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Team Gleichungen lösen Lehrer
Du kaufst Deiner Freundin oder Deinem Freund eine Kugel und für Dich zwei Kugeln Eis für insgesamt 5,40 €. Wie viel kostet also eine Kugel Eis?
\[1 \, \text{K}\text{ugel}+2 \,\text{Kugeln} = 5,40 \text{€}\]
Zu diesem Thema kannst Du eine sogenannte Gleichung aufzustellen, wobei Dir so etwas auch im Alltag häufig begegnen wird (etwa beim Einkaufen).
Wie genau Du quadratische und kubische Gleichungen lösen kannst, welche Regeln dabei gelten und was in den Bereich der Gleichungen aus der Algebra zählt, wirst Du in dieser Erklärung erfahren.
Um später Gleichungen lösen zu können, solltest Du zunächst die Grundlagen dazu auffrischen.
Die Gleichung hat ihren Namen vom Gleichheitszeichen.
Eine Gleichung besteht aus zwei Termen, die durch ein Gleichheitszeichen miteinander verbunden sind.
Dabei ist zunächst erstmal egal, was links und rechts des Gleichheitszeichens steht.
\[\underbrace{5x - 5y + 3}_{\color{#1478c8}\text{T}\text{erm 1}} \, {\color{#00dcb4}=}\, \underbrace{x-11}_{\color{#1478c8}\text{T}\text{erm 2}}\]
Stell Dir eine Gleichung wie eine Waage vor, die im Gleichgewicht ist. Möchtest Du auf einer der Seiten etwas verändern (zum Beispiel \(2 \text{kg}\) hinzufügen), musst Du das auch genauso auf der anderen Seite tun.
Äquivalenzumformungen beschreiben genau das in der Mathematik: Sie sind Umformungen, die auf beiden Seiten so viel wegzunehmen oder hinzuzufügen, dass die Waage weiterhin ausgependelt ist. Dabei kannst Du addieren, subtrahieren, multiplizieren und dividieren.
\begin{align} 4x + 2 &= 8 &&| \color{#1478c8} {-2} \\ 4x+2 {\color{#1478c8}-2} &= 8 \color{#1478c8}{-2} \\[0.2cm] 4x&= 6 &&| \color{#00DCB4}{: 4} \\ 4x \, {\color{#00dcb4}:4} &= 6 \, \color{#00DCB4}{:4} \\[0.2cm] x&=\frac{6}{4} \\[0.2cm] x &= {\frac{3}{2}} \end{align}
Hinter dem Strich wird angegeben, welche Rechenoperation auf beiden Seiten durchgeführt werden soll. So bleibt die Gleichung weiter im Gleichgewicht.
Nähere Informationen zu Gleichungen allgemein erhältst Du unter Gleichungen Grundlagen oder auch Äquivalenzumformungen.
Gleichungen auf beiden Seiten gleichermaßen zu verändern und zu lösen, funktioniert meist mithilfe der Äquivalenzumformungen. Eine Gleichung soll auf beiden Seiten identisch sein, wie zum Beispiel die klare Aussage:
\begin{align} 6 + 4 &= 5 + 5 \\ 10 & = 10 \, \checkmark \end{align}
Gleichungen werden mit Äquivalenzumformungen umgeformt, sodass auf eine Variable aufgelöst werden kann. Das heißt das Ziel ist es, eine Variable alleine auf eine Seite zu bringen.
Dafür können die Grundrechenarten, manchmal auch das Wurzelziehen oder Potenzieren, genutzt werden. Auch Binomische Formeln können dabei eine Rolle spielen.
Es soll nun bereits einige Übungen geben, um Dich mit den Gleichungen vertraut zu machen. Auch das Verschieben von Variablen wird bereits angewendet.
Berechne folgende Gleichung, indem Du nach der Variable x mithilfe von Äquivalenzumformungen umformst.
\[5x + 8 - 2 = 31 \]
Lösung
Schritt 1:
Relativ zu Beginn kannst Du nun alle Terme auf den beiden Seiten vereinfachen. In diesem Fall ist dies auf der linken Seite möglich.
\begin{align} 5x + \color{#1478c8}{8 - 2} &= 31 \\ 5x + \color{#1478c8}{6} &= 31 \end{align}
Schritt 2:
Nun ist es an der Zeit, durch eine Subtraktion die Konstante (\(6\)) von der linken Seite zu entfernen.
\begin{align} 5x + 6 &= 31 &&| \color{#1478c8}-6 \\ 5x+6 \color{#1478c8}-6 &=31 \color{#1478c8}-6 \\ 5x &= 25 \end{align}
Schritt 3:
Zum Schluss kannst Du nun durch eine Division die \(5\) auf die andere Seite bringen und somit nach x auflösen.
\begin{align} 5x &= 25 &&| \color{#00dcb4}:5 \\ 5x \color{#00dcb4}:5 &= 25 \color{#00dcb4}:5 \\ x &= 5 \end{align}
Löse folgende Gleichung auf die Variable x auf.
\begin{align} 20x + 100 - 20 - 10x &= 5x \end{align}
Lösung
Auch hier kannst Du zunächst die Terme vereinfachen und kümmerst Dich dann darum, die Variable auf eine Seite zu bekommen.
\begin{align} 20x + 100 - 20 - 10x &= 5x \\ \color{#1478c8}{20x} \color{#000000}{+} \color{#00DCB4}{100} \color{#00DCB4}{- 20} \color{#1478c8}{- 10x} &= 5x \\ \color{#1478c8}{10x} \color{#000000}{+} \color{#00DCB4}{80} &= 5x &&| -5x \\ 5x+80 &=0 &&| - 80 \\ 5x &= -80 &&| : 5 \\ x &= - 16 \end{align}
Du hast zwar bereits ein paar Regeln angewendet, unter anderem zu den Äquivalenzumformungen. Hier werden diese nochmal zusammengefasst.
Vor allem bei weniger komplexen Gleichungen kannst Du mit der Umkehraufgabe arbeiten. Diese nutzt das gleiche Prinzip wie die Äquivalenzumformung.
| Regel | Beispiel |
| Die Umkehrung der Addition ist die Subtraktion. | \begin{align} 2x + 5 &= 9 &&\color{#1478c8}{| -5} \\ 2x + 5 \color{#1478c8}{-5} &= 9 \color{#1478c8}{-5} \\ 2x &= 4 \end{align} |
| Die Umkehrung der Subtraktion ist die Addition. | \begin{align} 4x - 10 &= 10 &&\color{#1478c8}{| +10} \\ 4x - 10 \color{#1478c8}{+ 10} &= 10 \color{#1478c8}{+10} \\ 4x &= 20 \end{align} |
| Die Umkehrung der Multiplikation ist die Division. | \begin{align} 2x &= 10 &&\color{#1478c8}{| :2} \\ 2x \color{#1478c8}{:2} &= 10 \color{#1478c8}{:2} \\ x &= 5 \end{align} |
| Die Umkehrung der Division ist die Multiplikation. | \begin{align} \frac{x}{2} &= 10 &&\color{#1478c8}{| \cdot 2} \\ \frac{x}{2} \color{#1478c8}{ \cdot 2} &= 10 \color{#1478c8}{\cdot 2} \\ x &= 20 \end{align} |
Weiterhin sind ein paar Dinge zu beachten:
Zu den ganzen Äquivalenzumformungen findest Du in diesem Kapitel auch die Erklärung Umkehraufgabe Gleichungen. Schau gerne vorbei.
Zum Lösen von Gleichungen mit Klammern ist vor allem das Ausmultiplizieren entscheidend. Dabei ist beim Ausmultiplizieren einer Klammer das Distributivgesetz anzuwenden.
Sieh Dir dazu die Erklärung Distributivgesetz genauer an.
Beginne mit dem Faktor vor der Klammer und multipliziere diesen mit allen Summanden innerhalb der Klammer nacheinander (das Gleiche gilt für eine Division).
\begin{align} \color{#fa3273}{5} \color{#000000}{\cdot (} \color{#1478c8}{3x} \color{#00DCB4}{-2} \color{#000000}{)} \\ = \color{#fa3273}{5} \color{#000000}{\cdot} \color{#1478c8}{3x} \color{#000000} \color{#000000}{ {+}} \color{#fa3273}{5} \color{#000000}{\cdot} \color{#00DCb4}{(-2)} \end{align}
Eine weitere Möglichkeit ist, dass Du zwei Klammern miteinander multiplizieren musst. Auch dafür nimmst Du jede Zahl der ersten Klammer extra und multiplizierst sie einzeln mit den Ziffern aus der zweiten Klammer.
\begin{align} ({ \color{bl}{4x}} {\color{gr}{- 2}}) \cdot ({\color{r}{3}} + {\color{li}{2x}}) &= {\color{bl}{4x}} \cdot {\color{r}{3}} + {\color{bl}{4x}} \cdot {\color{li}{2x}} {\color{gr}{- 2}} \cdot {\color{r}{3}} {\color{gr}{- 2}} \cdot {\color{li}{2x}} \\ &= 12x + 8x^2 - 6 - 4x \\ &= 8x^2 + 8x -6 \end{align}
Handelt es sich bei den Termen in den Klammern um identische Terme, liegt eine binomische Formel vor.
Es gibt insgesamt drei verschiedene Arten von Binomischen Formeln. Diese kannst Du direkt nach den folgenden Regeln ausmultiplizieren.
Möchtest Du noch bisschen mehr ausklammern, dann kannst Du bei Ausklammern und Ausmultiplizieren vorbeisehen oder bei Binomische Formeln.
Bei einer quadratischen Gleichung benötigst Du das Wissen über die sogenannte Lösungsformel, besser bekannt als Mitternachtsformel.
Die klassische Form einer quadratischen Gleichung ist in dieser Form gegeben:
\[ax^2+bx+c=0\]
Zum Lösen einer solchen quadratischen Gleichung kann die Mitternachtsformel verwendet werden.
Die Mitternachtsformel sieht folgendermaßen aus:
\[x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4 \cdot a \cdot c}} {2 \cdot a}\]
Dafür muss die Gleichung in die Form \({\color{#1478c8}a}x^2 + {\color{#00dcb4}b}x +{\color{#fa3273}c} = 0\) gebracht werden und die jeweiligen Werte für \(\color{#1478c8}a\), \(\color{#00dcb4}b\) und \(\color{#fa3273}c\) aus der Gleichung in die Formel eingesetzt werden.
Näheres dazu findest Du unter Quadratische Gleichungen lösen und Mitternachtsformel.
Dir ist eine Gleichung dieser Form gegeben. Berechne die Werte für x.
\begin{align} x^2 + 4x + 5 = 2 \end{align}
Lösung
Dazu soll die Gleichung erst umgestellt werden, damit auf einer der Seiten eine Null steht.
\begin{align} x^2 + 4x + 5 &= 2 &&| - 2 \\ { \color{bl}{1}}x^2 + { \color{gr}{4}}x + { \color{r}{3}} &= 0 \end{align}
Nun kann diese Gleichung verwendet werden, um die Werte in die Mitternachtsformel zu geben und nach x aufzulösen.
\begin{align} x_{1,2} &= \frac{- { \color{gr}{4}} \pm \sqrt{{ \color{gr}{4}}^2 - 4 \cdot { \color{bl}{1}} \cdot { \color{r}{3}}}}{2 \cdot { \color{bl}{1}}} \\ &= \frac{- 4 \pm \sqrt{4}}{2} \\ &= \frac{- 4 \pm 2}{2} \\ x_1 &= -3 \\ x_2 &= -1 \end{align}
Ist eine Gleichung gegeben, sodass Du durch einen "Ersatz der Variablen", diese auf eine Form bringen kannst, um die Mitternachtsformel oder pq-Formel anzuwenden, handelt es sich um eine Biquadratische Gleichung. Beispielsweise ist eine Gleichung wie folgt gegeben:
\[x^4 + 2x^2 - 5 = 0\]
Dabei kannst Du nun die zwei Variablen auch ersetzen durch:
\[x^2 = z\]
Damit sieht diese Gleichung nun so aus:
\[z^2 + 2x - 5 = 0 \]
Somit ist die Gleichung für die Mitternachtsformel nutzbar. Zum Schluss wird die Resubstitution angewandt.
Schau gerne bei der Erklärung Biquadratische Gleichungen vorbei oder auch bei Quadratische Gleichungen lösen.
Eine kubische Gleichung ist eine Gleichung, bei der Du durch systematisches Probieren auf eine Nullstelle kommen sollst, um dann mithilfe einer sogenannten Polynomdivision eine quadratische Gleichung zu erhalten.
Eine kubische Gleichung ist eine Gleichung, die sich durch Äquivalenzumformung in die folgende Form bringen lässt:
\[ax^3 + bx^2 + cx + d = 0\]
Da Du diese Gleichung mit Null gleichsetzen kannst, kannst Du somit die Nullstellen ermitteln.
Die erste Nullstelle ist durch systematisches Probieren zu finden. Dabei kannst Du davon ausgehen, dass meist leicht bestimmbare Werte wie \(0, -1, 1\) oder \(2\) eine der Lösungen darstellen.
In der Erklärung Gleichung höheren Grades findest Du Informationen zu Gleichungen, die einen Grad höher als zwei besitzen.
Wie Du nun konkret bei einer kubischen Gleichung vorgehen kannst, erfährst Du in dieser kleinen Zusammenfassung:
Dir ist folgende kubische Gleichung gegeben:
\[x^3 + 2x^2 + 5x - 8 = 0\]
Löse die Gleichung nach x auf.
Lösung
Dafür kannst Du nach folgendem Schema vorgehen.
Schritt 1 (Systematisches Probieren):
Versuche verschiedene Werte (meist \(-1, 0, 1\) oder \(2\)) für x einzusetzen, um einen x-Wert einer Nullstelle herauszufinden.
\begin{align} 2^3 + 2 \cdot 2^2 + 5 \cdot 2 - 8 &= 0 \\ 18 &= 0 \, \, \times \end{align}
\begin{align} x = 2: 1^3 + 2 \cdot 1^2 + 5 \cdot 1 - 8 &= 0 \\ 0 &= 0 \, \, \checkmark \end{align}
Das bedeutet, eine Nullstelle liegt bei \(x = 1\).
Alle weiteren Hintergründe findest Du in der Erklärung Systematisches Probieren.
Schritt 2 (Polynomdivision):
Nun teilst Du Deinen Term durch diese eine Nullstelle in Form einer Polynomdivision. Dabei erhältst Du eventuell einen Rest und eine Gleichung mit einem Grad niedriger, also in diesem Fall eine quadratische Gleichung.
\begin{align} \matrix {(x^3& + 2x^2& - x& - 2)&:&(x - 1)&=& \color{#1478c8} {x^2 + 3x + 2} \cr - (x^3& - x^2) \cr \phantom{-} & - (3x^2& -3x) \cr \phantom{-} & \phantom{-} & - (2x& - 2) \cr \phantom{-} & \phantom{-1} & \phantom{-1} & Rest: 0} \end{align}
Näheres zu diesen Rechenschritten findest Du detailliert zusammengefasst in der Erklärung Polynomdivision oder auch Polynomfunktion.
Schritt 3 (quadratische Gleichung lösen):
Nun kannst Du die erhaltene quadratische Funktion mithilfe der Mitternachtsformel berechnen, um x-Werte zu ermitteln.
Somit ist gegeben:
\[ax^2 + bx + c = 1x^2 + 3x + 2\]
Die Berechnung über die Mitternachtsformel lautet:
\begin{align} x_{1,2} &= \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1} \\ &= \frac{-3 \pm \sqrt{1}}{2} \\ &= \frac{-3 \pm 1}{2} \\ x_1 &= -2 \\ x_2 &= -1 \end{align}
Das bedeutet also diese kubische Gleichung ist lösbar mit den Nullstellen \(x=-2\), \(x=-1\) und \(x=1\).
Du hast bereits über einige Gleichungsarten viel erfahren, doch in diesem Kapitel werden Dir noch weitere vorgestellt.
Bei einer Bruchgleichung befindet sich die Variable, auf die aufgelöst werden soll, im Nenner eines Bruchs. Dabei soll diese Variable aus dem Bruch entfernt werden.
Sieh Dir dazu dieses Beispiel an.
Gegeben ist eine Bruchgleichung. Dabei soll auf \(x \) aufgelöst werden.
\[ \frac{x + 1}{x -3} = 2 \]
Lösung
Du beginnst nun damit den Nenner zu eliminieren. Dazu wird dieser auf beiden Seiten multipliziert.
Im Anschluss können die Äquivalenzumformungen verwendet und gegebenenfalls die Mitternachtsformel angewendet werden.
\begin{align} \frac{x + 1}{x - 3} &= 2 &&| \cdot (x - 3) \\[0.2cm] x + 1 &= 2 \cdot (x - 3) \\[0.2cm] x + 1 &= 2x - 6 &&| - 2x \\[0.2cm] -x + 1 &= -6 &&| - 1 \\[0.2cm] -x &= -7 &&| : (-1) \\[0.2cm] x &= 7 \end{align}
Damit ist das Ergebnis also \(x=7\).
In der Erklärung Bruchgleichungen lösen gibt es unter anderem weitere Inhalte zu den Bruchgleichungen.
Eine weitere Art der Gleichungen ist die der Exponential- und Logarithmusgleichungen.
Für die Exponentialgleichung gibt es verschiedene Möglichkeiten, auf die Lösung zu kommen:
Dazu findest Du mehr in den Erklärungen Exponentialgleichungen lösen, Logarithmusgleichungen lösen oder Gleichungen grafisch lösen.
Eine der Möglichkeiten ist, die Exponenten zu vergleichen. Das bedeutet, dass die Basen jeweils als Potenzen umgeschrieben werden können, um die Rechnung zu vereinfachen.
Sieh Dir dazu ein kurzes Beispiel an.
Gegeben ist diese Exponentialgleichung:
\[128^x = 8\]
Dabei fällt auf, dass sowohl \(8\) als auch \(128\) Vielfache von \(2\) sind und als Potenz geschrieben werden können.
\[128 = 2^7 \text{ und } 8 = 2^4\]
Damit lautet die Gleichung nun:
\[(2^7)^x = 2^3\]
Dies lässt sich über die Potenzgesetze umschreiben, zu:
\[2^{7x} = 2^3\]
Da die beiden Basen identisch sind, können diese nun getilgt werden und es werden nur noch die Exponenten verglichen.
\begin{align} 7x = 3 \\ x = \frac{3}{7} \end{align}
Zuletzt geht es noch um die Wurzelgleichungen und trigonometrischen Gleichungen.
Die Wurzelgleichung ist eine Gleichung, bei der die Variable unterhalb einer Wurzel positioniert ist.
Die Wurzelgleichung lautet wie folgt:
\[\sqrt{18 + x} = 5\]
Zur Lösung gibt es zwei wesentliche Schritte.
Schritt 1:
Hierbei wird die Wurzel auf beiden Seiten über das Potenzieren aufgelöst.
\begin{align} \sqrt{18 + x} &= 5 &&| \sqrt{} \\ 18 + x & = 25\end{align}
Schritt 2:
Dann wird die erhaltene lineare Gleichung auf \(x\) aufgelöst.
\begin{align} 18 + x &= 25 &&| - 18 \\ x &= 7 \end{align}
Näheres findest Du in der Erklärung Wurzelgleichungen lösen.
In trigonometrischen Gleichungen ist immer eine trigonometrische Funktion zu finden. Allgemein können diese Gleichungen also folgendermaßen aussehen:
Beim Berechnen dieser Gleichungen sollte man die Eigenschaften dieser Funktionen im Kopf haben.
Hier ist ein Ausschnitt der Sinusfunktion zu sehen.
Abbildung 1: Gleichungen lösen – Trigonometrische Gleichung \(sin\)
Weitere detailliertere Informationen und Übungen findest Du in der Erklärung Trigonometrische Gleichungen lösen.
Löse folgende Gleichung.
\[4 \cdot (2x + 3) = 16 + 4\]
Lösung
Zuerst kannst Du die Terme auf beiden Seiten soweit vereinfachen bzw. auch ausmultiplizieren.
\begin{align} 4 \cdot (2x + 3) &= 16 + 4 \\ 4 \cdot 2x + 4 \cdot 3 &= 20 \\ 8x + 12 &= 20\end{align}
Nun kannst Du zuerst eine Subtraktion durchführen und daraufhin durch 8 teilen.
\begin{align} 8x + 12 &= 20 &&| - 12 \\ 8x &= 8 &&| : 8 \\ x &= 1 \end{align}
Das bedeutet also die Lösung ist zwei. Möchtest Du das als Lösungsmenge notieren, so ist diese:
\[ \mathbb{L} = \{1\}\]
Berechne folgende quadratische Gleichung:
\begin{align} 4x^2 + 10x = -4 \end{align}
Lösung
Dazu solltest Du im ersten Schritt die Gleichung in die Form bekommen, damit ein Term mit Null gleichgesetzt wird.
\begin{align} 4x^2 + 10x &= -4 &&| + 4 \\ 4x^2 + 10x + 4 &= 0\end{align}
Nun ist es an der Zeit die Lösungsformel zu verwenden. Für die allgemeine Formel sind also die Buchstaben \(a = 4\), \(b = 10\) und \(c = 4\) gegeben.
\begin{align} x_{1,2} &= \frac{-10 \pm \sqrt{10^2 - 4 \cdot 4 \cdot 4}}{2 \cdot 4} \\ &= \frac{-10 \pm \sqrt{36}}{8} \\ &= \frac{-10 \pm 6}{8} \\ x_1 &= -2 \\ x_2 &= -0,5 \end{align}
Die Lösungsmenge ist also:
\[ \mathbb{L} = \{-2, -0,5\} \]
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Wie löse ich eine Gleichung?
Für das Lösen einer Gleichung benötigst Du Äquivalenzumformungen wie die Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division. Manchmal bietet sich auch eine graphische Lösung an oder eine Lösung durch systematisches Probieren.
Wie löse ich Gleichungen mit Klammern?
Zuerst sollten die Klammern auf jeder Seite des Gleichheitszeichens aufgelöst werden, beispielsweise durch Ausmultiplizieren. Dabei wird der Faktor vor der Klammer mit jedem einzelnen Summanden in der Klammer multipliziert. Dann kann die Gleichung wie gewohnt gelöst werden.
Wie löst man quadratische Gleichungen?
Quadratische Gleichungen löst Du indem Du die Wurzel ziehst, falls es nur eine Variable mit der Potenz zwei gibt. Falls es noch zusätzlich eine Variable im Grad eins gibt, so verwendest Du die Mitternachtsformel bzw. Lösungsformel um auf x aufzulösen.
Wie löst man kubische Gleichungen?
Kubische Gleichungen kannst Du lösen indem Du durch systematisches Probieren eine Nullstelle des Terms ermittelst, den Du Null gesetzt hast. Durch diese Nullstelle teilst Du dann in einer sogenannten Polynomdivision, um eine quadratische Gleichung zu erhalten. Danach benötigst Du die Mitternachts- bzw. Lösungsformel, um die x-Werte zu ermitteln.
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Lily Hulatt ist Digital Content Specialist mit über drei Jahren Erfahrung in Content-Strategie und Curriculum-Design. Sie hat 2022 ihren Doktortitel in Englischer Literatur an der Durham University erhalten, dort auch im Fachbereich Englische Studien unterrichtet und an verschiedenen Veröffentlichungen mitgewirkt. Lily ist Expertin für Englische Literatur, Englische Sprache, Geschichte und Philosophie.
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Gabriel Freitas ist AI Engineer mit solider Erfahrung in Softwareentwicklung, maschinellen Lernalgorithmen und generativer KI, einschließlich Anwendungen großer Sprachmodelle (LLMs). Er hat Elektrotechnik an der Universität von São Paulo studiert und macht aktuell seinen MSc in Computertechnik an der Universität von Campinas mit Schwerpunkt auf maschinellem Lernen. Gabriel hat einen starken Hintergrund in Software-Engineering und hat an Projekten zu Computer Vision, Embedded AI und LLM-Anwendungen gearbeitet.
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