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Kleinstes gemeinsames Vielfaches zweier Zahlen
Im Folgenden lernst du, wie das kleinste gemeinsame Vielfache definiert ist:
Das kleinste gemeinsame Vielfache – kurz kgV – zweier ganzer Zahlen a und b ist die kleinste natürliche Zahl, die sowohl Vielfaches von a, als auch Vielfaches von b ist.
Alternativ: das kgV ist die kleinste natürliche Zahl, die sowohl von a als auch von b geteilt wird.
Das kgV wird mathematisch geschrieben als
.
Das kleinste gemeinsame Vielfache ist eindeutig. Zwei Zahlen können also nicht mehrere kleinste gemeinsame Vielfache haben.
Ist eine der beiden Zahlen a oder b gleich null, so ist auch der kgV gleich null. Ansonsten ist das kgV immer positiv, selbst wenn a und/oder b negativ sind.
Kleinstes gemeinsames Vielfaches bestimmen
Das kleinste gemeinsame Vielfache wird regelmäßig in der Mathematik benötigt. Dies ist insbesondere in der Bruchrechnung der Fall.
Hier wird das kgV immer dann benötigt, wenn zwei Brüche gleichnamig gemacht werden müssen. Das ist der Fall, wenn
- du Brüche addieren möchtest,
- du Brüche subtrahieren möchtest oder
- du Brüche vergleichen möchtest.
Aufgabe
Berechne: 
.
Lösung
Um die beiden Brüche addieren zu können, müssen sie zuerst gleichnamig gemacht werden. Eine Möglichkeit wäre, den ersten Bruch mit 35 und den zweiten Bruch mit 21 zu erweitern:
Dafür sind jedoch Rechnungen notwendig, die man nicht unbedingt im Kopf rechnen kann.
Die beiden Brüche können jedoch auch anders auf denselben Nenner gebracht werden, indem der erste Bruch mit fünf und der zweite Bruch mit drei erweitert wird:
Mit diesen Zahlen ist es wesentlich leichter zu rechnen.
Aber wie kommt man darauf, mit drei und mit fünf zu erweitern? Das hat mit dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen zu tun: 105 ist das kleinste gemeinsame Vielfache von 21 und 35.
Wie du in diesem Beispiel gesehen hast, kann das kgV für die Bruchrechnung sehr hilfreich sein. Im nächsten Abschnitt lernst du, wie es bestimmt werden kann.
Kleinstes gemeinsames Vielfaches berechnen
Um das kgV zu berechnen, gibt es drei verschiedene Methoden.
Methode 1: Berechnung des kgV über Zahlenreihen
Für diese Methode werden die ersten positiven Vielfachen der beiden gegeben Zahlen verglichen. Dafür notiert man sich zunächst die positiven Vielfachen beider Zahlen und sucht dann die kleinste Zahl, welche in beiden Mengen enthalten ist.
An dieser Stelle benötigst du die Vielfachen-Menge. Was das genau ist, kannst du im Artikel "Vielfaches" nachlesen.
Gesucht ist das kgV der Zahlen vier und sechs.
Die Vielfachen-Menge der Zahl vier lautet: V(4)={4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, ...}
Die Vielfachen-Menge der Zahl sechs lautet: V(6)={6, 12, 18, 24, 32, 40, 48, ...}
Da die zwölf die kleinste Zahl ist, die in beiden Vielfachen-Mengen vorkommt, ist sie das kgV:
Die Vielfachen-Menge V ist einfach eine Menge an Zahlen, die das Vielfache deiner betrachteten Zahl sind.
Manchmal reicht es, wie in diesem Beispiel, die ersten drei oder vier Vielfachen zu berechnen. Es gibt aber auch Fälle, in denen selbst unter den ersten zehn Vielfachen keine gemeinsame Zahl zu finden ist. Dann funktionieren die beiden folgenden Methoden besser.
Methode 2: Berechnung des kgV über die Primfaktorzerlegung
Um das kgV zu finden, muss man zunächst die Primfaktorzerlegung der beiden Zahlen bestimmen. Anschließend nimmt man diejenigen Primfaktoren, die in mindestens einer der beiden Primfaktorzerlegungen vorkommen, und multipliziert sie. Dabei nimmt man zu jedem Primfaktor den höchsten Exponenten, der in einer der beiden Primfaktorzerlegungen vorkommt. Dieses Produkt ist das kgV.
Falls du nochmal nachlesen möchtest, wie man die Primfaktorzerlegung einer Zahl bestimmt, kannst du dir den Artikel hierzu durchlesen.
Gesucht ist wieder das kgV der Zahlen vier und sechs.
Die Primfaktorzerlegungen der beiden Zahlen sind:
In den Zerlegungen kommen die Faktoren zwei und drei vor, wobei der höchste vorkommende Exponent beim Faktor zwei die zwei ist. Der Faktor drei kommt nur einmal vor.
Das kgV ist also das Produkt aus diesen Faktoren: 
.
In der Berechnung des kgV über die Primfaktorzerlegung kannst du auch folgende Eigenschaft des kgV sehen:
Sind die zwei gegebenen Zahlen a und b teilerfremd, haben also keinen einzigen gemeinsamen Teiler, dann haben sie auch keinen gemeinsamen Primfaktor. Das kgV ist dann das Produkt der beiden Zahlen, also
. Das ist zum Beispiel der Fall, wenn eine der beiden Zahlen eine Primzahl ist, und die andere nicht durch diese Primzahl teilbar ist.
Die Betragsstriche in dieser Formel sind notwendig, da das kgV immer positiv ist. a und b können aber auch negativ sein.
Sind a und b jedoch nicht teilerfremd, so muss ihr kgV kleiner sein als der Betrag ihres Produkts.
Methode 3: Berechnung des kgV über den ggT
Wenn der ggT – also der größte gemeinsame Teiler – der zwei gegebenen Zahlen bekannt ist, kann man auch mit dem ggT das kgV berechnen. Das hat den Grund, dass das kgV und der ggT durch eine Formel zusammenhängen:
Seien a und b ganze Zahlen. Dann gilt:
Diese Formel sagt aus, dass das Produkt zweier Zahlen den gleichen Betrag hat wie das Produkt aus ggT und kgV.
Wenn nun der ggT bekannt ist, kann die Formel umgestellt werden, indem mit dem ggT dividiert wird:
Gegeben sind die Zahlen 21 und 35. Der größte gemeinsame Teiler der beiden Zahlen ist 
.
Setzt man das nun in die umgestellte Formel ein, so ergibt sich:
Die Betragsstriche stehen in der Formel, weil a oder b auch eine negative Zahl sein kann. Der ggT und das kgV sind jedoch nach Definition immer positiv oder gleich null.
Kleinstes gemeinsames Vielfaches mehrerer Zahlen
In den vorherigen Abschnitten hast du das kleinste gemeinsame Vielfache zu zwei Zahlen angeschaut. Man kann jedoch zu beliebig vielen Zahlen ein kgV bestimmen.
Das kleinste gemeinsame Vielfache von n ganzen Zahlen 
ist die kleinste natürliche Zahl, die von allen 
geteilt wird, bzw. die Vielfaches aller Zahlen 
ist.
Man schreibt: 
.
Für die Berechnung des kgV mehrerer Zahlen können dieselben Methoden verwendet werden wie für das kgV von nur zwei Zahlen. Meistens ist jedoch die Methode mit Zahlenreihen sehr aufwändig.
Kleinstes gemeinsames Vielfaches – Übungen
Im Folgenden findest du Übungsaufgaben zum kgV.
Aufgabe
Berechne jeweils das kgV der folgenden Zahlen:
- 6 und 8.
- 11 und 55.
- 5, 7 und 9.
- 256 und 424.
- 12 und 14.
Lösungen
a. Hier ist die Arbeit mit Vielfachen-Mengen möglich. Es ist:
und 
. Die kleinste gemeinsame Zahl dieser Mengen ist die 24.Daher ist 
. b. Hier bietet es sich an, mit der Primfaktorzerlegung zu arbeiten, denn 11 ist bereits eine Primzahl. Die Primfaktorzerlegung von 55 ist: 
.Also ist 
c. Jetzt siehst du, dass fünf, sieben und neun teilerfremd sind.
Daher ist das kgV das Produkt der drei Zahlen: 
.
Alternativ hättest du auch über die Primfaktorzerlegung darauf kommen können. Mit den Vielfachen-Mengen ist die Bestimmung dieses kgV sehr kompliziert.
d. Da die Zahlen recht groß sind, bietet sich die Primfaktorzerlegung an: 
und 
.
Das kgV ist also 
e. Die Primfaktorzerlegungen lauten 
und 
.
Das kgV ist also 
Kleinstes gemeinsames Vielfaches - Das Wichtigste
- Das kleinste gemeinsame Vielfache – kurz kgV – zweier ganzer Zahlen a und b ist die kleinste natürliche Zahl, die sowohl Vielfaches von a, als auch Vielfaches von b ist.
- Das kgV ist die kleinste natürliche Zahl, die sowohl von a, als auch von b geteilt wird.
- In der Bruchrechnung wird das kgV immer dann benötigt, wenn zwei Brüche gleichnamig gemacht werden müssen.
- Das kleinste gemeinsame Vielfache von mehreren ganzen Zahlen ist die kleinste natürliche Zahl, die von allen Zahlen geteilt wird, bzw. die Vielfaches aller Zahlen ist.
- Es gibt drei verschiedene Methoden zur Berechnung des kgV:
- über Zahlenreihen und Vielfachen-Mengen,
- über die Primfaktorzerlegung oder
- über die Formel .
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Häufig gestellte Fragen zum Thema Kleinstes gemeinsames Vielfaches
Wie findet man das kleinste gemeinsame Vielfache?
Dieses findest du entweder indem du bei dem Zahlenreihenverfahren beide Zahlen mit den Zahlen 1 bis 10 multipliziert und nachher das kleinste gemeinsame Ergebnis herauszieht oder über die Primfaktorenzerlegung, bei der du beide als Produkte aus Primzahlen bestehenden Zahlen hinschreibst und die gemeinsam auftretenden Zahlen miteinander multiplizierst.
Was ist das kgV von 12 und 6?
Das kgV von 12 und 6 lautet 12.
Was ist das kgV von 9 und 12?
Das kgV von 9 und 12 lautet 36.
Wie kann man das kgV berechnen?
Das kgV kann man entweder über das Zahlenreihenverfahren oder die Primfaktorenzerlegung berechnen.
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