Dividieren

Du hast \(14\) Gummibärchen und musst diese auf \(4\) Personen aufteilen. Wie viele Gummibärchen bekommt jeder?

Lösung

Du musst folgende Gleichung berechnen:

\[{\color{#1478c8}14}:{\color{#00dcb4}4}\]

Hier gehst Du mit der Methode des Zahlenstrahls vor.

Du startest bei \({\color{#1478c8}14}\), das ist Dein Anfangswert. Dann gehst Du in vierer Schritten nach links, in Richtung \(0\).

Abb. 3 - Division am Zahlenstrahl..

Nach dem ersten Schritt landest Du bei \(10\). Bei dem zweiten Schritt landest Du bei der Zahl \(6\). Beim dritten Schritt bist Du dann schon bei \(2\).

Abb. 4 - Division am Zahlenstrahl.

Jetzt kannst Du nicht noch weiter nach links gehen, weil Du dann hinter der Zahl \(0\) wärst. Bis jetzt bist Du \(3\) Vierer schritte gegangen und bist auf der Zahl \(2\) gelandet. Dein Ergebnis ist also \(3\), mit dem Rest \(2\).

\[{\color{#1478c8}14}:{\color{#00dcb4}4}={\color{#fa3273}3} \,\text{Rest} \,2\]

Du hast \(104\) Smarties und musst die auf \(8\) Freunde aufteilen. Wie viele Smarties bekommt jeder. Berechne schriftlich in Deinem Heft.

Lösung

Du rechnest also folgende Gleichung aus:

\[104:8=\]

Schritt 1:

Betrachte die erste Zahl des Dividenden, hier die \(1\). Du prüfst, ob der Divisor, die \(8\), in diese erste Zahl hinein passt. Ist das nicht der Fall, also ist der Divisor größer als die erste Zahl, wie hier \(8>1\), musst Du so lange Zahlen vom Dividenden dazu nehmen, bis die so gebildete Zahl – der Hilfswert – größer ist, als der Divisor. In diesem Beispiel ist das bei der Zahl \(10\) der Fall.

\[{\color{#1478c8}10}4:8=\]

Schritt 2:

Anschließend prüfst Du, wie oft der Divisor in den Hilfswert passt und bestimmen das zugehörige Vielfache. In diesem Beispiel passt die \(8\) genau \(1\) Mal in die \(10\).

So erhältst Du den ersten Teil des Ergebnisses, welches Du notieren kannst. Du kannst jetzt die \(1\) als erste Ziffer Deines Ergebnisses notieren.

Dann musst Du das Vielfache, also die \(8\), vom Hilfswert schriftlich von der \(10\) subtrahieren.

\[10-8=2\]

Das notierst Du ebenfalls.

\begin{align} {\color{#1478c8}1}&{\color{#1478c8}0}4:8=1\\ -\,&{\color{#1478c8}8}\\ \hline &2 \end{align}

Schritt 3:

Neben das Ergebnis der Subtraktion wird die nächste Stelle des Dividenden, also die \(4\), geschrieben. Der neue Hilfswert ist also \(24\).

\begin{align} 1&0{\color{#1478c8}4}:8=1\\ -\,&8\\ \hline &2{\color{#1478c8}4} \end{align}

Schritt 4:

Hier wiederholt sich bereits das Vorgehen. Du ermittelst das Vielfache des Divisors, das noch in den Hilfswert passt – also hier \(24\), das \(3\)-fache von \(8\). Dieses Vielfache subtrahierst Du vom Hilfswert und notierst die \(3\) als nächsten Teil des Ergebnisses.

\begin{align} 1&04:8=1{\color{#1478c8}3}\\-\,&8\\ \hline &{\color{#1478c8}24} \\ \ -&{\color{#1478c8}24} \\ \hline\end{align}

Schritt 5:

Sobald alle Ziffern des Dividenden verbraucht wurden, musst Du noch den Rest ermitteln. Dieser ist der Rest der letzten Subtraktion, also in diesem Fall \(0\)und somit ist die Aufgabe beednet.

\begin{align} 1&04:8=13\\-\,&8\\ \hline &{\color{#1478c8}24} \\ \ -&{\color{#1478c8}2} {\color{#1478c8}4} \\ \hline &\,\,\,{\color{#1478c8}0}\end{align}

Dein neuer Fernseher kostet \(2050\,\text{€}\) und musst diesen in \(60\) Monaten abbezahlen. Wie hoch ist jede Rate? Berechne schriftlich in Deinem Heft.

Lösung

Bei der Division mit Rest gehst Du am Anfang genauso vor, wie bei der Division ohne Rest. Du nimmst Ziffern des Dividenden so lange hinzu, bis eine Zahl entsteht, die sich durch den Divisor teilen lässt. In diesem Fall ist das die Zahl \(202\).

\begin{align} {\color{#1478c8}205}0\,\text{€} : \text{60}=\end{align}

Als Nächstes teilst Du diese Zahl durch den Divisor. Hier passt die \(60\) \(3\)-mal in die \(202\). Das Ergebnis, also die \(180\), subtrahierst Du von \(202\).

\[202-180=22\]

Die Zahl \(22\) ist der Rest. Die Anzahl, mit der Du den Divisor multipliziert hast, also \(3\), schreibst Du hinter das Gleichheitszeichen.

\begin{align} &{\color{#1478c8}202}5\,\text{€}:60={\color{#1478c8}3}\\ -&{\color{#1478c8}1} {\color{#1478c8}80} \\ \hline &\,\,\,{\color{#1478c8}22} \end{align}

Dann ziehst Du die \(5\) vom ursprünglichen Dividenden herunter, sodass dort die Zahl \(225\) entsteht.

\begin{align} &202{\color{#1478c8}5}\,\text{€}:60=3\\ -&180 \\ \hline &\,\,\,22{\color{#1478c8}5} \end{align}

Im nächsten Schritt teilst Du auch diese Zahl wieder durch den Divisor, was ebenfalls \(3\) ergibt. Du schreibst also noch eine weitere \(3\) hinter das Gleichzeichen. Außerdem subtrahierst Du das Produkt von \(3\) und \(60\), also \(180\) wieder von den \(225\).

\[225-180=45\]

Die \(45\) ist jetzt dein Rest.

\begin{align} &2025\,\text{€}:60=33\\ -&180 \\ \hline &\,\,\,{\color{#1478c8}225} \\ -&\,\,{\color{#1478c8}180} \\ \hline \end{align}

Jetzt ändert sich die Vorgehensweise im Vergleich zur "normalen" schriftlichen Version. Du kannst jetzt keine Zahl mehr vom ursprünglichen Divisor herunterziehen. Grundsätzlich hast Du jetzt zwei Möglichkeiten:

1. Du berechnest die Subtraktion und nennst Dein Ergebnis \(33\) mit dem Rest \(45\) oder
2. Du fügst ein Komma hinter die \(33\) ein und ziehst eine \(0\) herunter. So kannst Du Dein Ergebnis mit Nachkommastellen angeben.

\begin{align} &2025\,\text{€}:60=33\\ -&180 \\ \hline &\,\,\,225 \\ -&\,\,180 \\ \hline &\,\,\,\, {\color{#1478c8}45}{\color{#00dcb4}0} \end{align}

Jetzt kannst Du wieder weitermachen wie bisher. Die \(60\) passt \(7\) mal in die \(450\). Also schreibst Du \(7\) hinter das Komma und subtrahierst \(420\) von \(450\).

\begin{align} &2025\,\text{€}:60=33{,}{\color{#1478c8}7}\\ -&180 \\ \hline &\,\,\,225 \\ -&\,\,180 \\ \hline &\,\,\,\,\, {\color{#1478c8}450} \\ -&\,\,\,\,\,{\color{#1478c8}420} \end{align}

\[450-420=30\]

Anschließend hast Du immer noch einen Rest von \(30\), Du ziehst also noch eine \(0\) herunter.

\begin{align} &2025\text{€}:60=33{,}7\\ -&180 \\ \hline &\,\,\,225 \\ -&\,\,\,180 \\ \hline &\,\,\,\,\,450 \\ -&\,\,\,\,\,420 \\ \hline &\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\color{#1478c8}300} \end{align}

Jetzt passt die \(60\), \(5\) mal in die \(300\) und diese Rechnung ist auch ohne Rest lösbar, denn \(60\) mal \(5\) ist genau \(300\). Dein Ergebnis lautet also \(33{,}75\).

\begin{align} &2025\,\text{€}:60=33{,}75\\ -&180 \\ \hline &\,\,\,225 \\ -&\,\,\,180 \\ \hline &\,\,\,\,\,450 \\ -&\,\,\,\,\,420 \\ \hline &\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\color{#1478c8}300} \\ -&\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\color{#1478c8}300} \end{align}

Dividiere die Zahl \(48{,}618\) durch die Dezimalzahl \(3{,}6\).

Lösung

Der erste Schritt ist auch schon der Schritt, der die Division von Dezimalzahlen von der Division mit natürlichen Zahlen unterscheidet.

Die wichtigste Regel hierbei lautet: Der Divisor darf keine Dezimalzahl sein.

Du darfst das Komma des Divisors um eine Stelle verschieben, wenn Du das auch beim Dividenden machst. Konkret bedeutet das, dass Du anstatt von \(3{,}6\) auch \(36\) schreiben kannst, wenn Du \(48{,}618\) zu \(468,18\) änderst.

\begin{align} 48,618:3,6 \, \rightarrow \, 486,18 : 36\end{align}

An diesem Punkt gehst Du dann wie bisher vor. Du nimmst die kleinstmögliche Anzahl an Zahlen des Dividenden und teilst diese durch den Divisor. \(48\) geteilt durch \(36\) ist \(1\). Du schriebst also eine \(1\) hinter das Gleichheitszeichen und subtrahierst \(36\) von \(48\).

\[48-36=12\]

Dann ziehst Du die \(6\) vom Dividenden runter. Die \(36\) passt \(3\) Mal in die \(136\). Du schreibst also noch eine \(3\) hinter die \(1\) im Quotienten und subtrahierst \(108\) von \(126\).

\[126-108=18\]

Jetzt bist Du am Komma des Dividenden angekommen. Anstatt das Komma mit herunterzuziehen, schreibst Du es mit ins Ergebnis, also den Quotienten hinter die \(3\).

\begin{align} &486{,}18:36=13{,} \\ -&36 \\ \hline &126 \\ -&108 \\ \hline &\,\,\,18 \end{align}

Das war auch schon das einzige, was sich zur Division mit ganzen Zahlen ändert. Jetzt ziehst Du die \(1\) vom Dividenden herunter.

\begin{align} &486{,}{\color{#1478c8}1}8:36=13{,} \\ -&36 \\ \hline &126 \\ -&108 \\ \hline &\,\,\,18{\color{#1478c8}1} \end{align}

Du schaust also, wie oft die \(36\) in die \(181\) reinpasst.

\[36\cdot5=180\]

Du schreibst \(5\) hinter das Komma und subtrahierst \(180\) von \(181\).

\[181-180=1\]

Dann ziehst Du die \(8\) vom Dividenden herunter. \(36\) passt \(0\) Mal in die \(18\). Du schreibst also eine \(0\) hinter die \(5\) und subtrahierst \(0\) von der \(18\).

Zum Schluss musst Du noch eine \(0\) herunterziehen. Jetzt weißt Du schon, dass die \(36\) \(5\) Mal in die \(180\) passt. Nach der Subtraktion ist kein Rest übrig.

\begin{align} &486{,}18:36=13{,}505 \\ -&36 \\ \hline &126 \\ -&108 \\ \hline &\,\,\,181\\ -&\,\,\,180 \\ \hline &\,\,\,\,\,\,18 \\ -&\,\,\,\,\,\,\,\,\,0 \\ \hline &\,\,\,\,\,\,180 \\-&\,\,\,\,\,\,180 \\ \hline &\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,0 \end{align}

Dein Ergebnis lautet also \(13{,}505\).

Dein Opa hat \(3648\,\text{€}\) über und möchte jedem seiner \(6\) Enkel gleich viel geben. Berechne halbschriftlich.

Lösung

Um die gleiche Aufteilung zwischen allen \(6\) Enkeln zu bestimmen, musst Du Folgendes rechnen:

\[3648:6\]

Da Du halbschriftlich dividieren sollst, bietet es sich an, die Zahl \(3600\) zu nehmen, weil die Quersumme diese Zahl auch durch \(6\) teilbar ist. Du berechnest also den Quotienten von \(3600\) geteilt durch \(6\).

\[3600\,\text{€}:6=600\,\text{€}\]

Als Nächstes kannst Du dann die verbliebenen \(48\,\text{€}\) durch \(6\) teilen.

\[48\,\text{€}:6=8\,\text{€}\]

So hast Du den ursprünglichen Dividenden in zwei Teile aufgeteilt und von diesen jeweils den Quotienten berechnet. Zum Schluss musst Du dann die beiden Quotienten \(600\,\text{€}\) und \(48\,\text{€}\) addieren.

\[600\,\text{€}+8\,\text{€}=608\,\text{€}\]

Jeder seiner \(6\) Enkelkinder bekommt \(608\,\text{€}\)