Lerninhalte finden
Lerninhalte finden

Entdecke die besten Lernmaterialien für alle Fächer.

Schule

Studium

Ausbildung
Schulfächer

Abituraufgaben

Biologie

Chinesisch

Chemie

Deutsch

Englisch

Französisch

Geographie

Geschichte

Griechisch

Informatik

Kunst

Latein

Mathe

Politik

Physik

Psychologie

Spanisch

Sport

Wirtschaft

Studium

Archäologie

Architektur

Anthropologie

Biologie

BWL

Chemie

Germanistik

Informatik

Ingenieurwissenschaften

Krankenpflege

Mathematik

Medizin

Physik

Rechtswissenschaften

Umweltwissenschaft

VWL

Ausbildung

Chemie

Medizin

Gastronomie und Tourismus

Gewerbe

Kaufmännische

MFA

Zahnmedizinische Fachangestellte
Über die App
Features

Melde dich kostenfrei an und entdecke alle StudySmarter Funktionen.

Karteikarten

StudySmarter AI

Notizen

Lernplan

Spaced Repetition

Lernsets
Was gibt es Neues?

Karteikarten
Lerne und erstelle Karteikarten wie nie zuvor.

StudySmarter AI
All deine Lernunterlagen an einem Ort gesammelt.

Notizen
Erstelle und bearbeite die schönsten Notizen.

Lernplan
Perfekte Organisation mit Lernplänen und To-Do Listen.
Ressourcen
Entdecke

Alle Tipps und Tricks rund um Studium und Karriere.

Finde einen Job

Studentenrabatte

Ausbildungen

Magazine

Mobile App

Für Unternehmen
Wir präsentieren

Magazine
Hilfreiche Artikel für Studium und Karriere.

Finde einen Job
Die größte Jobbörse für Schüler und Studenten.

StudySmarter Deals
Rabatte für Studenten und Schüler

Mobile App
Alles was du zum Lernen brauchst in einer App.

Lerninhalte finden

Features

Entdecke

Matrizen multiplizieren

Q: Welche Matrizen kannst Du nicht multiplizieren?

Zwei Matrizen A und B lassen sich nicht zur Produktmatrix A•B multiplizieren, wenn die Spaltenanzahl der Matrix A mit der Zeilenanzahl der Matrix B nicht übereinstimmt.

Wie lassen sich zwei Matrizen multiplizieren und welche Regeln musst Du dabei beachten? Hier findest Du eine Erklärung zum Matrizen multiplizieren, Beispiele zur Multiplikation von quadratischen Matrizen $2 \times 2$ und $3 \times 3$ und ebenso von drei Matrizen. Am Ende dieser Erklärung findest Du noch Aufgaben zum Üben.

Los geht’s

+ Add tag
Immunology
Cell Biology
Mo

Gib an, welchen Typ die Produktmatrix $E$ besitzt, wenn das Produkt $E_{(m, n)} = (A_{(4, 2)} \cdot B_{(2, 3)}) \cdot D_{(3, 1)}$ berechnet wird.

Antwort zeigen

+ Add tag
Immunology
Cell Biology
Mo

Beurteile, ob das Produkt $(A \cdot D) \cdot B$ gebildet werden kann. $\begin{array}{r} A = (\begin{array}{ccc} 2 & - 4 & 3 \\ 2 & 3 & - 1 \end{array}); B = (\begin{array}{cc} 4 & 3 \\ - 2 & 5 \\ 1 & 2 \end{array}); D = (\begin{array}{cc} 2 & 7 \\ 3 & - 1 \end{array}) \end{array}$

Antwort zeigen

+ Add tag
Immunology
Cell Biology
Mo

Beurteile, ob das Produkt $(A \cdot B) \cdot D$ gebildet werden kann. $\begin{array}{r} A = (\begin{array}{ccc} 2 & - 4 & 3 \\ 2 & 3 & - 1 \end{array}); B = (\begin{array}{cc} 4 & 3 \\ - 2 & 5 \\ 1 & 2 \end{array}); D = (\begin{array}{cc} 2 & 7 \\ 3 & - 1 \end{array}) \end{array}$

Antwort zeigen

+ Add tag
Immunology
Cell Biology
Mo

Entscheide, welchen Typ die Matrix $A$ besitzen muss bei folgender Multiplikation. $A_{(m, n)} \cdot B_{(1, 4)} = C_{(3, 4)}$

Antwort zeigen

+ Add tag
Immunology
Cell Biology
Mo

Entscheide, welchen Typ die Produktmatrix $C$ bei einer Multiplikationeiner $(4, 3)$ -Matrix $A$ mit einer $(3, 2)$ -Matrix $B$ hat.

Antwort zeigen

+ Add tag
Immunology
Cell Biology
Mo

Antwort zeigen

+ Add tag
Immunology
Cell Biology
Mo

Antwort zeigen

+ Add tag
Immunology
Cell Biology
Mo

Entscheide, welchen Typ die Matrix $A$ besitzen muss bei folgender Multiplikation. $A_{(m, n)} \cdot B_{(1, 4)} = C_{(3, 4)}$

Antwort zeigen

+ Add tag
Immunology
Cell Biology
Mo

Entscheide, welchen Typ die Produktmatrix $C$ bei einer Multiplikationeiner $(4, 3)$ -Matrix $A$ mit einer $(3, 2)$ -Matrix $B$ hat.

Antwort zeigen

+ Add tag
Immunology
Cell Biology
Mo

Gib an, welchen Typ die Produktmatrix $E$ besitzt, wenn das Produkt $E_{(m, n)} = (A_{(4, 2)} \cdot B_{(2, 3)}) \cdot D_{(3, 1)}$ berechnet wird.

Antwort zeigen

Geprüfter Inhalt
Letzte Aktualisierung: 17.01.2023
10 Minuten Lesezeit

Inhalte erstellt durch
überprüft von
Inhaltsqualität geprüft von

In der Erklärung „Matrizen“ kannst Du alles rund um die Matrix nachlesen.

Teste dein Wissen mit Multiple-Choice-Karteikarten

1/3

Punktzahl

Greife auf über 700 Millionen Lernmaterialien zu

Lerne effizienter mit Karteikarten

Erziele bessere Noten mit AI

Hast du bereits ein Konto? Logge dich ein

Weiter

Matrizen multiplizieren – Erklärung

Um zwei Matrizen $A$ und $B$ multiplizieren zu können und das Produkt $A \cdot B$ zu bilden, muss die Spaltenanzahl der Matrix $A$ mit der Zeilenanzahl der Matrix $B$ übereinstimmen.

Bevor Du also zwei Matrizen $A$ und $B$ multiplizieren kannst, musst Du zunächst überprüfen, ob sich die beiden Matrizen überhaupt multiplizieren lassen. Dies ist nur möglich, wenn die erste Matrix $A$ genauso viele Spalten hat wie die zweite Matrix $B$ Zeilen.

$A_{(m, n)} \cdot B_{(n, p)} = C_{(m, p)}$

Das Ergebnis der Multiplikation $A \cdot B$ ist die Produktmatrix bzw. das Matrizenprodukt $C$ .

Und wie kannst Du nun die zwei Matrizen $A$ und $B$ multiplizieren?

Matrizen multiplizieren Beispiel – Falk Schema

Zwei Matrizen $A$ und $B$ können multipliziert werden, indem das sogenannte Falk-Schema angewandt wird. Dies führt dazu, dass die Elemente $c_{k l}$ der Produktmatrix $C = A \cdot B$ über die Summe $c_{k l} = \sum_{i = 1}^{n} a_{k i} \cdot b_{i l}$ gebildet werden, mit der $k$ -ten Zeile der Matrix $A$ und der $l$ -ten Spalte der Matrix $B$ .

Das Produkt $A \cdot B$ der beiden Matrizen $A$ und $B$ soll berechnet werden.

$A = (\begin{array}{ccc} - 1 & - 2 & 3 \\ 5 & 1 & 2 \end{array}) B = (\begin{array}{cc} 3 & 3 \\ 1 & - 2 \\ 4 & 3 \end{array})$

Lösung

Zur Berechnung des Produkts $A \cdot B$ kannst Du Dich an folgender Schritt-für-Schritt-Anleitung orientieren.

Falk-Schema	Anwendung am Beispiel
$1.$ Matrizen $A$ und $B$ in ein Kreuz-Schema eingetragen	$\begin{array}{ccccc} 3 & 3 \\ 1 & - 2 \\ 4 & 3 \\ - 1 & - 2 & 3 & c_{11} & c_{12} \\ 5 & 1 & 2 & c_{21} & c_{22} \end{array}$
$2.$ Skalarprodukt aus Zeilenvektor von $A$ und dem Spaltenvektor von $B$ bilden	$\begin{array}{ccccc} 3 & 3 \\ 1 & - 2 \\ 4 & 3 \\ - 1 & - 2 & 3 & c_{11} & c_{12} \\ 5 & 1 & 2 & c_{21} & c_{22} \end{array}$ $c_{11} = (- 1) \cdot 3 + (- 2) \cdot 1 + 3 \cdot 4 = 7$
$3.$ Verfahren für alle anderen Elemente der Produktmatrix $C$ anwenden	$\begin{array}{ccccc} 3 & 3 \\ 1 & - 2 \\ 4 & 3 \\ - 1 & - 2 & 3 & c_{11} & c_{12} \\ 5 & 1 & 2 & c_{21} & c_{22} \end{array}$ $c_{12} = (- 1) \cdot 3 + (- 2) \cdot (- 2) + 3 \cdot 3 = 10$
	$\begin{array}{ccccc} 3 & 3 \\ 1 & - 2 \\ 4 & 3 \\ - 1 & - 2 & 3 & c_{11} & c_{12} \\ 5 & 1 & 2 & c_{21} & c_{22} \end{array}$ $c_{21} = 5 \cdot 3 + 1 \cdot 1 + 2 \cdot 4 = 24$
	$\begin{array}{ccccc} 3 & 3 \\ 1 & - 2 \\ 4 & 3 \\ - 1 & - 2 & 3 & c_{11} & c_{12} \\ 5 & 1 & 2 & c_{21} & c_{22} \end{array}$ $c_{22} = 5 \cdot 3 + 1 \cdot (- 2) + 2 \cdot 3 = 19$

Damit ergibt sich aus der Multiplikation $A \cdot B$ die Produktmatrix $C = (\begin{array}{cc} 7 & 10 \\ 24 & 19 \end{array})$ .

Multiplizierst Du zwei oder mehr Matrizen miteinander, so musst Du einige Regeln beachten.

Matrizen multiplizieren – Regeln

Werden zwei oder mehr Matrizen miteinander multipliziert, so muss zunächst überprüft werden, ob die Spaltenanzahl der ersten Matrix mit der Zeilenanzahl der zweiten Matrix übereinstimmt. Unter Beachtung der Rechenregeln können die Matrizen dann über das Falk-Schema multipliziert werden.

Kein Kommutativgesetz: $A \cdot B \neq B \cdot A$ (außer $A \cdot E = E \cdot A = A$ mit Einheitsmatrix $E$ )
Assoziativgesetz: $(A \cdot B) \cdot C = A \cdot (B \cdot C)$
Distributivgestz: $A \cdot (B + C) = A \cdot B + A \cdot C$
Transponierte: $(A \cdot B)^{T} = B^{T} \cdot A^{T}$

Voraussetzung für die Rechenregeln ist, dass die Matrizenmultiplikation überhaupt möglich ist (Spaltenanzahl und Zeilenanzahl der Matrizen beachten).

Diese Regeln kannst Du direkt beim Multiplizieren von drei Matrizen anwenden.

3 Matrizen multiplizieren 2x2

Werden drei Matrizen $A$ , $B$ und $D$ miteinander multipliziert, so gilt das Assoziativgesetz, wenn die Matrizentypen zueinanderpassen. Für quadratische Matrizen ist diese Bedingung erfüllt.

Multipliziere die drei Matrizen $A$ , $B$ und $D$ in dieser Reihenfolge miteinander.

$A = (\begin{array}{cc} 3 & 4 \\ 3 & 1 \end{array}) B = (\begin{array}{cc} 4 & 1 \\ 2 & - 4 \end{array}) D = (\begin{array}{cc} 2 & 1 \\ 3 & - 1 \end{array})$

Lösung

Die drei Matrizen werden multipliziert, indem zunächst das Produkt $A \cdot B$ multipliziert und dieses anschließend mit der Matrix $D$ verrechnet wird.

Falk-Schema

Anwendung am Beispiel

Kreuz einzeichnen,
Matrizen $A$ und $B$ eintragen,
Berechnung der Produktmatrix $C = A \cdot B$

$\begin{array}{cccc} 4 & 1 \\ 2 & - 4 \\ 3 & 4 & 20 & - 13 \\ 3 & 1 & 14 & - 1 \end{array}$

mit

$\begin{aligned} c_{11} & = 3 \cdot 4 + 4 \cdot 2 = 20 \\ c_{12} & = 3 \cdot 1 + 4 \cdot (- 4) = - 13 \\ c_{21} & = 3 \cdot 4 + 1 \cdot 2 = 14 \\ c_{22} & = 3 \cdot 1 + 1 \cdot (- 4) = - 1 \end{aligned}$

neues Kreuz einzeichnen,
Produktmatrix $C$ und Matrix $D$ eintragen,
Berechnung der neuen Produktmatrix $E = C \cdot D$

$\begin{array}{cccc} 2 & 1 \\ 3 & - 1 \\ 20 & - 13 & 1 & 33 \\ 14 & - 1 & 25 & 15 \end{array}$

mit

$\begin{aligned} e_{11} & = 20 \cdot 2 + (- 13) \cdot 3 = 1 \\ e_{12} & = 20 \cdot 1 + (- 13) \cdot (- 1) = 33 \\ e_{21} & = 14 \cdot 2 + (- 1) \cdot 3 = 25 \\ e_{22} & = 14 \cdot 1 + (- 1) \cdot (- 1) = 15 \end{aligned}$

Damit ergibt sich aus der Multiplikation $A \cdot B \cdot D$ die Produktmatrix $E = (\begin{array}{cc} 1 & 33 \\ 25 & 15 \end{array})$ .

Hast Du Lust, Dein Wissen zum Matrizen multiplizieren an Übungsaufgaben zu testen? Dann auf zum nächsten Kapitel!

Matrizen multiplizieren – Aufgaben

Matrizen multiplizieren kannst Du in Aufgaben erst, wenn die Spaltenanzahl der ersten Matrix mit der Zeilenanzahl der zweiten Matrix übereinstimmt.

Schließe dich mit deinen Freunden zusammen, und habt Spaß beim Lernen

Kostenlos registrieren

Matrizen multiplizieren 3x3 – Aufgabe 1

Eine $(3 \times 3)$ -Matrix ist eine quadratische Matrix mit $3$ Zeilen und $3$ Spalten. Die Multiplikation zweier solcher quadratischer Matrizen kannst Du jetzt üben.

Aufgabe 1

Multipliziere die $(3 \times 3)$ -Matrizen $A$ und $B$ .

$A = (\begin{array}{ccc} 2 & 3 & - 1 \\ 5 & 1 & 2 \\ 1 & 3 & 3 \end{array}) B = (\begin{array}{ccc} 4 & 2 & 1 \\ 2 & 2 & 1 \\ - 3 & 4 & 5 \end{array})$

Lösung

Die Berechnung erfolgt über das Falk-Schema mit:

$\begin{aligned} c_{11} & = 2 \cdot 4 + 3 \cdot 2 + (- 1) \cdot (- 3) = 17 \\ c_{12} & = 2 \cdot 2 + 3 \cdot 2 + (- 1) \cdot 4 = 6 \\ c_{13} & = 2 \cdot 1 + 3 \cdot 1 + (- 1) \cdot 5 = 0 \\ c_{21} & = 5 \cdot 4 + 1 \cdot 2 + 2 \cdot (- 3) = 16 \\ c_{22} & = 5 \cdot 2 + 1 \cdot 2 + 2 \cdot 4 = 20 \\ c_{23} & = 5 \cdot 1 + 1 \cdot 1 + 2 \cdot 5 = 16 \\ c_{31} & = 1 \cdot 4 + 3 \cdot 2 + 3 \cdot (- 3) = 1 \\ c_{32} & = 1 \cdot 2 + 3 \cdot 2 + 3 \cdot 4 = 20 \\ c_{33} & = 1 \cdot 1 + 3 \cdot 1 + 3 \cdot 5 = 19 \end{aligned}$

Das Produkt aus $A \cdot B$ ergibt demnach:

$C = A \cdot B = (\begin{array}{ccc} 17 & 6 & 0 \\ 16 & 20 & 16 \\ 1 & 20 & 19 \end{array})$

Symmetrische Matrizen multiplizieren – Aufgabe 2

Eine symmetrische Matrix besitzt Matrixelemente, die an der Hauptdiagonalen gespielt sind. Somit sind symmetrische Matrizen spezielle quadratische Matrizen.

Aufgabe 2

Multipliziere die beiden symmetrischen Matrizen $A$ und $B$ .

$A \cdot B = (\begin{array}{ccc} 0 & 2 & 1 \\ 2 & 0 & 3 \\ 1 & 3 & 0 \end{array}) \cdot (\begin{array}{ccc} 1 & 3 & - 2 \\ 3 & 1 & 2 \\ - 2 & 2 & 1 \end{array})$

Lösung

Die Berechnung erfolgt über das Falk-Schema mit: $\begin{aligned} c_{11} & = 0 \cdot 1 + 2 \cdot 3 + 1 \cdot (- 2) = 4 \\ c_{12} & = 0 \cdot 3 + 2 \cdot 1 + 1 \cdot 2 = 4 \\ c_{13} & = 0 \cdot (- 2) + 2 \cdot 2 + 1 \cdot 1 = 5 \\ c_{21} & = 2 \cdot 1 + 0 \cdot 3 + 3 \cdot (- 2) = - 4 \\ c_{22} & = 2 \cdot 3 + 0 \cdot 1 + 3 \cdot 2 = 12 \\ c_{23} & = 2 \cdot (- 2) + 0 \cdot 2 + 3 \cdot 1 = - 1 \\ c_{31} & = 1 \cdot 1 + 3 \cdot 3 + 0 \cdot (- 2) = 10 \\ c_{32} & = 1 \cdot 3 + 3 \cdot 1 + 0 \cdot 2 = 6 \\ c_{33} & = 1 \cdot (- 2) + 3 \cdot 2 + 0 \cdot 1 = 4 \end{aligned}$

Das Produkt aus $A \cdot B$ ergibt demnach:

$C = A \cdot B = (\begin{array}{ccc} 4 & 4 & 5 \\ - 4 & 12 & - 1 \\ 10 & 6 & 4 \end{array})$

In den zugehörigen Karteikarten findest Du noch mehr Übungsaufgaben zur Multiplikation von Matrizen.

Matrizen multiplizieren – Das Wichtigste

Um zwei Matrizen $A$ und $B$ multiplizieren zu können und das Produkt $A \cdot B$ zu bilden, muss die Spaltenanzahl der Matrix $A$ mit der Zeilenanzahl der Matrix $B$ übereinstimmen.
Die Berechnung erfolgt beispielsweise über das Falk-Schema.
Bei der Multiplikation von zwei oder drei Matrizen müssen einige Rechenregeln beachtet werden, vorausgesetzt die Multiplikation ist überhaupt möglich (Spalten- und Zeilenanzahl der Matrizen beachten).
- Kein Kommutativgesetz: $A \cdot B \neq B \cdot A$ (nur $A \cdot E = E \cdot A = A$ mit Einheitsmatrix $E$ )
- Assoziativgesetz: $(A \cdot B) \cdot C = A \cdot (B \cdot C)$
- Distributivgestz: $A \cdot (B + C) = A \cdot B + A \cdot C$
- Transponierte: $(A \cdot B)^{T} = B^{T} \cdot A^{T}$

Karteikarten in Matrizen multiplizieren 5

Lerne jetzt

Gib an, welchen Typ die Produktmatrix $E$ besitzt, wenn das Produkt

$E_{(m, n)} = (A_{(4, 2)} \cdot B_{(2, 3)}) \cdot D_{(3, 1)}$ berechnet wird.

$E_{(4, 1)}$

Beurteile, ob das Produkt $(A \cdot D) \cdot B$ gebildet werden kann.

$\begin{array}{r} A = (\begin{array}{ccc} 2 & - 4 & 3 \\ 2 & 3 & - 1 \end{array}); B = (\begin{array}{cc} 4 & 3 \\ - 2 & 5 \\ 1 & 2 \end{array}); D = (\begin{array}{cc} 2 & 7 \\ 3 & - 1 \end{array}) \end{array}$

Beurteile, ob das Produkt $(A \cdot B) \cdot D$ gebildet werden kann.

Entscheide, welchen Typ die Matrix $A$ besitzen muss bei folgender Multiplikation.

$A_{(m, n)} \cdot B_{(1, 4)} = C_{(3, 4)}$

$A_{(3, 1)}$

Entscheide, welchen Typ die Produktmatrix $C$ bei einer Multiplikation

einer $(4, 3)$ -Matrix $A$ mit einer $(3, 2)$ -Matrix $B$ hat.

$(4, 2)$ -Matrix $C$

Mit E-Mail registrieren

Du hast bereits ein Konto? Anmelden

Häufig gestellte Fragen zum Thema Matrizen multiplizieren

Wie werden zwei Matrizen multipliziert?

Zwei Matrizen A und B lassen sich zur Produktmatrix A•B multiplizieren, wenn die Spaltenanzahl der Matrix A mit der Zeilenanzahl der Matrix B übereinstimmt. Die Multiplikation erfolgt beispielsweise über das Falk-Schema.

Welche Matrizen kannst Du multiplizieren?

Zwei Matrizen A und B lassen sich zur Produktmatrix A•B multiplizieren, wenn die Spaltenanzahl der Matrix A mit der Zeilenanzahl der Matrix B übereinstimmt.

Welche Matrizen kannst Du nicht multiplizieren?

Zwei Matrizen A und B lassen sich nicht zur Produktmatrix A•B multiplizieren, wenn die Spaltenanzahl der Matrix A mit der Zeilenanzahl der Matrix B nicht übereinstimmt.

Kannst Du drei Matrizen multiplizieren?

Drei Matrizen können multipliziert werden, wenn die Voraussetzung zur Multiplikation von Matrizen erfüllt ist. Außerdem gilt das Assoziativgesetz.

Erklärung speichern

Entdecke Lernmaterialien mit der kostenlosen StudySmarter App

Kostenlos anmelden

Über StudySmarter

StudySmarter ist ein weltweit anerkanntes Bildungstechnologie-Unternehmen, das eine ganzheitliche Lernplattform für Schüler und Studenten aller Altersstufen und Bildungsniveaus bietet. Unsere Plattform unterstützt das Lernen in einer breiten Palette von Fächern, einschließlich MINT, Sozialwissenschaften und Sprachen, und hilft den Schülern auch, weltweit verschiedene Tests und Prüfungen wie GCSE, A Level, SAT, ACT, Abitur und mehr erfolgreich zu meistern. Wir bieten eine umfangreiche Bibliothek von Lernmaterialien, einschließlich interaktiver Karteikarten, umfassender Lehrbuchlösungen und detaillierter Erklärungen. Die fortschrittliche Technologie und Werkzeuge, die wir zur Verfügung stellen, helfen Schülern, ihre eigenen Lernmaterialien zu erstellen. Die Inhalte von StudySmarter sind nicht nur von Experten geprüft, sondern werden auch regelmäßig aktualisiert, um Genauigkeit und Relevanz zu gewährleisten.

Erfahre mehr