich hier endlos weiter wiederholen. Daher kannst du sie zusammenfassen zu:

$2,\overline{49}$

Aufgabe

Du und deine 3 Freunde planen eine Halloween-Party und ihr müsst noch mal einkaufen gehen für den Abend.

Hierfür geht ihr zusammen in den Supermarkt.

Ihr braucht: 2 Tüten Chips, 3 Packungen Gummibärchen und 1 Flasche Cola.

Abbildung 3: Preise des Einkaufs

1. Berechne den Betrag, den ihr bezahlen müsst.
2. Zudem habt ihr noch einen Rabattcode, der euch einen Preisnachlass gewährt.Berechne nun den neuen Betrag, den ihr bezahlen müsst.
3. Anschließend möchtet ihr euch die Rechnung aufteilen. Wie viel muss jeder von euch zahlen?

Lösung

1) Du beginnst, indem du die verschiedenen Preise für die jeweiligen Produkte berechnest. Da ihr nur eine Flasche Cola habt, kannst du dafür einfach den Preis aus der Preisliste nehmen:

Cola: $1·0,99€=0,99€$

Chips: $2·0,79€=1,58€$

Gummibärchen: $3·1,09€=3,27€$

Nun musst du alle Beiträge zusammen addieren: ⁣$0,99€+1,58€+3,27€=5,84€$.

2) Du ziehst den Rabattcode nun von dem Betrag ab: $5,84€-0,44€=5,40€$.

3) Da ihr zu viert seid, müsst ihr den übrigen Betrag durch 4 teilen: ⁣$5,40€:4=1,35€$.

Jeder von euch muss also $1,35€$ bezahlen.