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In diesem Artikel wird das Thema Dreisatz detailliert behandelt. Du lernst die Dreisatz Formel kennen, erfährst, wie man Dreisatz Aufgaben löst und berechnest, und wirst mit dem zusammengesetzten Dreisatz vertraut gemacht. Zudem wird die Verwendung des Dreisatzes in der Prozentrechnung erläutert und Du erhältst hilfreiche Dreisatz Übungen.
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Was ist ein proportionaler Dreisatz?
Was ist ein antiproportionaler Dreisatz?
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Team Dreisatz Lehrer
Der Dreisatz ist eine grundlegende mathematische Methode, um proportionale und antiproportionale Zusammenhänge zwischen zwei Größen zu berechnen. Es ist wichtig, den Unterschied zwischen proportionalen und antiproportionalen Zusammenhängen zu verstehen, um den Dreisatz korrekt anzuwenden.
Mit dem Dreisatz kannst Du aus einem gegebenen Verhältnis zweier Größen das Verhältnis der einen Größe zu einem anderen Wert der anderen Größen berechnen.
Das Rechnen mit dem Dreisatz wird auch als Schlussrechnung bezeichnet.
Beim Rechnen mit dem Dreisatz kannst Du Dich an die folgenden Schritte halten.
Eine konkrete Formel gibt es für die Berechnung mit dem Dreisatz nicht, das Vorgehen ist dafür aber immer gleich.
Gehe diese Schritte gleich für das Beispiel aus der Einleitung durch.
1. Notiere Dir alle Werte, die Du gegeben hast.
Du weißt, dass 9 Nuggets \(6\,\text{€}\) kosten und Du weißt, dass Du 6 Nuggets haben möchtest.Die Anzahl 9 der Nuggets steht im Verhältnis zum Preis \(6\,\text{€}\).
| Schritt | Anzahl | Preis | Rechnung |
| 1. | 9 | \(6\,\text{€}\) | |
| 6 |
2. Berechne das Verhältnis für eine Einheit der gesuchten Größe.
Teile die Anzahl der Nuggets sowie den dazugehörigen Preis nun durch 9, um herauszufinden, wie viel 1 Nugget kostet.
| Schritt | Anzahl | Preis | Rechnung |
| 1. | 9 | \(6\,\text{€}\) | :9 |
| 2. | 1 | \(0{,}67\,\text{€}\) | |
| 6 |
3. Berechne das gesuchte Verhältnis, indem Du mit dem entsprechenden Faktor multiplizierst.
Multipliziere jetzt mit 6, um zu ermitteln, wie viel 6 Nuggets kosten.
| Schritt | Anzahl | Preis | Rechnung |
| 1. | 9 | \(6\,\text{€}\) | :9 |
| 2. | 1 | \(0{,}67\,\text{€}\) | ·6 |
| 3. | 6 | \(4{,}02\,\text{€}\) |
Sechs Nuggets kostet demnach \(4{,}02\,\text{€}\).
Beim Rechnen mit dem Dreisatz spielt das Verhältnis der beiden Größen eine große Rolle und Du kannst zwischen zwei verschiedenen Fällen unterscheiden:
| Proportionaler Dreisatz | Antiproportionaler Dreisatz |
| Je mehr Du von der einen Größe hast, desto mehr hast Du auch von der anderen Größe. | Je mehr Du von der einen Größe hast, desto weniger hast Du von der anderen Größe |
Je mehr Schokolade Du kaufst, desto mehr bezahlst Du auch. | Je mehr Leute beim Aufräumen helfen, desto weniger Zeit wird gebraucht. |
Beim proportionalen Dreisatz besteht ein direkter Zusammenhang zwischen den beiden Größen: Wenn eine Größe zunimmt, nimmt auch die andere zu und umgekehrt. Die Dreisatzformel für den proportionalen Dreisatz lautet:
Unbekannte Größe = (Bekannte Größe * Zweite bekannte Größe) / Erste bekannte Größe
Um den proportionalen Dreisatz anzuwenden, musst Du Dir zunächst überlegen, welche Größen in Beziehung zueinander stehen. Danach kannst Du die Formel verwenden, um die unbekannte Größe zu berechnen.
Im Gegensatz zum proportionalen Dreisatz, besteht beim antiproportionalen Dreisatz eine umgekehrte Beziehung zwischen den Größen: Wenn eine Größe zunimmt, nimmt die andere ab. Die Formel für den antiproportionalen Dreisatz lautet:
Unbekannte Größe = (Bekannte Größe * Erste bekannte Größe) / Zweite bekannte Größe
Auch hier musst Du zunächst die Beziehung zwischen den Größen bestimmen und anschließend die Formel anwenden, um die unbekannte Größe zu berechnen.
Der Dreisatz kann Dir in vielen Themengebieten und bei verschiedenen Textaufgaben weiterhelfen und auch mehrschrittige Aufgaben lassen sich mit ihm lösen.
Mit der Grundgleichung der Prozentrechnung muss häufig der Prozentwert berechnet werden.
Bei der Berechnung mit dem Dreisatz ist also die erste Größe der Prozentsatz und die zweite Größe der Prozentwert.
Aufgabe 1
Du hast eine Packung Nudeln mit \(500\,\text{g}\) und möchtest \(300\,\text{g}\) kochen. Wie viel Prozent der Packung ist das?
Lösung
Die \(500\,\text{g}\) sind der Grundwert, also \(100 \,\%\).
Die \(300\,\text{g}\) sind der Prozentwert und Du suchst den zugehörigen Prozentsatz.
\begin{align}\text{G}&=\text{P}\cdot \text{p} \% \\500&=300\cdot \text{p}\%\end{align}
| Schritt | Prozentsatz | Prozentwert | Rechnung |
| 1. | \(100 \,\%\) | \(500\,\text{g}\) | |
| \(300\,\text{g}\) |
Dividiere durch \(\text{500 g}\), um herauszufinden, wie viel Prozent \(\text{1 g}\) entspricht.
| Schritt | Prozentsatz | Prozentwert | Rechnung |
| 1. | \(100 \,\%\) | \(500\,\text{g}\) | :500 |
| 2. | \(0{,}2 \,\%\) | \(1\,\text{g}\) | |
| \(300\,\text{g}\) |
Multipliziere anschließend mit 300, um den gesuchten Prozentsatz von \(\text{300 g}\) zu ermitteln.
| Schritt | Prozentsatz | Prozentwert | Rechnung |
| 1. | \(100 \,\%\) | \(500\,\text{g}\) | :500 |
| 2. | \(0{,}2 \,\%\) | \(1\,\text{g}\) | ·300 |
| 3. | \(60 \,\%\) | \(300\,\text{g}\) |
\(300\,\text{g}\) entsprechen also \(60 \,\%\) der Verpackung.
Aber auch andere Sachverhalte in der Prozentrechnung lassen sich mit dem Dreisatz lösen. So ist manchmal der Grundwert gesucht und Du hast Prozentwert und Prozentsatz gegeben.
Aufgabe 2
Laut einer Umfrage haben \(68 \,\%\) Deiner Mitschüler und Mitschülerinnen ein Haustier. Das entspricht \(306\) Personen. Wie viele Mitschüler und Mitschülerinnen hast Du insgesamt?
Lösung
Stelle zunächst die Tabelle mit allen bekannten Informationen für den Dreisatz auf.
Du suchst die Gesamtzahl Deiner Mitschüler. Das entspricht \(100\,\%\).
| Schritt | Prozent | Anzahl Mitschüler | Rechnung |
| 1. | \(68\,\%\) | 306 | |
| \(100\,\%\) |
Dividiere anschließend durch 68, um herauszufinden, wie viele Mitschüler und Mitschülerinnen einem Prozent entsprechen.
| Schritt | Prozent | Anzahl Mitschüler | Rechnung |
| 1. | \(68\,\%\) | 306 | :68 |
| 2. | \(1\,\%\) | 4,5 | |
| \(100\,\%\) |
Zum Schluss multiplizierst Du noch mit 100 und weißt nun, wie viele Mitschüler Du insgesamt hast.
| Schritt | Prozent | Anzahl Mitschüler | Rechnung |
| 1. | \(68\,\%\) | 306 | :68 |
| 2. | \(1\,\%\) | 4,5 | ·100 |
| 3. | \(100\,\%\) | 450 |
Du hast also insgesamt 450 Mitschüler und Mitschülerinnen.
Beim zusammengesetzten Dreisatz wird ausgehend von dem Ergebnis eines ersten Dreisatzes weitergerechnet.
Du hast also nicht nur eine, sondern gleich mehrere Größen gegeben.
Aufgabe 3
In der Cafeteria Deiner Schule werden jeden Tag frische Brötchen belegt.
Die 3 Mitarbeitenden schmieren in 30 Minuten 90 Brötchen.
Berechne ausgehend davon, dass alle gleich schnell arbeiten
Lösung
| Schritt | Personen | Brötchen | Zeit | Rechnung |
| 1. | 3 | 90 | 30 min | :3 |
| 2. | 1 | 30 | 30 min | ·2 |
| 3. | 2 | 60 | 30 min | ·4 |
| 4. | 2 | 240 | 120 min |
Zwei Mitarbeitende schmieren also 240 Brötchen in zwei Stunden.
Beim zusammengesetzten Dreisatz verändern sich beim Berechnen immer zwei Größen und eine bleibt gleich. Das liegt daran, dass auch immer nur zwei Größen im Verhältnis zueinander stehen.
Teste Dein Wissen gleich an ein paar Übungsaufgaben.
Aufgabe 4
Oben hast Du bereits berechnet, wie viele Deiner Mitschüler und Mitschülerinnen ein Haustier haben.
\(43 \,\%\) dieser Menge haben eine Katze. Wie viele Personen sind das?
Lösung
| Schritt | Prozent | Anzahl Mitschüler | Rechnung |
| 1. | \(100 \,\%\) | 306 | :100 |
| 2. | \(1 \,\%\) | 3,06 \(\approx\) 3 | ·43 |
| 3. | \(43 \,\%\) | 131,58 \(\approx\) 132 |
Es haben also ungefähr 132 Mitschüler und Mitschülerinnen eine Katze.
Aufgabe 5
Das Datenvolumen von \(10 \,\text{GB}\) Deines Handyvertrages reicht Dir für 20 Tage aus.
Wie viel Datenvolumen brauchtest Du, damit Dein Datenvolumen Dir für 30 Tage, also einen ganzen Monat ausreicht?
Lösung
| Schritt | Datenvolumen | Tage | Rechnung |
| 1. | \(10 \,\text{GB}\) | 20 | :20 |
| 2. | \(0{,}5 \,\text{GB}\) | 1 | ·30 |
| 3. | \(15 \,\text{GB}\) | 30 |
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Wie rechnet man einen Dreisatz?
Beim Rechnen mit dem Dreisatz kannst Du Dich an die folgenden Schritte halten.
Wie berechnet man den Prozentwert aus einem Dreisatz?
Um den Prozentwert mit dem Dreisatz zu berechnen, berechnest Du zunächst den Prozentwert für ein Prozent und multiplizierst diesen anschließend mit dem gewünschten Prozentsatz.
Welche Dreisatzarten gibt es?
Es gibt proportionale sowie antiproportionale Dreisätze. Unterschieden wird dabei nach der Art des Verhältnisses, in dem die beiden Größen zueinander stehen.
Wann benutzt man den Dreisatz?
Den Dreisatz benutzt Du, wenn Du das Verhältnis zweier Größen gegeben hast und den Wert der einen Größe zu einem anderen Wert der zweiten Größe ermitteln möchtest.
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Lily Hulatt ist Digital Content Specialist mit über drei Jahren Erfahrung in Content-Strategie und Curriculum-Design. Sie hat 2022 ihren Doktortitel in Englischer Literatur an der Durham University erhalten, dort auch im Fachbereich Englische Studien unterrichtet und an verschiedenen Veröffentlichungen mitgewirkt. Lily ist Expertin für Englische Literatur, Englische Sprache, Geschichte und Philosophie.
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Gabriel Freitas ist AI Engineer mit solider Erfahrung in Softwareentwicklung, maschinellen Lernalgorithmen und generativer KI, einschließlich Anwendungen großer Sprachmodelle (LLMs). Er hat Elektrotechnik an der Universität von São Paulo studiert und macht aktuell seinen MSc in Computertechnik an der Universität von Campinas mit Schwerpunkt auf maschinellem Lernen. Gabriel hat einen starken Hintergrund in Software-Engineering und hat an Projekten zu Computer Vision, Embedded AI und LLM-Anwendungen gearbeitet.
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