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Wie lassen sich zwei Matrizen multiplizieren und welche Regeln musst Du dabei beachten? Hier findest Du eine Erklärung zum Matrizen multiplizieren, Beispiele zur Multiplikation von quadratischen Matrizen \(2\times2\) und \(3\times3\) und ebenso von drei Matrizen. Am Ende dieser Erklärung findest Du noch Aufgaben zum Üben.
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Leg kostenfrei losGib an, welchen Typ die Produktmatrix \(E\) besitzt, wenn das Produkt\[E_{(m,\,n)}=(A_{(4,\,2)}\cdot B_{(2,\,3)})\cdot D_{(3,\,1)}\] berechnet wird.
Beurteile, ob das Produkt \((A\cdot D)\cdot B\) gebildet werden kann.\begin{align} A=\left(\begin{array}{ccc} 2&-4&3\\2&3&-1\\ \end{array}\right) ; B=\left(\begin{array}{cc} 4&3\\-2&5\\1&2\end{array}\right) ; D=\left(\begin{array}{cc} 2&7\\3&-1\end{array}\right) \end{align}
Beurteile, ob das Produkt \((A\cdot B)\cdot D\) gebildet werden kann.\begin{align} A=\left(\begin{array}{ccc} 2&-4&3\\2&3&-1\\ \end{array}\right) ; B=\left(\begin{array}{cc} 4&3\\-2&5\\1&2\end{array}\right) ; D=\left(\begin{array}{cc} 2&7\\3&-1\end{array}\right) \end{align}
Entscheide, welchen Typ die Matrix \(A\) besitzen muss bei folgender Multiplikation.\[A_{(m,\,n)}\,\cdot\,B_{(1,\,4)}\,=\,C_{(3,\,4)}\]
Entscheide, welchen Typ die Produktmatrix \(C\) bei einer Multiplikationeiner \((4,\,3)\)-Matrix \(A\) mit einer \((3,\,2)\)-Matrix \(B\) hat.
Gib an, welchen Typ die Produktmatrix \(E\) besitzt, wenn das Produkt\[E_{(m,\,n)}=(A_{(4,\,2)}\cdot B_{(2,\,3)})\cdot D_{(3,\,1)}\] berechnet wird.
Beurteile, ob das Produkt \((A\cdot D)\cdot B\) gebildet werden kann.\begin{align} A=\left(\begin{array}{ccc} 2&-4&3\\2&3&-1\\ \end{array}\right) ; B=\left(\begin{array}{cc} 4&3\\-2&5\\1&2\end{array}\right) ; D=\left(\begin{array}{cc} 2&7\\3&-1\end{array}\right) \end{align}
Beurteile, ob das Produkt \((A\cdot B)\cdot D\) gebildet werden kann.\begin{align} A=\left(\begin{array}{ccc} 2&-4&3\\2&3&-1\\ \end{array}\right) ; B=\left(\begin{array}{cc} 4&3\\-2&5\\1&2\end{array}\right) ; D=\left(\begin{array}{cc} 2&7\\3&-1\end{array}\right) \end{align}
Entscheide, welchen Typ die Matrix \(A\) besitzen muss bei folgender Multiplikation.\[A_{(m,\,n)}\,\cdot\,B_{(1,\,4)}\,=\,C_{(3,\,4)}\]
Entscheide, welchen Typ die Produktmatrix \(C\) bei einer Multiplikationeiner \((4,\,3)\)-Matrix \(A\) mit einer \((3,\,2)\)-Matrix \(B\) hat.
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Team Matrizen multiplizieren Lehrer
In der Erklärung „Matrizen“ kannst Du alles rund um die Matrix nachlesen.
Um zwei Matrizen \(A\) und \(B\) multiplizieren zu können und das Produkt \(A\cdot B\) zu bilden, muss die Spaltenanzahl der Matrix \(A\) mit der Zeilenanzahl der Matrix \(B\) übereinstimmen.
Bevor Du also zwei Matrizen \(A\) und \(B\) multiplizieren kannst, musst Du zunächst überprüfen, ob sich die beiden Matrizen überhaupt multiplizieren lassen. Dies ist nur möglich, wenn die erste Matrix \(A\) genauso viele Spalten hat wie die zweite Matrix \(B\) Zeilen.
\[A_{(m,\,{\color{#FA3273}n})}\,\cdot\,B_{({\color{#FA3273}n},\,p)}\,=\,C_{(m,\,p)}\]
Das Ergebnis der Multiplikation \(A\cdot B\) ist die Produktmatrix bzw. das Matrizenprodukt \(C\).
Und wie kannst Du nun die zwei Matrizen \(A\) und \(B\) multiplizieren?
Zwei Matrizen \(A\) und \(B\) können multipliziert werden, indem das sogenannte Falk-Schema angewandt wird. Dies führt dazu, dass die Elemente \(c_{kl}\) der Produktmatrix \(C=A\cdot B\) über die Summe \[c_{kl}=\sum\limits_{i=1}^{n}a_{ki}\cdot b_{il}\] gebildet werden, mit der \(k\)-ten Zeile der Matrix \(A\) und der \(l\)-ten Spalte der Matrix \(B\).
Das Produkt \(A\cdot B\) der beiden Matrizen \(A\) und \(B\) soll berechnet werden.
\[A={\color{#1478C8}\left(\begin{array}{ccc} -1&-2&3\\5&1&2\end{array}\right)} \hspace{1cm} B={\color{#00DCB4}\left(\begin{array}{cc} 3&3\\1&-2\\4&3\end{array}\right)}\]
Lösung
Zur Berechnung des Produkts \(A\cdot B\) kannst Du Dich an folgender Schritt-für-Schritt-Anleitung orientieren.
| Falk-Schema | Anwendung am Beispiel |
| \(1.\) Matrizen \(A\) und \(B\) in ein Kreuz-Schema eingetragen | \[\begin{array}{ccc|cc}&&&{\color{#00DCB4}3}&{\color{#00DCB4}3}\\[0.1cm]&&&{\color{#00DCB4}1}&{\color{#00DCB4}-2}\\[0.1cm]&&&{\color{#00DCB4}4}&{\color{#00DCB4}3}\\[0.1cm]\hline {\color{#1478C8}-1}&{\color{#1478C8}-2}&{\color{#1478C8}3}&{\color{#FA3273}c_{11}}&{\color{#FA3273}c_{12}}\\{\color{#1478C8}5}&{\color{#1478C8}1}&{\color{#1478C8}2}&{\color{#FA3273}c_{21}}&{\color{#FA3273}c_{22}}\end{array}\] |
| \(2.\) Skalarprodukt aus Zeilenvektor von \(A\) und dem Spaltenvektor von \(B\) bilden | \[\begin{array}{ccc|cc}&&&{\color{#FFCD00}3}&3\\[0.1cm]&&&{\color{#FFCD00}1}&-2\\[0.1cm]&&&{\color{#FFCD00}4}&3\\[0.1cm]\hline {\color{#8363E2}-1}&{\color{#8363E2}-2}&{\color{#8363E2}3}&{\color{#FA3273}c_{11}}&c_{12}\\5&1&2&c_{21}&c_{22}\end{array}\] \[{\color{#FA3273}c_{11}}={\color{#8363E2}(-1)}\cdot{\color{#FFCD00}3}+{\color{#8363E2}(-2)}\cdot{\color{#FFCD00}1}+{\color{#8363E2}3} \cdot{\color{#FFCD00}4}={\color{#FA3273}7}\] |
| \(3.\) Verfahren für alle anderen Elemente der Produktmatrix \(C\) anwenden | \[\begin{array}{ccc|cc}&&&3&{\color{#FFCD00}3}\\[0.1cm]&&&1&{\color{#FFCD00}-2}\\[0.1cm]&&&4&{\color{#FFCD00}3}\\[0.1cm]\hline {\color{#8363E2}-1}&{\color{#8363E2}-2}&{\color{#8363E2}3}&c_{11}&{\color{#FA3273}c_{12}}\\5&1&2&c_{21}&c_{22}\end{array}\] \[{\color{#FA3273}c_{12}}=(-1)\cdot 3+(-2)\cdot (-2)+3\cdot 3={\color{#FA3273}10}\] |
\[\begin{array}{ccc|cc}&&&{\color{#FFCD00}3}&3\\[0.1cm]&&&{\color{#FFCD00}1}&-2\\[0.1cm]&&&{\color{#FFCD00}4}&3\\[0.1cm]\hline -1&-2&3&c_{11}&c_{12}\\{\color{#8363E2}5}&{\color{#8363E2}1}&{\color{#8363E2}2}&{\color{#FA3273}c_{21}}&c_{22}\end{array}\] \[{\color{#FA3273}c_{21}}=5\cdot 3+1\cdot 1+2\cdot 4={\color{#FA3273}24}\] | |
\[\begin{array}{ccc|cc}&&&3&{\color{#FFCD00}3}\\[0.1cm]&&&1&{\color{#FFCD00}-2}\\[0.1cm]&&&4&{\color{#FFCD00}3}\\[0.1cm]\hline -1&-2&3&c_{11}&c_{12}\\{\color{#8363E2}5}&{\color{#8363E2}1}&{\color{#8363E2}2}&c_{21}&{\color{#FA3273}c_{22}}\end{array}\] \[{\color{#FA3273}c_{22}}=5\cdot 3+ 1\cdot (-2)+2\cdot 3={\color{#FA3273}19}\] |
Damit ergibt sich aus der Multiplikation \(A\cdot B\) die Produktmatrix \(C=\left(\begin{array}{cc}7&10\\24&19\end{array}\right)\).
Multiplizierst Du zwei oder mehr Matrizen miteinander, so musst Du einige Regeln beachten.
Werden zwei oder mehr Matrizen miteinander multipliziert, so muss zunächst überprüft werden, ob die Spaltenanzahl der ersten Matrix mit der Zeilenanzahl der zweiten Matrix übereinstimmt. Unter Beachtung der Rechenregeln können die Matrizen dann über das Falk-Schema multipliziert werden.
Voraussetzung für die Rechenregeln ist, dass die Matrizenmultiplikation überhaupt möglich ist (Spaltenanzahl und Zeilenanzahl der Matrizen beachten).
Diese Regeln kannst Du direkt beim Multiplizieren von drei Matrizen anwenden.
Werden drei Matrizen \(A\), \(B\) und \(D\) miteinander multipliziert, so gilt das Assoziativgesetz, wenn die Matrizentypen zueinanderpassen. Für quadratische Matrizen ist diese Bedingung erfüllt.
Multipliziere die drei Matrizen \(A\), \(B\) und \(D\) in dieser Reihenfolge miteinander.
\[{\color{#1478C8}A=\left(\begin{array}{cc} 3&4\\3&1\\ \end{array}\right)}\hspace{1cm}{\color{#00DCB4}B=\left(\begin{array}{cc} 4&1\\2&-4\end{array}\right)}\hspace{1cm} {\color{#FFCD00}D=\left(\begin{array}{cc} 2&1\\3&-1\end{array}\right)}\]
Lösung
Die drei Matrizen werden multipliziert, indem zunächst das Produkt \(A\cdot B\) multipliziert und dieses anschließend mit der Matrix \(D\) verrechnet wird.
| Falk-Schema | Anwendung am Beispiel |
| \[\begin{array}{cc|cc}&&{\color{#00DCB4}4}&{\color{#00DCB4}1}\\[0.1cm]&&{\color{#00DCB4}2}&{\color{#00DCB4}-4}\\[0.1cm]\hline{\color{#1478C8}3}&{\color{#1478C8}4}&{\color{#FA3273}20}&{\color{#FA3273}-13}\\{\color{#1478C8}3}&{\color{#1478C8}1}&{\color{#FA3273}14}&{\color{#FA3273}-1}\end{array}\] mit \begin{align}c_{11}&=3\cdot4+4\cdot2=20\\[0.1cm]c_{12}&=3\cdot 1+4\cdot (-4)=-13\\[0.1cm]c_{21}&=3\cdot 4 +1\cdot 2=14\\[0.1cm]c_{22}&=3\cdot 1+ 1\cdot (-4)=-1\end{align} |
| \[\begin{array}{cc|cc}&&{\color{#FFCD00}2}&{\color{#FFCD00}1}\\[0.1cm]&&{\color{#FFCD00}3}&{\color{#FFCD00}-1}\\[0.1cm]\hline{\color{#FA3273}20}&{\color{#FA3273}-13}&1&33\\{\color{#FA3273}14}&{\color{#FA3273}-1}&25&15\end{array}\] mit \begin{align}e_{11}&=20\cdot 2+(-13)\cdot 3=1\\[0.1cm]e_{12}&=20\cdot 1+(-13)\cdot (-1)=33\\[0.1cm]e_{21}&=14\cdot 2 +(-1)\cdot 3=25\\[0.1cm]e_{22}&=14\cdot 1+ (-1)\cdot (-1)=15\end{align} |
Damit ergibt sich aus der Multiplikation \(A\cdot B \cdot D\) die Produktmatrix \(E=\left(\begin{array}{cc}1&33\\25&15\end{array}\right)\).
Hast Du Lust, Dein Wissen zum Matrizen multiplizieren an Übungsaufgaben zu testen? Dann auf zum nächsten Kapitel!
Matrizen multiplizieren kannst Du in Aufgaben erst, wenn die Spaltenanzahl der ersten Matrix mit der Zeilenanzahl der zweiten Matrix übereinstimmt.
Eine \((3\times3)\)-Matrix ist eine quadratische Matrix mit \(3\) Zeilen und \(3\) Spalten. Die Multiplikation zweier solcher quadratischer Matrizen kannst Du jetzt üben.
Aufgabe 1
Multipliziere die \((3\times3)\)-Matrizen \(A\) und \(B\).
\[ A=\left(\begin{array}{ccc} 2&3&-1\\5&1&2\\1&3&3 \end{array}\right) \hspace{1cm} B=\left(\begin{array}{ccc} 4&2&1\\2&2&1\\-3&4&5 \end{array}\right)\]
Lösung
Die Berechnung erfolgt über das Falk-Schema mit:
\begin{align}c_{11}&=2\cdot 4+3\cdot 2+(-1)\cdot (-3)=17\\[0.1cm]c_{12}&=2\cdot 2+3\cdot 2+(-1)\cdot 4=6\\[0.1cm]c_{13}&=2\cdot 1+3\cdot 1+(-1)\cdot 5=0\\[0.1cm]c_{21}&=5\cdot 4+1\cdot 2+2\cdot (-3)=16\\[0.1cm]c_{22}&=5\cdot 2+1\cdot 2+2\cdot 4=20\\[0.1cm]c_{23}&=5\cdot 1+1\cdot 1+2\cdot 5=16\\[0.1cm]c_{31}&=1\cdot 4+3\cdot 2+3\cdot (-3)=1\\[0.1cm]c_{32}&=1\cdot 2+3\cdot 2+3\cdot 4=20\\[0.1cm]c_{33}&=1\cdot 1+3\cdot 1+3\cdot 5=19\end{align}
Das Produkt aus \(A\cdot B\) ergibt demnach:
\[ C=A\cdot B=\left( \begin{array}{ccc} 17&6&0\\16&20&16\\1&20&19 \end{array}\right) \]
Eine symmetrische Matrix besitzt Matrixelemente, die an der Hauptdiagonalen gespielt sind. Somit sind symmetrische Matrizen spezielle quadratische Matrizen.
Aufgabe 2
Multipliziere die beiden symmetrischen Matrizen \(A\) und \(B\).
\[ A\cdot B= \left(\begin{array}{ccc} 0&2&1 \\ 2&0&3 \\ 1&3&0 \end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{ccc} 1&3&-2\\ 3&1&2 \\-2&2&1 \end{array}\right)\]
Lösung
Die Berechnung erfolgt über das Falk-Schema mit:\begin{align}c_{11}&=0\cdot 1+2\cdot 3+1\cdot (-2)=4\\[0.1cm]c_{12}&=0\cdot 3+2\cdot 1+1\cdot 2=4\\[0.1cm]c_{13}&=0\cdot (-2)+2\cdot 2+1\cdot 1=5\\[0.1cm]c_{21}&=2\cdot 1+0\cdot 3+3\cdot (-2)=-4\\[0.1cm]c_{22}&=2\cdot 3+0\cdot 1+3\cdot 2=12\\[0.1cm]c_{23}&=2\cdot (-2)+0\cdot 2+3\cdot 1=-1\\[0.1cm]c_{31}&=1\cdot 1+3\cdot 3+0\cdot (-2)=10\\[0.1cm]c_{32}&=1\cdot 3+3\cdot 1+0\cdot 2=6\\[0.1cm]c_{33}&=1\cdot (-2)+3\cdot 2+0\cdot 1=4\end{align}
Das Produkt aus \(A\cdot B\) ergibt demnach:
\[ C=A\cdot B=\left( \begin{array}{ccc} 4&4&5\\-4&12&-1\\10&6&4 \end{array}\right) \]
In den zugehörigen Karteikarten findest Du noch mehr Übungsaufgaben zur Multiplikation von Matrizen.
Assoziativgesetz: \( ({\color{#1478c8}A} \cdot {\color{#00dcb4}B}) \cdot {\color{#fa3273}C} = {\color{#1478c8}A} \cdot ( {\color{#00dcb4}B} \cdot {\color{#fa3273}C} )\)
Distributivgestz: \( {\color{#1478c8}A} \cdot ( {\color{#00dcb4}B} + {\color{#fa3273}C} )= {\color{#1478c8}A} \cdot {\color{#00dcb4}B} + {\color{#1478c8}A} \cdot {\color{#fa3273}C} \)
Transponierte: \(({\color{#1478c8}A}\cdot{\color{#00dcb4}B})^T = {\color{#00dcb4}B}^T \cdot {\color{#1478c8}A}^T\)
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Wie werden zwei Matrizen multipliziert?
Zwei Matrizen A und B lassen sich zur Produktmatrix A•B multiplizieren, wenn die Spaltenanzahl der Matrix A mit der Zeilenanzahl der Matrix B übereinstimmt. Die Multiplikation erfolgt beispielsweise über das Falk-Schema.
Welche Matrizen kannst Du multiplizieren?
Zwei Matrizen A und B lassen sich zur Produktmatrix A•B multiplizieren, wenn die Spaltenanzahl der Matrix A mit der Zeilenanzahl der Matrix B übereinstimmt.
Welche Matrizen kannst Du nicht multiplizieren?
Zwei Matrizen A und B lassen sich nicht zur Produktmatrix A•B multiplizieren, wenn die Spaltenanzahl der Matrix A mit der Zeilenanzahl der Matrix B nicht übereinstimmt.
Kannst Du drei Matrizen multiplizieren?
Drei Matrizen können multipliziert werden, wenn die Voraussetzung zur Multiplikation von Matrizen erfüllt ist. Außerdem gilt das Assoziativgesetz.
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Lily Hulatt ist Digital Content Specialist mit über drei Jahren Erfahrung in Content-Strategie und Curriculum-Design. Sie hat 2022 ihren Doktortitel in Englischer Literatur an der Durham University erhalten, dort auch im Fachbereich Englische Studien unterrichtet und an verschiedenen Veröffentlichungen mitgewirkt. Lily ist Expertin für Englische Literatur, Englische Sprache, Geschichte und Philosophie.
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Gabriel Freitas ist AI Engineer mit solider Erfahrung in Softwareentwicklung, maschinellen Lernalgorithmen und generativer KI, einschließlich Anwendungen großer Sprachmodelle (LLMs). Er hat Elektrotechnik an der Universität von São Paulo studiert und macht aktuell seinen MSc in Computertechnik an der Universität von Campinas mit Schwerpunkt auf maschinellem Lernen. Gabriel hat einen starken Hintergrund in Software-Engineering und hat an Projekten zu Computer Vision, Embedded AI und LLM-Anwendungen gearbeitet.
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