Dezimalzahlen subtrahieren

Für diese Woche hast Du von Deinen Eltern \(10\text{ €}\) Taschengeld erhalten. Du möchtest Dir die folgenden drei Produkte kaufen:

• Gummischlangen, jeweils \(2{,}99\text{ €}\)
• Schokoeier, jeweils \(4{,}95\text{ €}\)
• Lutscher, jeweils \(0{,}49\text{ €}\)

Um zu berechnen, wie viel Dein Einkauf kosten wird, rundest Du auf die erste Nachkommastelle:

• Gummischlangen, jeweils \(3{,}00\text{ €}\)
• Schokoeier, jeweils \(5{,}00\text{ €}\)
• Lutscher, jeweils \(0{,}5\text{ €}\)

So lässt es sich doch schon viel leichter rechnen, oder?

Nun kannst Du die Zahlen im Kopf von Deinen \(10\text{€}\) abziehen.

\[10-3-5-0{,}5=1{,}50\]

Somit sind Deine \(10\text{ €}\) sind ausreichend, es bleiben sogar noch circa \(1{,}50\text{ €}\) übrig.

Angenommen in Deinem Sparschwein hattest Du gestern insgesamt \(95{,}50\text{ €}\). Da heute der Geburtstag eines Freundes war, hast Du ein Geschenk im Wert von \(15{,}75\text{ €}\) gekauft. Hinzu kommt, dass Du noch jemandem \(30\text{ €}\) geliehen hast.

Um zu berechnen, wie viel Geld Du noch übrig hast, schreibst Du die Dezimalzahlen untereinander und ziehst sie entweder mit dem Entbündelungsverfahren oder dem Ergänzungsverfahren voneinander ab. Das €-Zeichen kannst Du vorerst weglassen.

\begin{array}{ccc} &9&5&{,}&5&0 \\ -&1&5&{,}&7&5 \\ -&3&0&{,}&0&0 \\ \hline \end{array}

\[\boldsymbol{\Downarrow}\]

\begin{array}{ccc} &9&{\color{blau}1}5&{,}&{\color{blau}1}5&{\color{blau}1}0 \\ -&1&5&{,}&7&5 \\ -&3&0&{,}&0&0 \\[-0.2cm] &\tiny{{\color{blau}1}}&\tiny{{\color{blau}1}}&&{\color{blau}\tiny{1}}& \\ \hline &4&9&{,}&7&5 \end{array}

Du hast also noch \(49{,}75\text{ €}\) übrig.

Das ist zum Beispiel der Fall bei:

\[3{,}78-6{,}91\]

Da \(3\) kleiner ist als \(6\), wird das Ergebnis negativ sein. Also vertauscht Du die Zahlen und setzt ein Minus vor das Ergebnis. Danach kannst Du wie gewohnt rechnen:

\begin{array}{cccc} &6&{,}&9&1 \\ -&3&{,}&7&8 \\[-0.2cm] &&&\tiny{1}& \\ \hline {\color{blau}-}&3&{,}&1&3 \end{array}

Das Ergenis lautet also:

\[3{,}78-6{,}91=-3{,}13\]

Wenn Du also den Bruch \(\frac{7}{20}\) von der Dezimalzahl \(0{,}97\) abziehen willst, hast Du zwei Möglichkeiten:

1. Dezimalzahl in Bruch umwandeln:Zuerst wandelst Du die Dezimalzahl in einen Bruch um:\[0{,}97=97:100=\frac{97}{100}\]Danach bringst Du beide Brüche auf denselben Nenner:\[\frac{7}{20}=\frac{7\cdot5}{20\cdot5}=\frac{35}{100}\]Somit kannst du sie voneinander abziehen:\[\frac{97}{100}-\frac{35}{100}=\frac{97-35}{100}=\frac{62}{100}\]Bei Bedarf noch kürzen:\[\frac{62}{100}=\frac{31}{50}\]Das Ergebnis lautet also \(\frac{31}{50}\). Wenn Du willst, kannst Du diesen Bruch wieder in eine Dezimalzahl umwandeln. Von dem ungekürzten Bruch kannst Du direkt ablesen, dass die Zahl \(0{,}62\) lautet.

   Mehr zum Rechnen mit Brüchen findest Du in "Bruchrechnen".

2. Bruch in Dezimalzahl umwandeln:Zuerst wandelst Du den Bruch in eine Kommazahl um.\[7:20=0{,}35\]Nun können diese wie gewohnt voneinander subtrahiert werden.\begin{array}{ccc} &0&{,}&9&7 \\ -&0&{,}&3&5 \\\hline &0&{,}&6&2 \end{array}

Was ergibt \(2{,}7642-(-1{,}3943)\)?

Wenn eine negative Zahl subtrahiert wird, werden \(-\) und \(-\) zu einem \(+\). Das heißt, die zweite Zahl wird zu der ersten Zahl addiert. Die Rechnung lautet also:

\[2{,}7642+1{,}3943=\,?\]

Da beide Zahlen recht lang sind, bietet sich hier wieder die schriftliche Addition an:

\begin{array}{cccc} &2&{,}&7&6&4&2 \\ +&1&{,}&3&9&4&3 \\[-0.2cm] &\tiny{1}&&\tiny{1}&&& \\ \hline &4&{,}&1&5&8&5 \end{array}

Somit ist \(2{,}7642-(-1{,}3943)=4{,}1585\).

Subtrahiere \(1{,}\overline{3}\) von \(2{,}\overline{6}\).

Das Verfahren bleibt genau dasselbe wie bei der Subtraktion mit normalen Dezimalzahlen. Hierbei müssen zunächst die periodischen Dezimalzahlen ausgeschrieben werden. Wie viele Nachkommastellen Du ausschreiben möchtest, ist Dir überlassen. Hier sollen einmal 4 Nachkommastellen verwendet werden.

\begin{align} 1{,}\overline{3} & = 1{,}3333 \\ 2{,}\overline{6} & = 2{,}6666 \end{align}

Nun kannst Du die Zahlen wie gewohnt voneinander abziehen:\begin{array}{ccc} &2&{,}&6&6&6&6 \\ -&1&{,}&3&3&3&3 \\ \hline &1&{,}&3&3&3&3 \end{array}

Das Ergebnis ist \(1{,}3333\). Ob das auch wieder eine periodische Zahl ist, lässt sich allerdings nicht mit Sicherheit sagen, weil dieses Verfahren nicht ganz genau ist.

Subtrahiere \(1{,}\overline{3}\) von \(2{,}\overline{6}\).

Zuerst wandelst du die periodischen Zahlen in Brüche um. Dazu schreibst Du die Nachkommastellen in den Zähler und so viele Neuner wie Nachkommastellen in den Nenner.

\begin{align} 1{,}\overline{3} & = 1 + \frac{3}{9} = \frac{12}{9} \\[0.2cm] 2{,}\overline{6} & = 2 + \frac{6}{9} = \frac{24}{9} \end{align}

Danach kannst Du die Brüche voneinander abziehen und wieder in eine Dezimalzahl umwandeln:

\[\frac{24}{9} - \frac{12}{9} = \frac{12}{9} = 1 + \frac{3}{9} = 1{,}\overline{3}\]

Hier kannst Du nun mit Gewissheit sagen, dass das Ergebnis auch wieder eine periodische Dezimalzahl ist.

Aufgabe 1

Du hast Dir eine große Flasche Limonade gekauft. Sie beinhaltet \(2\,\mathrm{l}\). Davon gibst Du einem Freund \(0{,}5\,\mathrm{l}\) und einer Freundin \(300\,\mathrm{ml}\). Wie viel Limonade hast Du jetzt noch übrig?

Lösung

Du hast also \(2\,\mathrm{l}\) und ziehst davon \(0{,}5\,\mathrm{l}\) und \(0{,}3\,\mathrm{l}\) ab.

Nun kannst Du die Dezimalzahlen untereinander schreiben und subtrahieren.

\begin{array}{ccc} &2&{,}&0 \\ -&0&{,}&5 \\ -&0&{,}&3\\[-0.2cm] &\tiny{1}&& \\ \hline &1&{,}&2 \end{array}

Du hast noch \(1{,}2\,\mathrm{l}\) übrig.

Aufgabe 2

Zu Neujahr erhältst Du von Familie und Verwandten Taschengeld, welches insgesamt \(98{,}60\text{ €}\) beträgt. Du möchtest dir hierfür folgendes kaufen:

• Videospiel: \(52{,}10\text{ €}\)
• Jeans: \(45{,}20\text{ €}\)

Kannst Du Dir beides leisten?

Lösung

Um zu berechnen, ob Dein Geld für Deine Wünsche reicht, bietet sich die schriftliche Subtraktion an. Das €-Zeichen kannst Du vorerst weglassen und beim Ergebnis wieder anfügen

\begin{array}{ccccc} &9&8&{,}&6&0 \\ -&5&2&{,}&1&0 \\ -&4&5&{,}&2&0 \\ \hline &&1&{,}&3&0 \end{array}

Somit kannst Du Dir beide Produkte leisten und hast noch \(1{,}30\text{ €}\) übrig.

Aufgabe 3

Ziehe \(-4{,}567\) von \(10\) ab.

Lösung

Der Term lautet:

\[10 - (-4{,}567) = \,?\]

Hier folgen zwei Minuszeichen aufeinander, sie werden also zu einem Plus:

\begin{align} 10+4{,}567 & = \,? \\ 10+4{,}567 & = 14{,}567 \end{align}

Aufgabe 4

Subtrahiere die periodischen Dezimalzahlen voneinander:

\[2{,}\overline{8}-5{,}\overline{34}=\,?\]

Lösung

1. Möglichkeit: Subtraktion mit DezimalzahlenZuerst schreibst Du die periodischen Dezimalzahlen so weit aus, wie Du rechnen möchtest. Denke daran: je mehr Nachkommastellen, desto genauer ist das Ergebnis. Nimm beispielsweise 4 Nachkommastellen:\begin{align} 2{,}\overline{8} & = 2{,}8888 \\ 5{,}\overline{34} & = 5{,}3434 \end{align}Jetzt kannst Du die Dezimalzahlen untereinander schreiben und subtrahieren. Aber Achtung: der Minuend ist kleiner als der Subtrahend. Du musst die Dezimalzahlen also vertauschen und ein Minus vor das Ergebnis setzen.\begin{array}{ccccc} &5&{,}&3&4&3&4 \\ -&2&{,}&8&8&8&8 \\[-0.2cm] &\tiny{1}&&\tiny{1}&\tiny{1}&\tiny{1}&\\ \hline -&2&{,}&4&5&4&6 \end{array}Das Ergebnis ist \(-2{,}4546\). Ob es sich hier wieder um eine periodische Dezimalzahl handelt, kannst Du allerdings nur vermuten.
2. Möglichkeit: Subtraktion mit BrüchenGenauer geht das mit Brüchen:\begin{align} 2{,}\overline{8} & = 2+\frac{8}{9} = \frac{26}{9} = \frac{286}{99} \\[0.2cm] 5{,}\overline{34} & = 5+\frac{34}{99} = \frac{529}{99} \end{align}

   Hier musst Du die Brüche noch auf einen Nenner bringen, damit Du mit ihnen rechnen kannst. Du kannst mit \(11\) erweitern.

   \[ \frac{286}{99} - \frac{529}{99} = \frac{243}{99} = 2+ \frac{45}{99} = 2{,}\overline{45}\]Hier kannst Du nun mit Sicherheit sagen, dass die resultierende Dezimalzahl \(2{,}\overline{45}\) wieder eine periodische Dezimalzahl ist.