Matrizenrechnung

Allgemeine Matrizen

Die verschiedenen Formen der Matrizen kennen wir bereits aus dem Kapitel Matrizen. Wir werden das Wichtigste hier kurz wiederholen.

Eine Matrix A kann in einer typischen Schreibweise dargestellt werden. In der allgemeinen Form besitzt sie m Zeilen und n Spalten, weshalb für die Matrix A gilt:

Die einzelnen Komponenten (wie beispielsweise ) in der Klammer werden als Koeffizienten bezeichnet. Ein Beispiel für eine 3x3-Matrix könnte wie folgt aussehen:

Diese besitzt drei Zeilen und drei Spalten, weshalb sie auch als 3x3-Matrix oder auch als (3,3)-Matrix bezeichnet werden kann. Grundsätzlich kann sie aber auch weniger Spalten oder weniger Zeilen besitzen. Eine (2,3)-Matrix wäre zum Beispiel folgende:

Sie besitzt damit nur zwei Zeilen und drei Spalten.

Falls dir die Grundlagen zu den Matrizen unklar sind, lies bitte im entsprechenden Kapitel noch einmal nach.

Wenn mehrere Matrizen miteinander verknüpft werden, müssen wir uns mit dem Rechnen mit Matrizen beschäftigen. Hierfür gibt es einige Rechenoperationen, mit denen wir uns im weiteren Verlauf beschäftigen:

• Addition und Subtraktion
• Multiplikation (Matrizen und Skalare)

Zudem lässt sich eine Matrix transponieren, eine Matrix invertieren oder es kann eine orthogonale Matrix gebildet werden. Häufig wird auch das Thema Eigenwerte berechnen in diesem Zuge genannt, die mithilfe von linearen Gleichungssystemen berechnet werden. Diese Sonderfälle sind bereits in separaten Artikeln nachzulesen.

Rechenoperationen von Matrizen

Wir beginnen die Matrizenrechnung mit den klassischen Grundrechenarten: der Addition und der Subtraktion.

Addition von Matrizen

Eine Matrix A kann beispielsweise mit einer Matrix B addiert werden, jedoch ist dabei etwas zu beachten. Matrizen lassen sich nur miteinander addieren, wenn beide Matrizen die gleiche Form besitzen. Sie müssen also die gleiche Anzahl an Zeilen und an Spalten besitzen. Beispielsweise könnten folgende zwei Matrizen addiert werden:

Anders sehen es im nächsten Beispiel aus. Die nachfolgenden Matrizen besitzen eine unterschiedliche Anzahl an Spalten und können deshalb nicht addiert werden.

Damit ist die Vorrausetzung für eine Addition von Matrizen bereits geklärt. Aber wie gehen wir nun bei der Berechnung vor?

Wir ziehen unser Beispiel von oben heran, das die Voraussetzungen für eine Addition erfüllt.

Das Addieren der Matrizen erfolgt durch das Addieren der einzelnen Komponenten.

Wir erhalten damit für unser Beispiel folgendes Ergebnis:

Durch die Berechnung der beiden Matrizen erhalten wir eine neue Matrix, die auch als Ergebnismatrix oder Summenmatrix bezeichnet wird. Sie besitzt ebenfalls die gleiche Anzahl an Zeilen und Spalten, wie die einzelnen Matrizen.

Für die Addition von Matrizen gelten ebenso einige Rechenregeln, die wir bereits kennen:

• Kommutativgesetz:
• Assoziativgesetz:

Mehr Informationen zu dem Thema wie sich Matrizen addieren lassen, findest du im entsprechenden Artikel.

Subtraktion von Matrizen

Ähnlich wie bei der Addition verhält es sich bei der Subtraktion von Matrizen. Hierbei muss eine Matrix A ebenfalls die gleiche Anzahl an Zeilen und Spalten aufweisen wie eine Matrix B, damit beide subtrahiert werden können. Eine Subtraktion ist wieder möglich in folgendem Beispiel:

Die Vorrausetzung für die Berechnung der Matrizen durch Subtraktion ist damit erfüllt. Analog zur Addition werden beim Subtrahieren ebenfalls die einzelnen Komponenten miteinander verrechnet.

Wir erhalten damit ebenfalls wieder eine neue Matrix als Ergebnis.

Die neue Ergebnismatrix, oder auch Differenzmatrix, besitzt wieder die gleiche Anzahl an Zeilen und Spalten wie die einzelnen Matrizen A und B.

Bei der Subtraktion können die jeweiligen Matrizen natürlich nicht vertauscht werden, da wir damit ein völlig anderes Ergebnis erhalten würden. Weiterführende Beispiele und Informationen sind wieder im entsprechenden Kapitel nachzulesen.

Multiplikation von Matrizen

Auch bei der Berechnung von Matrizen durch Multiplikation sind zunächst bestimmte Voraussetzungen zu erfüllen. Hierbei muss beim Multiplizieren von einer Matrix A mit einer Matrix B die Spaltenanzahl der Matrix A mit der Zeilenanzahl der Matrix B übereinstimmen. Ein Beispiel für eine erfüllte Voraussetzung einer Multiplikation wäre:

Sie Spaltenanzahl (3) der Matrix A stimmt mit der Zeilenanzahl (3) der Matrix B überein. Anders sieht es in der nachfolgenden Angabe aus.

Hier wäre eine Multiplikation der beiden Matrizen nicht möglich.

Für die Matrizenrechnung wird meist das sogenannte „Falk-Schema“ angewandt. Anhand unseres Beispiels von oben, gehen wir das Vorgehen Schritt für Schritt durch.

1. Kreuz einzeichnen

Wir ziehen dafür wieder unser Beispiel von oben heran, das die Voraussetzungen für das Multiplizieren erfüllt und zeichnen zunächst ein Kreuz.

Es sollte dabei links unten so viele Kästchen besitzen, damit wir die Zahlenwerte der Matrix A eintragen können. Rechts oben muss für die Matrix B ebenfalls die richtige Anzahl an Kästchen vorhanden sein.

2. Matrix A eintragen

Nun kann die Matrix A links unten in die Kästchen eingetragen werden.

3. Matrix B eintragen

Im nächsten Schritt werden die Kästchen rechts oben zusätzlich mit der zweiten Matrix B befüllt.

4. Ergebnismatrix berechnen

Bei der Berechnung müssen nun einzelnen Teilschritte betrachtet werden. Die erste Komponente der Ergebnismatrix berechnet sich durch die anliegende Zeile und Spalte.

Für das Verständnis zeichnen wir noch einige Hilfslinien ein, die die Zeile und Spalte miteinander verbindet. Um das erste Ergebnis zu erhalten, werden die durch Hilfslinien verbundene Zahlen miteinander multipliziert und alle Hilfslinien-Ergebnisse addiert. In unserem Beispiel wäre dies:

Damit ist bereits die erste Komponente der Ergebnismatrix berechnet worden. Mit den anderen Elementen verfahren wir ebenso.

Durch die Berechnung haben wir nun alle Komponenten der Ergebnismatrix, oder auch Produktmatrix, erhalten.

Wie bei der Addition von Matrizen ist beim Multiplizieren von Matrizen einiges zu beachten. Deshalb werden die wichtigsten Rechenregeln nachfolgend aufgeführt:

• Ungleich:
• Assoziativgesetz:
• Distributivgesetz:

Die wichtigsten Grundlagen zur Mulitplikation zweier Matrizen oder mehr haben wir damit bereits kennengelernt. Im zugehörigen Artikel findest du noch weitere Übungsaufgaben und Informationen dazu.

Daneben gibt es noch einige Spezialfälle auf die wir nachfolgend noch kurz eingehen.

Sonderfälle Multiplikation von Matrizen

• Zahl mal Matrix (Skalar)

Neben dem Multiplizieren einer Matrix A mit einer andern Matrix B gibt es auch die Möglichkeit eine Matrix A mit einer reellen Zahl (Skalar) zu multiplizieren. Beispielsweise könnte diese mit einem Faktor von 2 multipliziert werden.

Dabei wir jede Komponente der Matrix A mit dem jeweiligen Faktor berechnet.

Eine ausführlichere Beschreibung dazu ist im Artikel zur Multiplikation einer Matrix mit einer reellen Zahl nachzulesen.

• Skalarprodukt

Das sogenannte Skalarprodukt erhalten wir, wenn wir Matrizen mit nur einer Spalte bzw. zwei Vektoren miteinander multiplizieren. Die Vorgehensweise ist dieselbe wie die Multiplikation von Matrizen. Alles Wichtige zum Skalarprodukt findest du im entsprechenden Kapitel.

• Vektor mal Matrix

Wie bereits erwähnt, muss bei der Multiplikation von Matrizen die Anzahl der Spalten der Matrix A mit der Zeilenanzahl der Matrix B übereinstimmen. So kann es auch vorkommen, dass wir eine Matrix mit einem Vektor multiplizieren können. Beispielweise:

Die Berechnung erfolgt ebenso wie die Multiplikation von Matrizen.

Weitere Informationen und Übungsbeispiele findest du im entsprechenden Kapitel Multiplikation einer Matrix mit einem Vektor.

Damit haben wir alle wichtigen Grundlagen zur Matrizenrechnung kennengelernt. Nachfolgend findest du noch eine kurze Übersicht mit den wichtigsten Informationen.

Matrizenrechnung– Alles Wichtige auf einen Blick

• Die Matrizenrechnung beinhaltet verschiedene Rechenoperationen:
  1. Addition und Subtraktion
  2. Multiplikation (Matrizen und Skalare)
• Bei der Addition müssen die Matrizen die gleiche Zeilen- und Spaltenanzahl aufweisen und dann werden die einzelnen Elemente addiert.
• Die Ergebnismatrix wird auch Summenmatrix genannt.
• Zu beachten sind bei der Addition folgende Gesetze:
  1. Kommutativgesetz:
  2. Assoziativgesetz:
• Bei der Subtraktion müssen die Matrizen ebenso die gleiche Zeilen- und Spaltenanzahl aufweisen und analog zur Addition berechnet.
• Die Ergebnismatrix wird auch Differenzmatrix genannt.
• Für die Multiplikation von Matrizen muss gewährleistet sein, dass die Spaltenanzahl der Matrix A der Zeilenanzahl der Matrix B entspricht.
• Die Berechnung der Multiplikation erfolgt nach dem Falk-Schema:

1. Kreuz einzeichnen
2. Matrix A eintragen (links unten)
3. Matrix B eintragen (rechts oben)
4. Elemente berechnen (Skalarprodukt) und Produktmatrix erhalten

• Folgende Rechenregelngelten bei der Multiplikation von Matrizen:
  1. Ungleich:
  2. Assoziativgesetz:
  3. Distributivgesetz:
• Eine Matrix kann zudem auch mit einer Zahl (Skalar) multipliziert werden.