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Primzahlen sind eine wichtige Klasse von Zahlen in der Mathematik, die nur durch sich selbst und 1 teilbar sind. Sie spielen eine wichtige Rolle in vielen Bereichen der Mathematik, insbesondere in der Zahlentheorie und Kryptographie. Wie Du sie erkennst, erfährst Du in dieser Erklärung!
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Team Primzahlen Lehrer
Primzahlen sind natürliche Zahlen, die nur durch sich selbst und 1 teilbar sind. Mit anderen Worten, eine Primzahl hat genau zwei positive Teiler: 1 und die Zahl selbst. Jede positive ganze Zahl kann als ein Produkt von Primzahlen geschrieben werden, diese Eigenschaft wird auch als Fundamentalsatz der Arithmetik bezeichnet.
Es gibt 25 Primzahlen bis 100. Das sind:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97.
Abb. 1 - Primzahlen bis 100.
Eine Methode, um die Primzahlen herauszufinden, ist das Sieb des Eratosthenes.
So funktioniert das Sieb des Eratosthenes:
Du benötigst eine Tabelle, in der die Zahlen von 1 bis 100 (oder auch mehr) eingetragen sind.
Als Nächstes markierst Du die kleinste Primzahl, die 2, indem Du sie umrundest oder markierst. Dann streichst Du alle Vielfachen der 2, da sie keine Primzahlen mehr sein können.
Abb. 2 - Sieb des Eratosthenes.
Nun gehst Du zur nächstkleineren Zahl, der 3, und markierst sie als nächste Primzahl. Danach streichst Du wieder alle Vielfachen der 3.
Dieses Prinzip führst Du fort, bis alle Zahlen in der Tabelle markiert oder gestrichen sind. Dabei markierst Du immer die nächstkleinere unmarkierte Zahl als nächste Primzahl und streichst alle Vielfachen dieser Zahl.
Das Sieb des Eratosthenes ist eine effektive Methode, um Primzahlen zu finden, und eignet sich besonders gut für größere Zahlen.
1 ist keine Primzahl, da eine Primzahl nur durch sich selbst und 1 teilbar sein muss. Bei der Zahl 1 gibt es jedoch nur einen positiven Teiler, nämlich 1 selbst. Eine Primzahl hingegen muss immer genau zwei positive Teiler haben. Daher wird 1 nicht als Primzahl klassifiziert.
Primzahlen sind per Definition nur natürliche Zahlen größer als 1, die nur durch sich selbst und 1 teilbar sind. Da die 1 nicht größer als 1 ist, erfüllt sie diese Bedingung nicht.
Wenn man 1 als Primzahl betrachten würde, wäre es schwieriger, den Fundamentalsatz der Arithmetik zu formulieren, der besagt, dass jede positive ganze Zahl eindeutig als Produkt von Primzahlen geschrieben werden kann. Denn dann müsste man die 1 als Primzahl ausschließen oder speziell behandeln.
Auch in der Zahlentheorie und Kryptographie wird die 1 nicht als Primzahl betrachtet, da sie in vielen Algorithmen und Rechenoperationen eine besondere Rolle spielt und ein Sonderfall darstellt.
Auch wenn Du jetzt ein Verfahren kennst, um Primzahlen zu finden, solltest Du nicht versuchen, alle Primzahlen zu suchen. Das ist unmöglich, denn: Es gibt unendlich viele Primzahlen!
Das hat im übrigen bereits der griechische Mathematiker Euklid vor mehr als 2000 Jahren bewiesen und diese Erkenntnis im sogenannten „Satz des Euklid“ oder „Satz von Euklid“ festgehalten.
Jede Zahl besitzt eine eindeutige Primfaktorzerlegung. Die Primfaktordarstellung ist eine Methode, mit der eine Zahl als Produkt aus Primzahlen dargestellt wird.
Die Zahl 60 kannst Du schrittweise in Faktoren zerlegen. Das machst Du so lange, bis nur noch Primzahlen übrig sind!
\begin{align} 60&=15\cdot 4\\&= 3\cdot 5\cdot 4\\&=3\cdot 5\cdot 2\cdot 2\\&=2^2\cdot 3\cdot 5\end{align}
Es ist üblich, die Primfaktoren in aufsteigender Reihenfolge zu ordnen.
Hinweis: Zur Berechnung der Primfaktorzerlegung ist es hilfreich, die Teilbarkeitsregeln zu wissen. Weißt du, woran man erkennt, dass eine Zahl durch 9 teilbar ist? Falls nicht, kannst du das im Artikel Teilbarkeitsregeln im Kapitel Zahlenlehre (Algebra) nachlesen.
Wenn der größte gemeinsame Teiler zweier Zahlen gesucht wird, kannst Du wieder mit der Primfaktorzerlegung arbeiten.
Die beiden gegebenen Zahlen solltest Du zunächst in Primfaktoren zerlegen. Der größte gemeinsame Teiler (ggT) ist dann das Produkt aus denjenigen Primzahlen, die bei beiden Zahlen vorkommen.
Gesucht ist der ggT der Zahlen 348 und 270.
Zunächst zerlegen wir die Zahlen in Primfaktoren:
\[348=2^2\cdot 3\cdot 29\]
\[270=2\cdot 3^3\cdot 5\]
In beiden Primfaktorzerlegungen kommt einmal die 2 und einmal die 3 vor. Daher ist der ggT von 348 und 270 das Produkt aus 2 und 3, also\[\text{ggT}(348, 270)=2\cdot 3=6\]
Auch beim Suchen des kleinsten gemeinsamen Vielfachen (kgV) ist die Primfaktorzerlegung hilfreich. In der Primfaktorzerlegung des kgV müssen nämlich alle Primfaktoren aus den beiden gegeben Zahlen vorkommen, aber nur so oft, wie sie maximal in einer der beiden Zahlen vorkommen.
Das lässt sich am besten in einem Beispiel erklären.
Gesucht ist das kgV der Zahlen 24 und 18.
Primfaktorzerlegung von 24 und 18:
\[24=2^3\cdot 3\]
\[18=2\cdot 3^2\]
Es kommen also die Primfaktoren 2 und 3 vor.
In der Zahl 24 kommt der Primfaktor 2 insgesamt 3 mal vor, in der Zahl 18 nur einmal. In der Primfaktorzerlegung des kgV muss die 2 also auch 3 mal vorkommen.
Der Primfaktor 3 kommt in der 24 einmal, in der 18 zweimal vor. Daher muss er im kgV auch zweimal vorkommen.
Das kleinste gemeinsame Vielfache ist also jetzt das Produkt aus dreimal dem Faktor 2 und zweimal dem Faktor 3:
\[\text{kgV}(18,24)=2^3\cdot 3^2=72\]
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Was sind die Primzahlen bis 100?
Die Primzahlen bis 100 sind:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 und 97
Ist 1 eine Primzahl?
Die Zahl 1 ist keine Primzahl, da sie nur einen Teiler besitzt.
Ist die 2 eine Primzahl?
Ja, die Zahl 2 ist eine Primzahl, insbesondere ist sie die kleinste Primzahl.
Welches sind die Primzahlen?
Primzahlen sind diejenigen natürlichen Zahlen, die nur durch sich selber und durch die 1 teilbar sind. Sie haben also exakt zwei Teiler.
Die Zahl 1 ist daher keine Primzahl, denn sie hat nur einen Teiler.
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Lily Hulatt ist Digital Content Specialist mit über drei Jahren Erfahrung in Content-Strategie und Curriculum-Design. Sie hat 2022 ihren Doktortitel in Englischer Literatur an der Durham University erhalten, dort auch im Fachbereich Englische Studien unterrichtet und an verschiedenen Veröffentlichungen mitgewirkt. Lily ist Expertin für Englische Literatur, Englische Sprache, Geschichte und Philosophie.
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Gabriel Freitas ist AI Engineer mit solider Erfahrung in Softwareentwicklung, maschinellen Lernalgorithmen und generativer KI, einschließlich Anwendungen großer Sprachmodelle (LLMs). Er hat Elektrotechnik an der Universität von São Paulo studiert und macht aktuell seinen MSc in Computertechnik an der Universität von Campinas mit Schwerpunkt auf maschinellem Lernen. Gabriel hat einen starken Hintergrund in Software-Engineering und hat an Projekten zu Computer Vision, Embedded AI und LLM-Anwendungen gearbeitet.
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