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Dezimalzahlen und Brüche – Wiederholung
Was waren noch einmal Brüche? Und was sind Dezimalzahlen?
Brüche bestehen aus einem Zähler, dem Bruchstrich und dem Nenner.
Du kannst Brüche kürzen, aber auch erweitern. Außerdem erinnerst Du Dich bestimmt an die verschiedenen Arten eines Bruches. Hier sind sie aufgelistet:
| Echter Bruch | Unechter Bruch | Gemischter Bruch |
| Zähler kleiner als Nenner | Zähler größer als Nenner | Natürliche Zahl und ein echter Bruch(die gekürzte Version des unechten Bruches) |
Wenn im Folgenden das Wort Dezimalbruch verwendet wird, kannst Du es mit der geläufigen Definition eines Bruches gleich setzen.
Dezimalzahlen bestehen aus einer Anreihung natürlicher Zahlen, die durch ein Komma an einer Stelle getrennt werden.
Auch hier kannst Du zwischen drei verschiedenen Arten unterscheiden:
| Endliche Dezimalzahlen | Unendliche Dezimalzahlen | Periodische Dezimalzahlen |
| haben endlich viele Nachkommastellen | haben kein Ende | enden auf einer Periode |
Dezimalzahl in Bruch umwandeln – Erklärung
Nun erfährst Du mehr über die drei verschiedene Arten von Dezimalzahlen, da sich deren Umformung in manchen Schritten unterscheidet.
Endliche Dezimalzahlen
Beim Umwandeln einer endlichen Dezimalzahl in einen Bruch achtest Du zuerst auf die Zahl vor dem Komma, da diese eine natürliche Zahlist. Danach stellst Du fest, wie viele Nachkommastellen die Dezimalzahl besitzt:
- Bei einer Nachkommastelle setzt Du die Zahl 10 in den Nenner und die Nachkommastelle in den Zähler ein.
- Bei zwei Nachkommastellen verwendest Du die Zahl 100 als Nenner.
- Bei jeder weiteren Stelle wird immer eine weitere 0 im Nenner hinzugefügt.
Jetzt kannst Du die natürliche Zahl und den Bruch zusammen aufschreiben und erhältst in der Regel einen gemischten Bruch.
Die erste Nachkommastelle ist gleichzusetzen mit , die zweite Stelle mit
, die Dritte mit
etc.
Der Bruch selbst sollte nach Möglichkeit gekürzt werden. Um das Ganze zu verdeutlichen, siehst Du das oben Erklärte anhand einer Dezimalzahl im Beispiel.
Aufgabe
Wandle die Zahl 4,45 in einen Bruch um.
Lösung
Da die Zahl 4,45 zwei Nachkommastellen besitzt, setzt Du die Zahl 100 in den Nenner ein:
Nun kannst Du mit 5 kürzen, damit Du das Ergebnis erhältst:
Periodische Dezimalzahl in Bruch umwandeln
Der Anfang gestaltet sich ähnlich der Umwandlung endlicher Dezimalzahlen: Du stellst fest, wie viele Zahlen sich unter dem Periodenstrich befinden.
Achtung: Nun hast Du nicht wie bei den endlichen Dezimalzahlen 10tel oder 100tel vorliegen, sondern für jede Ziffer eine 9. Diese wird genutzt, da es eine nie endende Zahl ist.
Nun schreibst Du die Periode in den Zähler des Bruches und für jede Zahl, die unter der Periode steht, eine 9 in den Nenner. Wie auch bei den endlichen Zahlen steht die Ziffer vor dem Komma für eine natürliche Zahl.
Da Du bei Umwandlungen von Dezimalzahlen in Brüche häufig addieren musst, kannst Du hier das Wichtigste zur Addition nachlesen:
Die Addition gehört zu den vier Grundrechenarten. Neben ihr gibt es noch die Subtraktion, Division und Multiplikation. Für die Umwandlung benötigst Du nur die Addition.
Bei einer Addition werden alle Zahlen (Ganze Zahlen, Dezimalzahlen etc.) zusammengerechnet, woraufhin man das Ergebnis, die Summe, erhält.
Die einzelnen Zahlen in einer Additionsaufgabe werden Summanden genannt. In einer Additionsaufgabe kann es unendlich viele davon geben. Sie ergeben am Ende die Summe und sind dementsprechend auch ein Bestandteil des Ergebnisses.
1. Summand + 2. Summand = Summe
Bei Additionsrechnung gelten zwei allgemeine Rechengesetze, die Du im Kopf haben solltest:
| Gesetz | Erklärung | Beispiel |
| Summanden dürfen vertauscht werden | ||
| Assoziativgesetz | Teilrechnungen innerhalb einer Rechnung dürfen in beliebiger Reihenfolge gelöst werden. |
Um Dir das anhand eines Beispiels zu verdeutlichen, wird im Folgenden die Zahlumgewandelt.
Aufgabe
Stelle die Zahlals Bruch dar.
Lösung
Als Erstes unterteilst Du die Zahl in eine natürliche Zahlund einen Bruch. Danach schreibst Du beides als eine Addition auf:
Gemischt periodische Dezimalzahlen umwandeln
Zum Schluss lernst Du die Umwandlung gemischt periodischer Dezimalzahlen kennen.
Eine gemischt periodische Dezimalzahl besitzt nach ihrem Komma nicht direkt die Periode. Diese tritt erst an einem Punkt ab der zweiten Nachkommastelle auf. Das heißt, es kann vorher eine normale Zahlenabfolge oder auch nur eine Zahl kommen, die nicht Teil der Periode ist.
Ein Beispiel für so eine Zahl wäre.
Um diese Art in einen Dezimalbruch umzuwandeln, musst Du sie zunächst in eine rein periodische Dezimalzahl umwandeln. Dafür multiplizierst Du die Zahl mit 10 oder einer Vielfachen von 10. Ziel ist, danach nur noch die Periode hinter dem Komma vorzufinden.
Behalte Dir den Faktor im Hinterkopf, da Du diesen am Ende noch einmal benötigen wirst.
Nun gehts Du gleich vor wie bei der rein periodischen Dezimalzahl:
- Nachkommastellen zählen
- Periode in den Zähler und die Anzahl an Neunen in den Nenner schreiben
- Addition: 1. Summand ist die Zahl vor dem Komma, 2. Summand ist der Bruch
- 1. Summanden in Bruch umwandeln
- Addieren
Normalerweise würde der Bruch nun nur noch gekürzt und womöglich in einen gemischten Bruch umgewandelt werden. Doch erinnerst Du Dich noch an das anfängliche Multiplizieren? Dies muss jetzt wieder rückgängig gemacht werden, indem Du den Bruch durch den Faktor vom Anfang dividierst.
Wenn Du einen Bruch durch einen anderen Bruch teilst, musst Du den Dividenden mit dem Kehrwert des Divisors multiplizieren.
Somit schreibst Du den Divisor zuerst als Bruch in die Gleichung. Danach erstellst Du den Kehrwert, mit dem Du Dein Ergebnis malnimmst. Jetzt kannst Du den Bruch so weit es geht kürzen.
Aufgabe
Wandle die Zahlin einen Bruch um.
Lösung
Als Erstes stellst Du die gemischte Periode in eine rein periodische Zahl um, indem Du sie mit 10 multiplizierst. Verschiebe das Komma nach links und bilde eine Addition aus der natürlichen Zahl vor dem Komma und dem Teil danach:
Jetzt wandelst Du alle Zahlen in Brüche um, teilst wieder durch den Faktor 10 aus dem vorherigen Schritt und kürzst das Ergebnis.
Multipliziere mit dem Kehrwert von 10.
Die Zahlergibt als Bruch
.
Dezimalzahl in gemischten Bruch umwandeln – Aufgaben
Um das Theoretische noch einmal genauer zu verdeutlichen, findest Du hier Übungen Schritt für Schritt erklärt.
Aufgabe 1
Wandle die endliche Zahlin einen Bruch um.
Lösung
1. Schritt: Wandle beide Zahlen in Brüche um und schreibe sie in eine Addition:
2. Schritt: Addiere und kürze:
3. Schritt: Forme in einen gemischten Bruch um:
Dein finaler Bruch ist.
Aufgabe 2
Wandle die rein-periodische Zahlin einen Bruch um.
Lösung
Dein Ergebnis ist.
Aufgabe 3
Wandle die gemischt periodische Zahlin einen Bruch um.
Lösung
1. Schritt: Multipliziere mit 10:
2. Schritt: Unterteile in zwei Summanden und wandle beide in Brüche um:
3. Schritt: Dividiere durch 10 (bzw. multipliziere mit dem Kehrwert):
4. Schritt: Kürze:
Somit ist Dein Dezimalbruch.
Zur weiteren Übung findest Du hier noch ein paar Aufgaben mit Ergebnis, jedoch ohne Lösungsweg.
Aufgabe 4
Wandle folgende Dezimalzahlen in Brüche um:
| 1. | 2. | 3. | 4. | 5. | 6. |
Lösung
| 1. | 2. | 3. | 4. | 5. | 6. |
Dezimalzahlen in Brüche umwandeln – Das Wichtigste
- Es gibt verschiedene Arten von Dezimalzahlen: Endliche, unendliche, periodische und gemischt periodische.
- Zuerst wird festgestellt, wie viele Nachkommastellen bzw. Stellen unter der Periode sind.
- Danach werden diese in den Zähler des Bruches geschrieben, in den Nenner gehört die passende Ziffer (10, 100, ... oder die bestimmte Anzahl an Neunen).
- Falls es eine Zahl vor dem Komma gibt, wird diese dazu addiert.
- Am Ende wird der Bruch gekürzt.
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Häufig gestellte Fragen zum Thema Dezimalzahl in Bruch umwandeln
Wie schreibe ich eine Dezimalzahl als Bruch?
Im Zähler des Bruches stehen die Nachkommstellen und dazu addierst du die Zahl vor dem Komma. Im Nenner steht entweder 10, 100,... oder die entsprechende Zahl an Neunen.
Wie wird eine Dezimalzahl in einen Bruch umgewandelt?
Nachdem du geschaut hast, wie viele Nachkommastellen es gibt und ob es ein periodischen Bruch ist oder nicht, schreibst du dementsprechend die Stellen in den Zähler. Zahlen vor dem Komma dazu addieren und kürzen.
Wie wandelt man eine Dezimalzahl in einen gemischten Bruch um?
Du gehst genauso vor, wie bei einer normalen Umwandlung. Am Ende schaust du lediglich, ob der Zähler größer ist. Wenn ja, kannst du kürzen und ganze Zahlen aus dem Bruch ziehen.
Kann man jede Dezimalzahl in einen Bruch umwandeln?
Ja man kann jede Dezimalzahl in einen Bruch umwandeln, jedoch kann man diesen nicht immer kürzen und es bleibt dadurch ein recht großer Bruch.
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