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Wie kannst Du eine Matrix mit einem Skalar multiplizieren und welche Rechenregeln musst Du bei der Skalarmultiplikation von Matrizen beachten? Anhand von Beispielen kannst Du in dieser Erklärung nachvollziehen, wie Du eine Matrix mit einer ganzen oder einer reellen Zahl multiplizierst.
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Leg kostenfrei losEntscheide, welcher Matrixtyp mit einem Skalar \(c\) multipliziert werden kann.
Entscheide, welche Rechenregeln für die Multiplikation einer Matrix \(A\)mit den Skalaren \(c\) und \(d\) gelten.
Entscheide, was für die Matrizen \(A\) und \(B\) bei folgender Rechenregel gilt:\[{\color{#00DCB4}c}\cdot (A\pm B)={\color{#00DCB4}c}\cdot A \pm{\color{#00DCB4}c}\cdot B\]
Die Produktmatrix \((c\cdot d)\cdot A\) besitzt den Matrixtyp \((5,\,2)\).Entscheide, welchen Typ \((m,\,n)\) die Matrix \(A\).
Entscheide, welcher Matrixtyp mit einem Skalar \(c\) multipliziert werden kann.
Entscheide, welche Rechenregeln für die Multiplikation einer Matrix \(A\)mit den Skalaren \(c\) und \(d\) gelten.
Entscheide, was für die Matrizen \(A\) und \(B\) bei folgender Rechenregel gilt:\[{\color{#00DCB4}c}\cdot (A\pm B)={\color{#00DCB4}c}\cdot A \pm{\color{#00DCB4}c}\cdot B\]
Die Produktmatrix \((c\cdot d)\cdot A\) besitzt den Matrixtyp \((5,\,2)\).Entscheide, welchen Typ \((m,\,n)\) die Matrix \(A\).
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Team Matrix mit Zahl multiplizieren Lehrer
In den Erklärungen „Matrizen“ und „Matrizenrechnung“ findest Du alles rund um die Matrix und das Rechnen mit Matrizen.
Eine \((m,n)\)-Matrix \(A\) kann mit einem Skalar \(c\) multipliziert werden, indem jedes Matrixelement \((a_{ik})\) der Matrix \(A\) mit dem Skalar \(c\) multipliziert wird.
\[c\cdot A=c\cdot (a_{ik})=(c\cdot a_{ik})\]
Dabei entspricht \(a_{ik}\) dem Matrixelement der \(i\)-ten Zeile und der \(k\)-ten Spalte.
Als Skalar wird eine mathematische Größe bezeichnet, die lediglich durch eine Zahl vollständig beschrieben ist.
Demnach kannst Du jede beliebige Matrix \(A\) mit einem Skalar \(c\) multiplizieren. Dabei musst Du lediglich das Skalar \(c\) elementweise multiplizieren. Für eine allgemeine \((m,\,n)\)-Matrix \(A\) würde das Produkt \(c\cdot A\) Folgendes ergeben:
\[{\color{#00DCB4}c}\cdot A=\left(\begin{array}{cc} a_{11}&\cdots &a_{1n} \\ \cdots &\ddots & \cdots \\ a_{m1}&\cdots & a_{mn}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc} {\color{#00DCB4}c}\cdot a_{11}&\cdots &{\color{#00DCB4}c} \cdot a_{1n} \\ \cdots &\ddots & \cdots \\ {\color{#00DCB4}c}\cdot a_{m1}&\cdots &{\color{#00DCB4}c} \cdot a_{mn}\end{array}\right)\]
Die Produktmatrix \(c\cdot A\) hat dabei denselben Typ \((m,\,n)\) wie die Matrix \(A\).
Wie gehst Du bei der Berechnung vor, wenn es sich bei dem Skalar um eine ganze Zahl handelt?
Eine \((m,n)\)-Matrix \(A\) wird mit einer ganzen Zahl \(c\) multipliziert, indem jedes Matrixelement der Matrix \(A\) mit der ganzen Zahl \(c\) multipliziert wird.
Die \((3,\,2)\)-Matrix \(A\) soll mit der ganzen Zahl \(c=2\) multipliziert werden.
\[A=\left(\begin{array}{cc} 1&-1 \\ 2&4 \\ 3&-2\end{array}\right)\]
Lösung
Multipliziere jedes Matrixelement der Matrix \(A\) mit der Zahl \(c=2\), um das Produkt \(c\cdot A\) zu erhalten.
\[{\color{#00DCB4}c}\cdot A={\color{#00DCB4}2}\cdot \left(\begin{array}{cc} 1&-1 \\ 2&4 \\ 3&-2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}{\color{#00DCB4}2}\cdot 1 &{\color{#00DCB4}2} \cdot (-1) \\ {\color{#00DCB4}2}\cdot2 & {\color{#00DCB4}2}\cdot\,\,\,\, 4\,\,\,\,\, \\ {\color{#00DCB4}2}\cdot 3 &{\color{#00DCB4}2} \cdot (-2) \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc} 2&-2 \\ 4&8 \\ 6&-4\end{array}\right)\]
Bei der Produktmatrix \(c\cdot A\) handelt es sich ebenfalls um eine \((3,\,2)\)-Matrix.
Handelt es sich bei dem Skalar \(c\) nicht um eine ganze Zahl, sondern eine reelle Zahl, so kannst Du das Verfahren ebenso anwenden.
Eine \((m,n)\)-Matrix \(A\) wird mit einer reellen Zahl \(c\) multipliziert, indem jedes Matrixelement der Matrix \(A\) mit der reellen Zahl \(c\) multipliziert wird.
Die \((3,\,3)\)-Matrix \(A\) soll mit der reellen Zahl \(c=\frac{1}{4}\) multipliziert werden.
\[A=\left(\begin{array}{cc} 4&2&8 \\ 16&-4&2 \\ 2&-8&2\end{array}\right)\]
Lösung
Multipliziere jedes Matrixelement der Matrix \(A\) mit der Zahl \(c=\frac{1}{4}\), um das Produkt \(c\cdot A\) zu erhalten.
\[{\color{#00DCB4}c}\cdot A={\color{#00DCB4}\frac{1}{4}}\cdot \left(\begin{array}{cc} 4&2&8 \\ 16&-4&2 \\ 2&-8&2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}{\color{#00DCB4}\frac{1}{4}}\cdot \,\,4\, &{\color{#00DCB4}\frac{1}{4}} \cdot \,\,\,\,2\,\,\,\,\,&{\color{#00DCB4}\frac{1}{4}} \cdot 8 \\ {\color{#00DCB4}\frac{1}{4}}\cdot16 & {\color{#00DCB4}\frac{1}{4}}\cdot(-4) &{\color{#00DCB4}\frac{1}{4}} \cdot 2\\ {\color{#00DCB4}\frac{1}{4}}\cdot \,\,2\, &{\color{#00DCB4}\frac{1}{4}} \cdot (-8)&{\color{#00DCB4}\frac{1}{4}} \cdot 2 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc} 1&\frac{1}{2}&2 \\ 4&-1&\frac{1}{2} \\ \frac{1}{2}&-2&\frac{1}{2}\end{array}\right)\]
Bei der Produktmatrix \(c\cdot A\) handelt es sich ebenfalls um eine \((3,\,3)\)-Matrix.
Multiplizierst Du ein Skalar mit einer Matrix, so gibt es auch Rechenregeln, die Du beachten musst.
Bei der Multiplikation einer Matrix mit einer Zahl gilt das Kommutativgesetz, das Assoziativgesetz und das Distributivgesetz.
Mit den Skalaren \(c\) und \(d\) sowie den Matrizen \(A\) und \(B\) vom selben Typ gilt:
| Rechenregel | Skalarmultiplikation |
| Kommutativgesetz | \[{\color{#00DCB4}c}\cdot A=A\cdot {\color{#00DCB4}c}\] |
| Assoziativgesetz | \begin{align}{\color{#00DCB4}c}\cdot ({\color{#1478C8}d}\cdot A)={\color{#1478C8}d}\cdot( {\color{#00DCB4}c}\cdot A)=({\color{#00DCB4}c}\cdot{\color{#1478C8}d})\cdot A\end{align} |
| Distributivgesetz | \begin{align}({\color{#00DCB4}c}\pm {\color{#1478C8}d})\cdot A&={\color{#00DCB4}c}\cdot A \pm {\color{#1478C8}d}\cdot A\\[0.2cm]{\color{#00DCB4}c}\cdot (A\pm B)&={\color{#00DCB4}c}\cdot A \pm {\color{#00DCB4}c}\cdot B\end{align} |
Anhand der folgenden Beispiele kannst Du die Rechenregeln für die Multiplikation nachvollziehen.
Gegeben sind die Matrizen \(A\) und \(B\), sowie die Skalare \(c=2\) und \(d=3\).
\[A=\left(\begin{array}{cc} 1&2 \\ -2&3 \end{array}\right)\hspace{1cm} B=\left(\begin{array}{cc} 2&2 \\ 4&-1 \end{array}\right)\]
Kommutativgesetz:
Die Produkte \(c\cdot A\) und \(A\cdot c\) sind identisch.
\begin{align}{\color{#00DCB4}c}\cdot A&={\color{#00DCB4}2}\cdot \left(\begin{array}{cc} 1&2 \\ -2&3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}{\color{#00DCB4}2}\cdot\,\,\,\, 1\,\,\,\,\,&{\color{#00DCB4}2} \cdot 2 \\{\color{#00DCB4}2}\cdot(-2) & {\color{#00DCB4}2}\cdot 3 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc} 2&4 \\ -4&6 \end{array}\right) \\[0.2cm]A \cdot {\color{#00DCB4}c}&=\left(\begin{array}{cc} 1&2 \\ -2&3\end{array}\right)\cdot {\color{#00DCB4}2}=\left(\begin{array}{cc}\,\,\,\,1\,\,\,\,\cdot {\color{#00DCB4}2}&2\cdot {\color{#00DCB4}2} \\(-2)\cdot {\color{#00DCB4}2} & 3\cdot {\color{#00DCB4}2} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc} 2&4 \\ -4&6\end{array}\right)\end{align}
Assoziativgesetz:
Wird eine Matrix \(A\) mit den Skalaren \(c\) und \(d\) multipliziert, können auch zuerst die Skalare multipliziert und anschließend mit der Matrix verrechnet werden.
\begin{align}{\color{#00DCB4}c}\cdot ({\color{#1478C8}d}\cdot A)&={\color{#00DCB4}2}\cdot \left({\color{#1478C8}3}\cdot \left(\begin{array}{cc} 1&2\\-2&3\end{array}\right)\right)={\color{#00DCB4}2}\cdot \left( \begin{array}{cc} 3&6\\-6&9\end{array}\right)&=\left(\begin{array}{cc} 6&12 \\-12&18\end{array}\right) \\[0.2cm]({\color{#00DCB4}c}\cdot {\color{#1478C8}d})\cdot A&=({\color{#00DCB4}2}\cdot {\color{#1478C8}3})\cdot \left(\begin{array}{cc} 1&2\\-2&3\end{array}\right)=6\cdot \left( \begin{array}{cc} 1&2\\-2&3\end{array}\right)&=\left(\begin{array}{cc} 6&12 \\-12&18\end{array}\right)\end{align}
Distributivgesetz:
Sind zwei Matrizen \(A\) und \(B\) desselben Typs mit einem Skalar \(c\) zu multiplizieren, so kannst Du die Matrizen zuerst addieren und dann mit dem Skalar multiplizieren oder beide Matrizen mit dem Skalar verrechnen und erst anschließend addieren.
In der Erklärung „Matrizen addieren“ kannst Du alles rund um die Addition von Matrizen nachlesen.
\begin{align}{\color{#00DCB4}c}\cdot (A+B)&={\color{#00DCB4}2}\cdot \left(\left(\begin{array}{cc} 1&2\\-2&3\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc} 2&2 \\ 4&-1\end{array}\right)\right)={\color{#00DCB4}2}\cdot\left(\begin{array}{cc} 3&4 \\ 2&2\end{array}\right)&=\left(\begin{array}{cc} 6&8 \\4&4\end{array}\right) \\[0.2cm]{\color{#00DCB4}c}\cdot A+{\color{#00DCB4}c}\cdot B&={\color{#00DCB4}2}\cdot \left(\begin{array}{cc}1&2\\-2&3\end{array}\right)+{\color{#00DCB4}2}\cdot \left(\begin{array}{cc} 2&2 \\ 4&-1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc} 2&4 \\ -4&6\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc} 4&4 \\ 8&-2\end{array}\right)&=\left(\begin{array}{cc} 6&8\\4&4\end{array}\right)\end{align}
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Wie wird eine Matrix mit einer Zahl multipliziert?
Eine Matrix wird mit einer Zahl multipliziert, indem jedes Matrixelement der Matrix mit dem Skalar multipliziert wird.
Kann eine Matrix mit einer Zahl addiert werden?
Eine Matrix kann mit einer Zahl multipliziert werden, aber nicht addiert. Dies wäre nur möglich, wenn es sich um eine (1, 1)-Matrix handelt.
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Lily Hulatt ist Digital Content Specialist mit über drei Jahren Erfahrung in Content-Strategie und Curriculum-Design. Sie hat 2022 ihren Doktortitel in Englischer Literatur an der Durham University erhalten, dort auch im Fachbereich Englische Studien unterrichtet und an verschiedenen Veröffentlichungen mitgewirkt. Lily ist Expertin für Englische Literatur, Englische Sprache, Geschichte und Philosophie.
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Gabriel Freitas ist AI Engineer mit solider Erfahrung in Softwareentwicklung, maschinellen Lernalgorithmen und generativer KI, einschließlich Anwendungen großer Sprachmodelle (LLMs). Er hat Elektrotechnik an der Universität von São Paulo studiert und macht aktuell seinen MSc in Computertechnik an der Universität von Campinas mit Schwerpunkt auf maschinellem Lernen. Gabriel hat einen starken Hintergrund in Software-Engineering und hat an Projekten zu Computer Vision, Embedded AI und LLM-Anwendungen gearbeitet.
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