Negative Zahlen

Negative Zahlen Definition

Negative Zahlen sind im Prinzip das Gegenteil von positiven Zahlen. Positive Zahlen kennst du beispielsweise von den natürlichen Zahlen.

Natürliche Zahlen kann man auch auf dem Zahlenstrahl darstellen. Um nun negative Zahlen ebenfalls dort abzubilden, wird der Zahlenstrahl nach links zu einer Zahlengeraden erweitert.

Abbildung 1: Zahlenstrahl der natürlichen Zahlen

Abbildung 2: Zahlengerade mit negativen Zahlen

Negative Zahlen liegen also auf der Zahlengeraden links von der 0, während die Zahlen rechts von der 0 positiv sind.

Genauso wie bei der Menge der natürlichen Zahlen oder der Menge der ganzen Zahlen gilt:

Negative Zahlen Vorzeichen

Du erkennst negative Zahlen an ihrem Vorzeichen. Sie haben stets ein Minus vor sich stehen. Positive Zahlen haben dagegen ein Plus als Vorzeichen. Es wird aber meistens nicht notiert.

Wichtig ist, dass du nur bei positiven Zahlen das Vorzeichen weglassen darfst. Negative Zahlen müssen IMMER mit ihrem Vorzeichen notiert werden.

Negative Zahlen Zweck

Negative Zahlen sind vielleicht ein bisschen schwer zu verstehen, denn man kann sie nicht fassen. Negative Zahlen können in der Natur oder als Gegenstände nicht dargestellt werden.

Im Alltag treffen wir beispielsweise bei der Temperatur auf negative Zahlen. Dies liegt aber an unserer Messeinheit. Die Amerikaner, die mit der Einheit Fahrenheit arbeiten, haben länger positive Temperaturanzeigen als wir. Und in der Einheit Kelvin sind auch noch -200° Celsius positiv.

Auch im Umgang mit Geld schummeln wir ein wenig. Wenn jemand sein Konto überzogen hat, also mehr abgebucht wurde, als vorher drauf war, dann sprechen wir eher von 20€ Schulden als von -20€ Guthaben.

Negative Zahlen in den Zahlenmengen

In den meisten der bekannten Zahlenmengen sind negative Zahlen enthalten. Zwei Ausnahmen sind die Menge der natürlichen Zahlen, die nur positive Zahlen enthält, sowie die Menge der natürlichen Zahlen mit Null, die neben positiven Zahlen noch die Zahl 0 enthält.

In den anderen bekannten Zahlenmengen, sprich der Menge der ganzen Zahlen, der Menge der rationalen Zahlen und der Menge der reellen Zahlen sind negative Zahlen enthalten.

Definition der Menge der negativen Zahlen

Auch wenn verschiedene negative Zahlen verschiedenen Zahlenmengen zugeordnet werden können, kann man die Menge der negativen Zahlen mithilfe der Mengenschreibweise eindeutig definieren:

Die Menge der negativen Zahlen entspricht also der Menge der negativen reellen Zahlen!

Negative Zahlen Betrag und Gegenzahl

Im Zusammenhang mit den negativen Zahlen sind auch die Begriffe Betrag und Gegenzahl von Bedeutung.

Die Gegenzahl zu einer Zahl ist also die Zahl mit dem entgegengesetzten Vorzeichen.

Zum besseren Verständnis zeigen wir dir dazu ein paar Beispiele.

Zahl und Gegenzahl haben nun eine Eigenschaft, die gleich ist: sie haben beide denselben Betrag, aber unterschiedliche Vorzeichen.

Negative Zahlen berechnen

Natürlich kann man auch mit negativen Zahlen rechnen. Manchmal hilft es dabei, die Zahlen auf einer Zahlengeraden zu betrachten.

Negative Zahlen addieren

Wenn du auf deinem Konto ein negatives Guthaben – also Schulden – hinzufügst, dann wird dein Guthaben kleiner.

Wird also eine negative Zahl zu einer anderen Zahl addiert, so ist das dasselbe, wie wenn du die positive Gegenzahl subtrahierst.

Negative Zahlen subtrahieren

Die Subtraktion mit negativen Zahlen ist ein bisschen schlechter vorstellbar als die Addition. Ein gutes Beispiel ist wieder das Konto:

Wird eine negative Zahl von einer anderen Zahl subtrahiert, so ist das dasselbe, wie wenn du die positive Gegenzahl addierst.

Negative Zahlen multiplizieren

Multiplizieren mit negativen Zahlen ist eigentlich ganz einfach. Die Rechnung an sich funktioniert genauso, wie wenn du nur mit positiven Zahlen multiplizieren würdest. Der einzige Unterschied ist das Vorzeichen des Ergebnisses. Dieses kann entweder positiv oder negativ sein.

Damit du weißt, welches Vorzeichen das Ergebnis hat, gibt es eine einfache Regel:

Die Regel wird nun in Schritten überprüft.

Zwei positive Zahlen mulitplizieren

Dass das Produkt aus zwei positiven Zahlen wieder positiv ist, kennst du schon aus der Grundschule. Deshalb wird dieser Teil nicht tiefer behandelt.

Eine positive und einer negative Zahl multiplizieren

Dass das Produkt aus zwei Zahlen mit unterschiedlichen Vorzeichen negativ ist, kann man mithilfe einer sogenannten Permanenzreihe bewiesen werden.

Während der zweite Faktor in der Multiplikation immer um eins kleiner wird, wird das Ergebnis immer um 3 kleiner. Bei der Rechnung macht es also nur Sinn, dass das Ergebnis –3 ist, also negativ.

Zwei negative Zahlen mulitplizieren

Die Behauptung ist nun, dass das Produkt aus zwei negativen Zahlen wieder positiv ist. Auch das kann mithilfe einer Permanenzreihe gezeigt werden:

Aus der ersten Permanenzreihe ist bekannt, dass gilt. Dies verwenden wir nun im ersten Schritt dieser Permanenzreihe.

Der zweite Faktor wird wieder um eins kleiner, während das Ergebnis der Multiplikation immer um zwei größer wird.

Negative Zahlen dividieren

Für die Division gelten dieselben Regeln wie für die Multiplikation, also:

Die Regeln für die Division folgen direkt aus den Regeln der Multiplikation, denn die Division ist die Umkehroperation der Multiplikation:

Negative Zahlen Übungen

Um dein Verständnis zu den negativen Zahlen zu vertiefen, kannst du die folgenden Übungsaufgaben machen.