Lerninhalte finden
Lerninhalte finden

Entdecke die besten Lernmaterialien für alle Fächer.

Schule

Studium

Ausbildung
Schulfächer

Abituraufgaben

Biologie

Chinesisch

Chemie

Deutsch

Englisch

Französisch

Geographie

Geschichte

Griechisch

Informatik

Kunst

Latein

Mathe

Politik

Physik

Psychologie

Spanisch

Sport

Wirtschaft

Studium

Archäologie

Architektur

Anthropologie

Biologie

BWL

Chemie

Germanistik

Informatik

Ingenieurwissenschaften

Krankenpflege

Mathematik

Medizin

Physik

Rechtswissenschaften

Umweltwissenschaft

VWL

Ausbildung

Chemie

Medizin

Gastronomie und Tourismus

Gewerbe

Kaufmännische

MFA

Zahnmedizinische Fachangestellte
Über die App
Features

Melde dich kostenfrei an und entdecke alle StudySmarter Funktionen.

Karteikarten

StudySmarter AI

Notizen

Lernplan

Spaced Repetition

Lernsets
Was gibt es Neues?

Karteikarten
Lerne und erstelle Karteikarten wie nie zuvor.

StudySmarter AI
All deine Lernunterlagen an einem Ort gesammelt.

Notizen
Erstelle und bearbeite die schönsten Notizen.

Lernplan
Perfekte Organisation mit Lernplänen und To-Do Listen.
Ressourcen
Entdecke

Alle Tipps und Tricks rund um Studium und Karriere.

Finde einen Job

Studentenrabatte

Ausbildungen

Magazine

Mobile App

Für Unternehmen
Wir präsentieren

Magazine
Hilfreiche Artikel für Studium und Karriere.

Finde einen Job
Die größte Jobbörse für Schüler und Studenten.

StudySmarter Deals
Rabatte für Studenten und Schüler

Mobile App
Alles was du zum Lernen brauchst in einer App.

Zur App

Lerninhalte finden

Features

Entdecke

Matrix Vektor Multiplikation

Los geht’s

+ Add tag
Immunology
Cell Biology
Mo

Entscheide, ob das Matrix Vektor Produkt kommutativ oder nicht kommutativ ist.

Antwort zeigen

+ Add tag
Immunology
Cell Biology
Mo

Nenne das Ergebnis einer Matrix Vektor Multiplikation.

Antwort zeigen

+ Add tag
Immunology
Cell Biology
Mo

Entscheide, welche Rechengesetze für die Matrix Vektor Multiplikation gelten.

Antwort zeigen

+ Add tag
Immunology
Cell Biology
Mo

Entscheide, wie viele Komponenten der Vektor folgender Matrix Vektor Multiplikation hat: $(\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} b_{1} \\ b_{2} \\ b_{3} \end{matrix})$

Antwort zeigen

+ Add tag
Immunology
Cell Biology
Mo

Entscheide, ob das Matrix Vektor Produkt kommutativ oder nicht kommutativ ist.

Antwort zeigen

+ Add tag
Immunology
Cell Biology
Mo

Nenne das Ergebnis einer Matrix Vektor Multiplikation.

Antwort zeigen

+ Add tag
Immunology
Cell Biology
Mo

Entscheide, welche Rechengesetze für die Matrix Vektor Multiplikation gelten.

Antwort zeigen

+ Add tag
Immunology
Cell Biology
Mo

Antwort zeigen

Geprüfter Inhalt
Letzte Aktualisierung: 14.04.2023
9 Minuten Lesezeit

Inhalte erstellt durch
überprüft von
Inhaltsqualität geprüft von

Möchtest Du wissen, wie Du ein Matrix Vektor Produkt bestimmen kannst und welche Schritte Du bei der Berechnung machen musst? In dieser Erklärung findest Du ein Beispiel zur Matrix Vektor Multiplikation, bei dem das Produkt über das Falk-Schema bestimmt wird. Außerdem erfährst Du, warum das Matrix Vektor Produkt nicht kommutativ ist und welche Reihenfolge Du beim Transponieren beachten musst.

Teste dein Wissen mit Multiple-Choice-Karteikarten

1/3

Punktzahl

Greife auf über 700 Millionen Lernmaterialien zu

Lerne effizienter mit Karteikarten

Erziele bessere Noten mit AI

Hast du bereits ein Konto? Logge dich ein

Weiter

Matrix Vektor Produkt

Um das Matrix Vektor Produkt $A \cdot \vec{b}$ aus einer Matrix $A$ und einem Vektor $\vec{b}$ bestimmen zu können, muss die Spaltenanzahl der Matrix $A$ mit der Zahl der Komponenten des Vektors $\vec{b}$ übereinstimmen.

Bevor Du also eine Matrix $A$ und einen Vektor $\vec{b}$ multiplizieren kannst, musst Du zunächst überprüfen, ob sich die beiden überhaupt multiplizieren lassen. Dies ist nur möglich, wenn die Matrix $A$ genauso viele Spalten hat wie der Vektor $\vec{b}$ Komponenten.

$A_{(m, n)} \cdot {\vec{b}}_{(n)} = {\vec{c}}_{(m)}$

Das Ergebnis der Multiplikation $A \cdot \vec{b}$ ist der Vektor $\vec{c}$ mit so vielen Vektorkomponenten, wie die Matrix $A$ Zeilen besitzt.

In den Erklärungen „Matrizen“ und „Matrizenrechnung“ kannst Du alles rund um die Matrix nachlesen.

Wenn die Voraussetzung für das Matrix Vektor Produkt erfüllt ist, kannst Du jetzt das Matrix Vektor Produkt bestimmen.

Matrix Vektor Multiplikation Beispiel – Produkt bestimmen

Das Produkt $A \cdot \vec{b}$ der Matrix Vektor Multiplikation aus der Matrix $A$ und dem Vektor $\vec{b}$ wird wie folgt bestimmt:

$\begin{aligned} (\begin{array}{c} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ a_{m 1} & a_{m 2} & \dots & a_{m n} \end{array}) \cdot (\begin{array}{c} b_{1} \\ b_{2} \\ ⋮ \\ b_{n} \end{array}) = (\begin{array}{c} a_{11} \cdot b_{1} + a_{12} \cdot b_{2} + \dots + a_{1 n} \cdot b_{n} \\ a_{21} \cdot b_{1} + a_{22} \cdot b_{2} + \dots + a_{2 n} \cdot b_{n} \\ ⋮ \\ a_{m 1} \cdot b_{1} + a_{m 2} \cdot b_{2} + \dots + a_{m n} \cdot b_{n} \end{array}) & = (\begin{array}{c} c_{1} \\ c_{2} \\ ⋮ \\ c_{m} \end{array}) \end{aligned}$

Dies führt dazu, dass die Elemente des Vektors $\vec{c}$ über eine Summe gebildet werden, wobei jede Zeile der Matrix $A$ einzeln mit dem Vektor $\vec{b}$ verrechnet wird.

Eine praktische Möglichkeit zur Berechnung des Produkts ist das sogenannte Falk-Schema. Mit diesem Prinzip kannst Du die Matrix Vektor Multiplikation über eine Schritt-für-Schritt-Anleitung durchführen.

Gesucht ist das Matrix Vektor Produkt aus der Matrix $A = (\begin{matrix} 3 & 5 & 9 \\ 3 & 1 & 2 \end{matrix})$ und dem Vektor $\vec{b} = (\begin{matrix} 7 \\ 1 \\ 4 \end{matrix})$ .

Lösung

Die folgende Tabelle zeigt Dir eine Schritt-für-Schritt-Anleitung zur Berechnung des Matrix Vektor Produkts über das Falk-Schema.

Schritte	Erklärung und Rechnung	Grafisch
$1.$ Matrix und Vektor einzeichnen	Kreuz einzeichnen, wobei links unten die Matrix und rechts oben der Vektor eingetragen wird.
$2.$ Ersten Eintrag des Ergebnisvektors berechnen	Erstes Vektorelement berechnen mit der ersten Zeile der Matrix und dem Vektor. $c_{1} = 3 \cdot 7 + 5 \cdot 1 + 9 \cdot 4 = 62$
$3.$ Zweiten Eintrag des Ergebnisvektors berechnen	Zweites Vektorelement analog zum Schritt zuvor bestimmen. $c_{2} = 3 \cdot 7 + 1 \cdot 1 + 2 \cdot 4 = 30$
$4.$ Matrix Vektor Produkt aufschreiben	$\vec{c} = (\begin{matrix} 3 & 5 & 9 \\ 3 & 1 & 2 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 7 \\ 1 \\ 4 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 62 \\ 30 \end{matrix})$

Multiplizierst Du Matrizen und Vektoren, so musst Du einige Rechenregeln beachten.

Matrix Vektor Multiplikation Reihenfolge – Regeln

Die Reihenfolge der Matrix Vektor Multiplikation wird durch einige Rechengesetze beeinflusst. So ist das Matrix Vektor Produkt assoziativ, distributiv, aber nicht kommutativ, vorausgesetzt die Multiplikation ist möglich.

Mit den Matrizen $A$ und $B$ sowie den Vektoren $\vec{u}$ und $\vec{v}$ gilt:

Kein Kommutativgesetz: $A \cdot B \neq B \cdot A$
Assoziativgesetz: $A \cdot (B \cdot \vec{u}) = (A \cdot B) \cdot \vec{u}$
Distributivgesetz: $\begin{array}{r} (A + B) \cdot \vec{u} = A \cdot \vec{u} + B \cdot \vec{u} \\ A \cdot (\vec{u} + \vec{v}) = A \cdot \vec{u} + A \cdot \vec{v} \end{array}$
Transponieren: ${(A \cdot \vec{u})}^{T} = {\vec{u}}^{T} \cdot A^{T}$

Warum die Matrix Vektor Multiplikation nicht kommutativ ist, zeigt Dir das folgende Beispiel.

Bleib immer am Ball mit deinem smarten Lernplan

Kostenlos registrieren

Matrix Vektor Multiplikation nicht kommutativ – Beispiel

Die Matrix Vektor Multiplikation ist nicht kommutativ! Das heißt, die Reihenfolge darf bei der Produktbildung nicht vertauscht werden. Dies kannst Du am besten an einem Beispiel sehen:

Im Abschnitt Matrix Vektor Multiplikation Beispiel hast Du folgendes Matrix Vektor Produkt berechnet:

$\begin{aligned} A \cdot \vec{b} = (\begin{array}{c} 3 & 5 & 9 \\ 3 & 1 & 2 \end{array}) \cdot (\begin{array}{c} 7 \\ 1 \\ 4 \end{array}) & = (\begin{array}{c} 62 \\ 30 \end{array}) \end{aligned}$

Wenn Du nun die Matrix $A$ und Vektor $\vec{b}$ vertauschen würdest, kann das Produkt nicht mehr berechnet werden. Hier stimmt die Spaltenanzahl des Vektors $\vec{b}$ nicht mit der Zeilenanzahl der Matrix $A$ überein.

$\begin{array}{r} \vec{b} \cdot A = (\begin{array}{c} 7 \\ 1 \\ 4 \end{array}) \cdot (\begin{array}{c} 3 & 5 & 9 \\ 3 & 1 & 2 \end{array}) \Rightarrow ungültig \end{array}$

Die Voraussetzung für die Vektor Matrix Multiplikation ist somit nicht mehr erfüllt.

Soll das Matrix Vektor Produkt transponiert werden, musst Du ebenfalls auf die Reihenfolge achten. Sieh Dir dazu die folgende Vertiefung an!

Matrix Vektor Produkt transponiert – Beispiel

Das Matrix Vektor Produkt wird transponiert, indem entweder das Produkt erst nach der Multiplikation transponiert wird, oder die Matrix und der Vektor zuerst transponiert und anschließend multipliziert werden. Dabei wird aber die Reihenfolge vertauscht, da gilt:

${(A \cdot \vec{u})}^{T} = {\vec{u}}^{T} \cdot A^{T}$

Gesucht ist das transponierte Matrix Vektor Produkt ${(A \cdot \vec{b})}^{T}$ . Wird erst multipliziert und dann transponiert, erhältst Du:

${((\begin{matrix} 3 & 5 & 9 \\ 3 & 1 & 2 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 7 \\ 1 \\ 4 \end{matrix}))}^{T} = {(\begin{matrix} 62 \\ 30 \end{matrix})}^{T} = (\begin{matrix} 62 & 30 \end{matrix})$

Alternativ können auch die Matrix und der Vektor zuerst transponiert und dann multipliziert werden, indem der Vektor $\vec{b}$ und die Matrix $A$ vertauscht werden.

$\begin{aligned} {(\begin{array}{c} 7 \\ 1 \\ 4 \end{array})}^{T} \cdot {(\begin{array}{c} 3 & 5 & 9 \\ 3 & 1 & 2 \end{array})}^{T} & = \\ (\begin{array}{c} 7 & 1 & 4 \end{array}) \cdot (\begin{array}{c} 3 & 3 \\ 5 & 1 \\ 9 & 2 \end{array}) & = (\begin{array}{c} 62 & 30 \end{array}) \end{aligned}$

Noch mehr Übungsaufgaben zur Matrix Vektor Multiplikation findest Du in den zugehörigen Karteikarten.

Matrix Vektor Multiplikation – Das Wichtigste

Um das Matrix Vektor Produkt $A \cdot \vec{b}$ aus einer Matrix $A$ und einem Vektor $\vec{b}$ bestimmen zu können, muss die Spaltenanzahl der Matrix $A$ mit der Zahl der Komponenten des Vektors $\vec{b}$ übereinstimmen. $A_{(m, n)} \cdot {\vec{b}}_{(n)} = {\vec{c}}_{(m)}$
Das Ergebnis der Multiplikation $A \cdot \vec{b}$ ist der Vektor $\vec{c}$ mit so vielen Vektorkomponenten, wie die Matrix $A$ Zeilen besitzt.
Um das Produkt zu bestimmen, bietet das Falk-Schema eine praktische Berechnungsmöglichkeit.
Für die Reihenfolge gelten bei der Multiplikation Matrizen $A$ und $B$ sowie den Vektoren $\vec{u}$ und $\vec{v}$ folgende Rechenregeln:
- Kein Kommutativgesetz: $A \cdot B \neq B \cdot A$
- Assoziativgesetz: $A \cdot (B \cdot \vec{u}) = (A \cdot B) \cdot \vec{u}$
- Distributivgesetz: $(A + B) \cdot \vec{u} = A \cdot \vec{u} + B \cdot \vec{u} A \cdot (\vec{u} + \vec{v}) = A \cdot \vec{u} + A \cdot \vec{v}$
- Transponieren: ${(A \cdot \vec{u})}^{T} = {\vec{u}}^{T} \cdot A^{T}$

Nachweise

Kirchgessner; Schreck (2012). Vektor- und Matrizenrechnung Für Dummies: Willkommen in der Matrix. Wiley-VCH GmbH.
Adamy; Voigt (2007). Formelsammlung der Matrizenrechnung. Oldenbourg Wissenschaftsverlag.

Karteikarten in Matrix Vektor Multiplikation 4

Lerne jetzt

Entscheide, ob das Matrix Vektor Produkt kommutativ oder nicht kommutativ ist.

nicht kommutativ.

Nenne das Ergebnis einer Matrix Vektor Multiplikation.

Vektor

Entscheide, welche Rechengesetze für die Matrix Vektor Multiplikation gelten.

Assoziativgesetz

Entscheide, wie viele Komponenten der Vektor folgender Matrix Vektor Multiplikation hat:

$(\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} b_{1} \\ b_{2} \\ b_{3} \end{matrix})$

$3$

Mit E-Mail registrieren

Du hast bereits ein Konto? Anmelden

Häufig gestellte Fragen zum Thema Matrix Vektor Multiplikation

Kann eine Matrix mit einem Vektor multipliziert werden?

Eine Matrix kann nur mit einem Vektor multipliziert werden, wenn die Spaltenanzahl der Matrix mit der Zahl der Komponenten des Vektors übereinstimmt.

Wie wird ein Vektor mit einer Matrix multipliziert?

Kann eine Matrix mit einem Vektor multipliziert werden, so werden die Elemente des Ergebnisvektors über eine Summe gebildet, wobei jede Zeile der Matrix einzeln mit dem Vektor verrechnet wird. Das Falk-Schema bietet eine praktische Berechnungsmöglichkeit.

Ist die Matrix Vektor Multiplikation kommutativ?

Nein, die Vektor Matrix Multiplikation ist nicht kommutativ. Die Reihenfolge bei der Multiplikation ist entscheidend.

Ist ein Vektor eine Matrix in Mathe?

Ein Vektor ist eine spezielle Matrix mit einer Spalte (Spaltenvektor) oder einer Zeile (Zeilenvektor).

Erklärung speichern

Entdecke Lernmaterialien mit der kostenlosen StudySmarter App

Kostenlos anmelden

Über StudySmarter

StudySmarter ist ein weltweit anerkanntes Bildungstechnologie-Unternehmen, das eine ganzheitliche Lernplattform für Schüler und Studenten aller Altersstufen und Bildungsniveaus bietet. Unsere Plattform unterstützt das Lernen in einer breiten Palette von Fächern, einschließlich MINT, Sozialwissenschaften und Sprachen, und hilft den Schülern auch, weltweit verschiedene Tests und Prüfungen wie GCSE, A Level, SAT, ACT, Abitur und mehr erfolgreich zu meistern. Wir bieten eine umfangreiche Bibliothek von Lernmaterialien, einschließlich interaktiver Karteikarten, umfassender Lehrbuchlösungen und detaillierter Erklärungen. Die fortschrittliche Technologie und Werkzeuge, die wir zur Verfügung stellen, helfen Schülern, ihre eigenen Lernmaterialien zu erstellen. Die Inhalte von StudySmarter sind nicht nur von Experten geprüft, sondern werden auch regelmäßig aktualisiert, um Genauigkeit und Relevanz zu gewährleisten.

Erfahre mehr