Exponentialgleichungen lösen

Exponentialgleichungen Grundlagenwissen

In der Mathematik begegnen Dir verschiedene Arten von Gleichungen. Darunter auch die sogenannten Exponentialgleichungen. Was kennzeichnet diese Art von Gleichung?

Exponentialgleichung – Definition

Ein Exponent an sich gibt an, wie oft Du die Basis mit sich selbst multiplizierst. Eine Exponentialgleichung enthält genau so einen Exponenten dann an entscheidender Stelle.

Dabei ist a die Basis, welche mit dem Exponenten x potenziert wird und die dann den Potenzwert b (oder auch Numerus) ergeben. Die Buchstaben a und b stehen für Konstanten.

Es ist möglich, dass eine Exponentialgleichung ausschließlich die Komponenten der Definition oben enthält.

Jetzt, wo Du gesehen hast, wie Exponentialgleichungen aussehen, kannst Du in den nächsten Kapiteln verschiedene Methoden zur Lösung solcher Gleichungen lernen.

Exponentialgleichungen lösen – Form a^x=b

Wenn die Variable im Exponenten nur einmal in der Gleichung vorkommt, so hast Du mehrere Möglichkeiten, die Gleichung zu lösen und damit die Variable zu bestimmen.

Exponentialgleichungen ohne Logarithmus lösen – a^x=b

Wenn die Gleichung in der Form

${\mathrm{a}}^{\mathrm{x}}=\mathrm{b}$

vor Dir liegt, kannst Du überlegen, für welche x die Gleichung stimmt. Hier helfen Dir Quadratzahlen (und die Kubikzahlen).

Du kannst Dir also die Frage stellen, wie oft die Basis a mit sich selbst multipliziert werden muss, um auf den Potenzwert b zu kommen.

Was machst Du aber in einem Fall, bei dem das „Probieren“ versagt? Dafür gibt es den Logarithmus!

Exponentialgleichungen mit Logarithmus lösen – a^x=b

Du hast also eine Gleichung der Form

${\mathrm{a}}^{\mathrm{x}}=\mathrm{b}$

gegeben, kannst diese aber nicht im Kopf lösen. Um die Variable x aus dem Exponenten zu bekommen, wird der Logarithmus angewandt. Das Potenzieren wird mit dem Logarithmieren umgekehrt.

Zeit für ein Beispiel.

Alternativ kannst Du so eine Gleichung auch durch beidseitiges Logarithmieren lösen.

Exponentialgleichungen der Form a^x=b – Lösung durch Logarithmieren

Anstatt die Gleichung durch die obige Umformung direkt über den Logarithmus zu lösen, kannst Du stattdessen auch beide Seiten logarithmieren und danach nach der gesuchten Variable auflösen. Dabei spielt es keine Rolle, welche Basis genutzt wird.

Die allgemeine Exponentialgleichung wird mit dem Zehnerlogarithmus auf beiden Seiten logarithmiert.

$\begin{array}{rcl}{\mathrm{a}}^{\mathrm{x}}& =& \mathrm{b}\overline{)\lg (})\\ & & \\ \lg \left({\mathrm{a}}^{\mathrm{x}}\right)& =& \lg \left(\mathrm{b}\right)\end{array}$

Anschließend kannst Du die Logarithmusgesetze gezielt einsetzen, um die Gleichung zu vereinfachen und nach x aufzulösen.

$\begin{array}{rcl}\mathrm{x}·\lg \left(\mathrm{a}\right)& =& \lg \left(b\right)\overline{):\lg \left(a\right)}\\ & & \\ \mathrm{x}& =& \frac{\lg \left(\mathrm{b}\right)}{\lg \left(\mathrm{a}\right)}\end{array}$

Im folgenden Beispiel kannst Du das direkt ausprobieren:

Und damit hast Du drei Möglichkeiten Exponentialgleichungen der Form ${\mathrm{a}}^{\mathrm{x}}=\mathrm{b}$ zu lösen. Es gibt aber noch erweiterte Exponentialgleichungen.

Exponentialgleichungen lösen: Form c·a^x=b

Exponentialgleichungen können durch einen Faktor c erweitert werden. Wie wird so eine Gleichung gelöst? Durch Division der Konstanten c erhältst Du wieder eine Gleichung in der Grundform.

$\mathrm{c}·{\mathrm{a}}^{\mathrm{x}}=\mathrm{b}$

Allgemein formuliert lautet die Rechnung bzw. Umformung dann:

$\begin{array}{rcl}\mathrm{c}·{\mathrm{a}}^{\mathrm{x}}& =& \mathrm{b}\overline{):\mathrm{c}}\\ & & \\ {\mathrm{a}}^{\mathrm{x}}& =& \frac{\mathrm{b}}{\mathrm{c}}\overline{)\lg (})\\ & & \\ \lg \left({\mathrm{a}}^{\mathrm{x}}\right)& =& \lg \left(\frac{\mathrm{b}}{\mathrm{c}}\right)\\ & & \\ & & \\ \mathrm{x}·\lg \left(\mathrm{a}\right)& =& \lg \left(\frac{\mathrm{b}}{\mathrm{c}}\right))\overline{):\lg \left(\mathrm{a}\right)}\\ & & \\ \mathrm{x}& =& \frac{\lg \left(\frac{\mathrm{b}}{\mathrm{c}}\right)}{\lg \left(\mathrm{a}\right)}\end{array}$

Die Formel kannst Du direkt in der nächsten Aufgabe anwenden.

Jetzt hast Du gesehen, was bei einem Vorfaktor vor dem exponentiellen Term gemacht werden kann. Wenn aber direkt im Exponenten noch Variablen vorkommen, sind noch mehr Schritte notwendig. Wie diese aussehen, folgt jetzt.

Exponentialgleichungen lösen: Form c·a^dx+f=b

Und nachdem Du jetzt gesehen hast, wie Du mit einem Vorfaktor c vor dem exponentiellen Term umgehst, lernst Du jetzt, was Du machst, wenn im Exponent mehr als nur ein x auftaucht. Nämlich eine ganze lineare Funktion anstatt nur einer Variablen x.

$f\left(x\right)=a·x+b=d·x+f$

Wenn Du Dir also die gesamte Gleichung anschaust und wie nach x umstellst, passiert Folgendes:

$\begin{array}{rcl}\mathrm{c}·{\mathrm{a}}^{\mathrm{d}·\mathrm{x}+\mathrm{f}}& =& \mathrm{b}\\ & & \\ & & \\ c·{\mathrm{a}}^{\mathrm{d}·\mathrm{x}+\mathrm{f}}& =& b\overline{):c}\\ & & \\ {\mathrm{a}}^{\mathrm{d}·\mathrm{x}+\mathrm{f}}& =& \frac{b}{c}\overline{)\lg (})\\ & & \\ \lg \left({\mathrm{a}}^{\mathrm{d}·\mathrm{x}+\mathrm{f}}\right)& =& \lg \left(\frac{b}{c}\right)\\ & & \\ (\mathrm{d}·\mathrm{x}+\mathrm{f})·\lg \left(a\right)& =& \lg \left(\frac{b}{c}\right)\overline{):\lg \left(a\right)}\\ & & \\ \mathrm{d}·\mathrm{x}+\mathrm{f}& =& \frac{\lg \left(\frac{\mathrm{b}}{\mathrm{c}}\right)}{\lg \left(a\right)}\overline{)-f}\\ & & \\ \mathrm{d}·\mathrm{x}& =& \frac{\lg \left(\frac{\mathrm{b}}{\mathrm{c}}\right)}{\lg \left(a\right)}-f\overline{):d}\\ & & \\ \mathrm{x}& =& \frac{\frac{\lg \left(\frac{\mathrm{b}}{\mathrm{c}}\right)}{\lg \left(\mathrm{a}\right)}-\mathrm{f}}{\mathrm{d}}=\frac{\lg \left(\frac{\mathrm{b}}{\mathrm{c}}\right)}{\mathrm{d}·\lg \left(\mathrm{a}\right)}-\frac{\mathrm{f}}{\mathrm{d}}\end{array}$

Und hier kannst Du auch direkt ausprobieren, wie Du das von Hand an einem Beispiel alles anwendest.

Bisher wurden Exponentialgleichungen betrachtet, bei denen die Basis a eine beliebige ganze Zahl annimmt. Wie bereits erwähnt, kann die Basis auch die Eulersche Zahl sein.

Exponentialgleichungen lösen mit e in der Basis

Wenn Du eine Exponentialgleichung mit e in der Basis hast, erinnerst Du Dich am besten an das Einleitungskapitel und die Definition von der Euler-Zahl und den dazugehörigen natürlichen Logarithmus:

${\log }_e\left(x\right)=\ln \left(x\right)$

Damit kannst Du Gleichungen, bei denen dieses e in der Basis auftaucht, zumindest um einen Rechenschritt verkürzen.

Eine weitere Methode zur Lösung von Exponentialgleichungen bietet die graphische Lösung. Dazu findest Du alles im folgenden Kapitel.

Exponentialgleichungen graphisch lösen

Du kannst auch Gleichungen, in denen der gesuchte Wert im Exponenten auftaucht, graphisch lösen. Ein klassisches Beispiel dafür wäre, wenn auf einer Seite ein Polynom steht und auf der anderen ein Exponentialterm.

Indem Du dann „beide“ y gleichsetzt, erhältst Du mit

$f\left(x\right)=g\left(x\right)$

quasi die Ausgangsgleichung und stellst damit der Mathematik die Frage „Wo schneiden sich die beiden Funktionen?“.

Diese Gleichung könntest Du auch rechnerisch lösen, das erfordert aber mehr Schritte als in den Kapiteln davor.

Du kannst sie aber auch graphisch lösen.

Dafür zeichnest Du die beiden Funktionen in das Koordinatensystem und liest die Schnittstellen ab.

Relevanter wird die Option auf die graphische Lösung bei Gleichungen mit mehr Komponenten auf mindestens einer der beiden Seiten.

Exponentialgleichungen lösen – Aufgaben

Zum Abschluss noch zwei Aufgaben bei denen Du Dein Wissen von oben anwenden kannst.

Als Zweites kannst Du hier bei einer Aufgabe noch überprüfen, ob Du die letzte Form mit dem meisten Konstanten über Nutzung der letzten Formel lösen kannst:

Und jetzt kannst Du Dir die Fragen vom Anfang beantworten:

Als Nächstes kannst Du etwas über Bevölkerungsentwicklungen ausrechnen.

Als letzte Aufgabe erinnerst Du Dich am besten daran, wie Du Exponentialgleichungen ohne Logarithmus lösen kannst.