Ordinalzahlen und Kardinalzahlen

Ein Beispiel dafür ist das Vorhandensein von 5 Münzen in einer Spardose. Die natürliche Zahl 5, gesprochen „fünf“ beschreibt dabei die Anzahl der Münzen in der Dose, also wie viele Münzen in der Dose enthalten sind.

Abbildung 1: Münzen in einer Dose

In Abbildung 2 hast Du eine Menge aus verschiedenfarbigen Quadraten gegeben. Die Mengenschreibweise der Menge M aus den Quadraten lautet:

$M=\{\square ,\square ,\square ,\square \}$

Du zählst die Quadrate und das letzte Zahlenwort ist eine 4. Somit hast Du eine Menge aus 4 Quadraten gegeben.

Abbildung 2: Menge aus Quadraten

Wenn Du nun die Position der Quadrate vertauschst und in einer anderen Reihenfolge zählst, ist das letzte Zahlenwort trotzdem eine 4.

Abbildung 3: Menge aus Quadraten

Du hast einige Murmeln (Abbildung 4) gesammelt und möchtest jetzt wissen, wie viele Du hast.

Abbildung 4: Menge M an Murmeln

Dafür kannst Du die Murmeln zählen, indem Du bei eins startest und nacheinander durchzählst. Die lila Murmel bekommt das Zahlenwort eins zugeschrieben, die gelbe zwei, die türkise drei, die pinke vier und die blaue fünf (Abbildung 5).

Abbildung 5: Reihenfolge beim Abzählen der Murmeln

Das letzte Zahlenwort ist 5. Insgesamt hast Du also 5 Murmeln.

Wenn Du die Murmeln nun an anderen Positionen (Abbildung 6) hinlegst, kannst Du sehen, dass das Kardinalzahlprinzip gilt.

Abbildung 6: Menge M an Murmeln in einer anderen Position

Diesmal fängst Du bei der türkisfarbenen Murmel an zu zählen. Die türkisfarbene Murmel bekommt das Zahlenwort eins zugeschrieben, die pinke zwei, die lila drei, die gelbe vier und die blaue fünf. Das letzte Zahlenwort ist wieder 5, also hast Du wiederholt 5 Murmeln gezählt (Abbildung 7).

Abbildung 7: Reihenfolge beim Abzählen der Murmeln in anderer Position

Um sicherzugehen, zählst Du erneut, aber diesmal in einer anderen Reihenfolge. Diesmal fängst Du bei der blauen Murmel an zu zählen. Die blaue Murmel bekommt das Zahlenwort eins zugeschrieben, die gelbe zwei, die lila drei, die pinke vier und die türkise fünf. Das letzte Zahlenwort ist wieder 5 (Abbildung 8).

Abbildung 8: geänderte Reihenfolge beim Abzählen der Murmeln

Somit konntest Du sehen, dass das Kardinalzahlprinzip gilt.

In Abbildung 9 hast Du beispielsweise eine Folge von vier Quadraten gegeben. Das Zahlzeichen 4. kennzeichnet etwa das 4. Quadrat, also den 4. Platz in der Reihe.

Abbildung 9: Reihe aus 4 Quadraten mit bestimmten Positionen

Du hast in einer Straße eine Reihe von Häusern, die zum Verkauf stehen, gegeben und möchtest diese nun zählen und die einzelnen Häuser der Reihe nach durchnummerieren, um die Position dieser anzugeben.

Abbildung 10: Reihe von Häusern in einer Straße

Das kannst Du machen, indem Du jedem Haus der Reihe nach eine Ordinalzahl vergibst und diese in die Kaufanzeige schreibst. Das grüne Haus ganz links ist Dein erstes Haus, das blaue Dein zweites, das pinke Dein drittes und das gelbe Dein viertes Haus (Abbildung 11).

Abbildung 11: Reihe von Häusern mit Ordinalzahlen

Nun meldet sich ein Käufer bei Dir und möchte das dritte Haus kaufen. Dadurch, dass Du Ordinalzahlen vergeben hast, weißt Du sofort, um welches Haus es sich handelt und kannst den Kaufvertrag fertig machen.

Aufgabe 1

Stell Dir vor, Du bist Autoverkäufer und bekommst von einem Lieferanten eine bestimmte Menge M an verschiedenen Autos, die Du verkaufen darfst. Du willst nun wissen, welche Anzahl an Autos Du bekommen hast.

Abbildung 12: Menge M an Autos

Lösung

Gesucht ist die Kardinalität der Menge M, also die Mächtigkeit $\left|M\right|$ der Menge M. Dafür spielen die Kardinalzahlen eine Rolle, da Du durch diese die Anzahl der Elemente E einer Menge angeben kannst. Um nun die Anzahl der Autos herauszufinden, zählst Du die Autos in einer beliebigen Reihenfolge der Reihe nach durch. Du kannst z. B. beim lilafarbenen Auto mit der eins anfangen zu zählen, danach zum rosafarbenen mit der zwei, zum grünen mit der drei und zum roten mit der vier. Das türkisfarbene Auto zählst Du als Letztes mit der fünf. Laut dem Kardinalzahlprinzip gibt das zuletzt genannte Zahlenwort die Anzahl der Elemente der gezählten Menge M an. Dein letztes Zahlenwort war die fünf, also hast Du fünf Autos bekommen.

Abbildung 13: Gezählte Menge M an Autos

Aufgabe 2

Du stellst die Autos jetzt in einer bestimmten Reihenfolge auf Deine verfügbaren Parkplätze. Ein Käufer kommt und sagt, er möchte das dritte Auto von links kaufen. Welches ist das?

Abbildung 14: Autos in einer Reihenfolge

Lösung

Um herauszufinden, welches Auto der Käufer meint, vergibst Du Ordinalzahlen, um die Position der Autos in der Folge anzugeben. Du fängst ganz links an, womit Dein erstes Auto das rosafarbene Auto wäre und zählst der Reihe nach weiter hoch, bis Du beim letzten Auto in der Reihe angekommen bist.

Abbildung 15: Autos mit zugeordneten Ordinalzahlen

Die Ordinalzahl 3. hat das lilafarbene Auto, das also das dritte Auto in der Reihe ist. Dadurch weißt Du jetzt, welches Auto der Käufer kaufen möchte.