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Größter gemeinsamer Teiler zweier Zahlen
Im Folgenden lernst du, wie der größte gemeinsame Teiler zweier Zahlen genau definiert wird:
Der größte gemeinsame Teiler – kurz ggT – zweier ganzer Zahlen a und b ist die größte natürliche Zahl, welche sowohl a als auch b teilt.
Der ggT wird mathematisch geschrieben durch 
.
Der größte gemeinsame Teiler ist genauso wie das kleinste gemeinsame Vielfache eindeutig. Zwei Zahlen können also nicht zwei verschiedene ggT haben.
Der ggT zweier Zahlen ist ein echter Teiler. Das heißt, teilt man die Zahlen a und b durch deren ggT, so funktioniert das Teilen ohne Rest.
Teilst du eine Zahl mit Rest, so spricht man von einem unechten Teiler.
Wozu brauchst du den größten gemeinsamen Teiler?
Ebenso wie das kleinste gemeinsame Vielfache, ist der ggT in der Bruchrechnung von Bedeutung. Dies ist beispielsweise beim Kürzen von Brüchen der Fall. Bildest du den ggT von Zähler und Nenner, so kannst du den Bruch in einem Schritt vollständig kürzen.
Aufgabe
Kürze den Bruch 
vollständig.
Lösung
Wenn du den Bruch schrittweise kürzt, könntest du zunächst ein paar Mal mit der zwei kürzen:
Durch das Bilden der Quersumme kann man herausfinden, dass jetzt noch mit drei gekürzt werden kann:
Dieser Bruch ist nun vollständig gekürzt. Dafür wurden aber fünf Rechenschritte benötigt.
Alternativ wäre es möglich gewesen, in nur einem Schritt den Bruch vollständig zu kürzen, indem direkt mit der Zahl 48 gekürzt wird:
Die 48 ist nämlich der größte gemeinsame Teiler von 576 und 1680.
Wie man auf die 48 kommt, siehst du im folgenden Abschnitt.
Größter gemeinsamer Teiler – Berechnen & Beispiele
Um den ggT zu berechnen, gibt es vier verschiedene Methoden.
Methode 1: Berechnen des ggT mithilfe der Teilermengen
Für diese Methode werden alle Teiler beider gegebenen Zahlen aufgelistet und anschließend verglichen. Die größte Zahl, die in beiden Teilermengen vorkommt, ist der ggT.
An dieser Stelle benötigst du die Teilermengen. Was genau das ist, kannst du im Artikel Teiler nachlesen.
Gesucht ist der ggT der Zahlen 18 und 24.
Die Teilermenge der Zahl 18 lautet T(18)={1, 2, 3, 6, 9, 18}.
Die Teilermenge der Zahl 24 lautet T(24)={1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}.
In beiden Mengen kommen die Zahlen 1, 2, 3 und 6 vor. Da 6 die größte dieser Zahlen ist, ist sie der ggT. Also:
Bei kleineren Zahlen bietet sich diese Methode an, da sie relativ wenige Teiler haben. Je größer die Zahlen sind, desto komplizierter wird es jedoch, alle Teiler zu finden. Dann funktionieren die folgenden Methoden meistens besser.
Methode 2: Berechnen des ggT über die Primfaktorzerlegung
Um den ggT zu finden, musst du zunächst die Primfaktorzerlegung der beiden Zahlen bestimmen. Anschließend nimmst du diejenigen Primfaktoren, die in beiden Primfaktorzerlegungen vorkommen. Kommt ein Primfaktor nur in einer der beiden Zerlegungen vor, darf er nicht genommen werden. Zu jedem Primfaktor nimmst du den niedrigsten vorkommenden Exponenten, also das Minimum der Exponenten. Multipliziert man diese gemeinsamen Primfaktoren nun, so ist das Ergebnis der ggT.
Um mit Hilfe der Primfaktorzerlegung den größten gemeinsamen Teiler zweier Zahlen a und b zu zerlegen, gehst du zusammengefasst wie folgt vor:
Bestimme die Primfaktorzerlegung der Zahl a.
Bestimme die Primfaktorzerlegung der Zahl b.
Nimm jetzt die Primzahlen mit den kleinsten vorkommenden Potenzen innerhalb der beiden Primfaktorzerlegungen und multipliziere diese miteinander.
Wie man die Primfaktorzerlegung einer Zahl bestimmt, kannst du gern im Artikel Primfaktorzerlegung nachlesen.
Im Folgenden findest du ein Beispiel für eine Berechnung des ggT über die Primfaktorzerlegung:
Gesucht wird der ggT von den beiden Nennern aus dem Einstiegsbeispiel, also von 576 und 1680.
Schritt 1 und 2:
Die Primfaktorzerlegungen der beiden Zahlen sind:
und 
Schritt 3:
Insgesamt kommen in den Zerlegungen die Faktoren 2, 3, 5 und 7 vor:
- Die 2 kommt in der Zerlegung von 576 sechsmal vor und in der Zerlegung von 1680 viermal. Das Minimum von 4 und 6 ist die 4. Deshalb wird der Faktor 2 in der Primfaktorzerlegung des ggT viermal vorkommen.
- Die 3 kommt in der Zerlegung von 576 zweimal vor und in der Zerlegung von 1680 einmal. Das Minimum von 2 und 1 ist die 1. Deshalb wird der Faktor 3 in der Primfaktorzerlegung des ggT einmal vorkommen.
- Die 5 kommt in der Zerlegung von 576 nullmal vor, in der Zerlegung von 1680 einmal. Das Minimum von 0 und 1 ist die 0. Deshalb wird der Faktor 5 in der Primfaktorzerlegung des ggT nullmal vorkommen.
- Ebenso ist es mit der 7, sie kommt in der Zerlegung von 576 nullmal und in der Zerlegung von 1680 einmal vor. Das Minimum ist 0, also kommt sie in der Zerlegung des ggT nullmal vor.
Der ggT ist nun das Produkt dieser Faktoren hoch deren Minima:
Sind die beiden Zahlen a und b teilerfremd, ist der ggT der beiden Zahlen eins.
Methode 3: Berechnen des ggT über den Euklidischen Algorithmus
Da die Methode der Primfaktorzerlegung sehr aufwändig werden kann, wenn die Zahlen groß sind und viele Primteiler haben, bietet es sich an, den euklidischen Algorithmus zu erlernen. Er ist ein mathematisches Verfahren zur Bestimmung des ggT zweier Zahlen und wurde bereits von Euklid im antiken Griechenland beschrieben.
Grundsätzlich macht man beim euklidischen Algorithmus nichts anderes als Teilen mit Rest. Das wiederholt man nach einem bestimmten Schema so lange, bis es keinen Rest mehr gibt, also der Rest null ist. Der letzte Rest, der ungleich null war, ist dann der ggT der gesuchten Zahlen.
Wenn du dich damit vertieft beschäftigen möchtest, dann kannst du dir den Artikel Euklidischer Algorithmus anschauen. Du findest ihn im Kapitel Rechnen mit ganzen Zahlen.
Im Folgenden lernst du den euklidischen Algorithmus anhand eines Beispiels kennen:
Gesucht ist der ggT der Zahlen 148 und 34:
Abbildung 1: Euklidischer Algorithmus
Der ggT der beiden Zahlen ist der letzte Rest ungleich null. Also:
Methode 4: Berechnen des ggT über das kgV
Wenn das kgV – also das kleinste gemeinsame Vielfache – der zwei gegebenen Zahlen bekannt ist, kann man auch mit ihm den ggT berechnen. Das hat den Grund, dass das kgV und der ggT durch eine Formel zusammenhängen:
Seien a und b ganze Zahlen. Dann gilt:
Diese Formel sagt aus, dass das Produkt zweier Zahlen den gleichen Betrag hat wie das Produkt aus ggT und kgV dieser Zahlen.
Wenn nun das kgV bekannt ist, kann die Formel umgestellt werden, indem durch das kgV geteilt wird:
Gegeben sind die Zahlen 21 und 35. Ihr kleinstes gemeinsames Vielfaches ist 
.
Setzt man dies in die umgestellte Formel ein, so ergibt sich:
Das kgV zweier Zahlen kann null sein, wenn eine der beiden Zahlen null ist. Dann darf diese Formel nicht verwendet werden, denn durch null darf man nicht teilen!
In diesem Fall ist der ggT gleich der Zahl, die nicht null ist.
Größter gemeinsamer Teiler – mehrere Zahlen
In den vorherigen Abschnitten hast du den größten gemeinsamen Teiler zu zwei Zahlen gelernt. Man kann jedoch zu beliebig vielen Zahlen einen ggT bestimmen.
Der größte gemeinsame Teiler von n Zahlen 
ist die größte natürliche Zahl, die alle 
teilt.
Man schreibt: 
.
Für die Berechnung des ggT mehrerer Zahlen können dieselben Methoden verwendet werden wie für den ggT von nur zwei Zahlen. Meistens ist jedoch die Methode der Teilermengen recht aufwändig.
Rechenregeln für den ggT – Erklärung
Für den ggT gibt es bestimmte Rechenregeln. Beispielsweise gilt hier das Assoziativgesetz, das Kommutativgesetz und das Distributivgesetz.
Sind a, b und c ganze Zahlen, dann gilt:
- Das Kommutativgesetz:
. - Das Assoziativgesetz:
. - Das Distributivgesetz:
.
Des Weiteren gilt:
Übungsaufgaben zum ggT
Mithilfe dieser Übungsaufgaben kannst du nochmal überprüfen, ob du den Inhalt dieses Artikels verstanden hast.
Aufgabe
Berechne jeweils den ggT der folgenden Zahlen:
- 80 und 30
- 144 und 12
- 19 und 13
- 80 und 24
- 55 und 15
Lösungen
a. Du arbeitest zunächst mit den Teilermengen. Diese sind:
T(80)={1, 2, 4, 5, 8, 10, 16, 20, 40, 80} und T(30)={1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30}
Die größte Zahl, die in beiden Mengen vorkommt, ist die 10.
Daher ist .
b. Da 144 durch 12 teilbar ist, und der größte Teiler der Zahl 12 die Zahl selbst ist,
ist .
c. 19 und 13 sind beides Primzahlen. Da Primzahlen nur durch sich selbst und durch eins teilbar sind, ist .
d. Hier arbeitest du mit der Primfaktorzerlegung. Es ist:
und
Der ggT ist also: .
e. Nun arbeitest du wieder mit der Primfaktorzerlegung. Es ist:
und
Es ist also .
Größter gemeinsamer Teiler – Das Wichtigste
- Der größte gemeinsame Teiler – kurz ggT – zweier ganzer Zahlen a und b ist die größte natürliche Zahl, welche sowohl a, als auch b teilt.
- In der Bruchrechnung kann der ggT genutzt werden, um Brüche in einem Rechenschritt vollständig zu kürzen.
- Der größte gemeinsame Teiler von n Zahlen ist die größte natürliche Zahl, die alle n Zahlen teilt.
- Es gibt verschiedene Methoden zur Bestimmung des ggT:
- über die Teilermengen,
- über die Primfaktorzerlegung,
- über den euklidischen Algorithmus oder
- über die Formel .
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Häufig gestellte Fragen zum Thema Größter gemeinsamer Teiler
Was ist der größte gemeinsame Teiler?
Der größte gemeinsame Teiler ist die größte natürliche Zahl, die zwei oder mehrere gegebene Zahlen teilt.
Wie berechnet man den ggT mit Primfaktorzerlegung?
Um den ggT mithilfe der Primfaktorzerlegung zu finden, muss zunächst die Primfaktorzerlegung der gegebenen Zahlen bestimmt werden. Anschließend nimmt man diejenigen Primfaktoren, die in allen Primfaktorzerlegungen vorkommen. Kommt ein Primfaktor nicht in allen Zerlegungen vor, darf er nicht genommen werden! Zu jedem Primfaktor nimmt man den niedrigsten vorkommenden Exponenten. Multipliziert man diese gemeinsamen Primfaktoren nun, so ist das Ergebnis der ggT.
Wie findet man den größten gemeinsamen Teiler?
Der größte gemeinsame Teiler kann entweder über die Primfaktorenzerlegung, das Teilermengenverfahren, den euklidischen Algorithmus oder die Formel ggT(a,b)*kgV(a,b)=|a*b| bestimmt werden.
Wie berechnet man den ggT und kgV?
Sowohl ggT als auch kgV können mithilfe der Primfaktorenzerlegung berechnet werden. Außerdem kann man die Formel ggT(a,b)*kgV(a,b)=|a*b| nutzen, wenn einer der beiden bekannt ist.
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