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Der Grund, warum Du hier rechnen kannst, ist eine proportionale Zuordnung.
Bevor Du aber in die Erklärungen zu proportionalen Zuordnungen und dem Proportionalitätsfaktor einsteigst, hier eine kleine Wiederholung zu Zuordnungen.
Proportionale Zuordnung – Grundlagenwissen
Allgemeine Zuordnungen kennst Du vermutlich aus deinem Alltag. Auch wenn dir jetzt vielleicht keine einfällt, versteckt sie sich in vielen Dingen. Wenn Du dir zum Beispiel notierst, wie viel Geld Du an jedem Wochentag ausgegeben hast, handelt es sich um eine Zuordnung. Dies kannst Du mithilfe der Definition einer Zuordnung verstehen.
Bei einer Zuordnung wird einem Wert (x-Wert) ein anderer Wert (y-Wert) zugeordnet.
In dem Beispiel wird einem Wochentag (x-Wert) das ausgegebene Geld (y-Wert) zugeordnet.
Du kannst auch deinen Freunden ihre Körpergröße zuordnen. Der eine Wert ist der Name des Freundes, der andere Wert die zugehörige Körpergröße.
Dies sind Beispiele für allgemeine Zuordnungen. Hier kannst Du nicht durch einen Wert auf andere Werte schließen. Wenn Du zum Beispiel weißt, dass Dein einer Freund 1,62 m groß ist, kannst Du damit nicht berechnen, wie groß Deine andere Freundin ist.
Es gibt aber auch spezielle Zuordnungen, bei denen die Wertepaare im Verhältnis zueinander stehen. Dies sind proportionale (und antiproportionale) Zuordnungen.
Proportionale Zuordnung – Definition und Eigenschaften
Ein kleines Beispiel für proportionale Zuordnungen hast Du mit dem Preis der Schokoladen bereits kennengelernt.
Hier findest Du ein ausführlicheres Beispiel.
Ein Auto fährt mit gleichbleibender Geschwindigkeit. In einer Minute legt es 0,5 Kilometer zurück. In einer Tabelle kannst Du die Zeit den gefahrenen Kilometern zuordnen.
| Zeit in Minuten | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 10 | 20 |
| Strecke in km | 0,5 | 1 | 1,5 | 2 | 2,5 | 5 | 10 |
In dem Beispiel kannst Du erkennen: Je mehr Zeit vergeht, desto mehr Kilometer wurden gefahren. Dies ist ein wichtiger Merksatz für proportionale Zuordnungen: Je mehr ..., desto mehr ...
Wichtig dabei ist aber nicht nur, dass beide Werte größer werden, sondern auch, dass das Verhältnis der Werte stimmt. Wenn Du zum Beispiel den einen Wert verdoppelst, muss sich auch der zugehörige andere Wert verdoppeln.
In der Wertetabelle kannst Du erkennen, dass Du zum Beispiel mit 3 multiplizierst, um von 1 Minute zu 3 Minuten zu gelangen. Die zugehörige Strecke (0,5 km) multiplizierst Du auch mit 3 und erhältst 1,5 km. In Abbildung 1 kannst Du noch weitere solcher Rechnungen erkennen.
Abbildung 1: Wertetabelle zur Autoaufgabe mit den dazugehörigen Rechnungen
Das gleichmäßige Wachstum beider Werte ist das Hauptmerkmal einer proportionalen Zuordnung.
Eine Zuordnung ist proportional, wenn sich beim Verdoppeln (Verdreifachen, Vervierfachen...) des einen Wertes auch der andere Wert verdoppelt (verdreifacht, vervierfacht...). Es gilt: je mehr ... , desto mehr ....
Beachte, dass du Werte nicht nur verdoppeln oder verdreifachen kannst, sondern auch halbieren oder vierteln. Du kannst zum Beispiel bei den x-Werten auch von der 20 zur 5 gelangen, indem du durch vier teilst. Dann viertelst du die 20 und auch den zugehörigen y-Wert.
Durch diese Eigenschaft kannst Du auch fehlende Werte in proportionalen Zuordnungen berechnen.
Wenn Du zum Beispiel wissen möchtest, wie weit das Auto nach 8 Minuten gefahren ist, kannst Du dies berechnen.
| Zeit in Minuten | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 8 | 10 | 20 |
| Strecke in km | 0,5 | 1 | 1,5 | 2 | 2,5 | 5 | 10 |
Wenn Du eine Zuordnung hast, bei der zwar zum Beispiel der x-Wert verdoppelt wurde, der zugehörige y-Wert sich aber verdreifacht, dann ist die Zuordnung nicht proportional.
Proportionalitätsfaktor
Eine proportionale Zuordnung kannst Du auch am Proportionalitätsfaktor erkennen. Wenn Du in der Autoaufgabe mit jeden y-Wert durch den zugehörigen x-Wert teilst, erhältst Du immer das Ergebnis 0,5. Dies ist der Proportionalitätsfaktor des Beispiels.
Berechnung der Quotienten aus dem Autobeispiel:
Alle Ergebnisse der Division sind gleich. Der Proportionalitätsfaktor ist hier 0,5.
Merke dir: Jede proportionale Zuordnung hat einen Proportionalitätsfaktor.
Wenn Du bei einer proportionalen Zuordnungen jeden y-Wert durch den zugehörigen x-Wert teilst, erhältst Du immer dasselbe Ergebnis. Dieser Quotient wird Proportionalitätsfaktor k genannt.
Da der Quotient aus y-Wert und x-Wert immer gleich ist, nennt man die Wertepaare auch quotientengleich.
"Quotient" nennt man das Ergebnis einer Division. Wenn Du also einen Wert durch einen anderen teilst, ist das Ergebnis der Quotient.
Wenn Du in einer Zuordnung auch nur ein Wertepaar findest, das nicht quotientengleich zu den anderen Wertepaaren ist, bedeutet dies: Es gibt keinen Proportionalitätsfaktor. Die Zuordnung kann nicht proportional sein.
Aufgabe 1
Prüfe, ob die Zuordnung proportional ist. Berechne hierzu die Quotienten aus y-Wert und x-Wert.
| x | 1 | 2 | 3 | 5 | 10 |
| y | 4 | 8 | 15 | 25 | 40 |
Proportionale Zuordnung – Berechnungen mit Proportionalitätsfaktor und Dreisatz
Häufig sollst Du in Mathe fehlende Werte berechnen. Dazu hast Du bei proportionalen Zuordnungen verschiedene Möglichkeiten. Weiter oben hast Du bereits gesehen, dass Du einen fehlenden Wert berechnen kannst, indem Du einen anderen Wert zum Beispiel verdoppelst oder verdreifachst. Du kannst fehlende Werte aber auch mithilfe des Proportionalitätsfaktors oder mit einem Dreisatz berechnen.
Berechnung mit dem Proportionalitätsfaktor
Wenn Du den Proportionalitätsfaktor bereits kennst und einen y-Wert berechnen möchtest, kannst Du den x-Wert mit dem Proportionalitätsfaktor multiplizieren. Wenn Du den Proportionalitätsfaktor noch nicht kennst, musst Du ihn zuerst berechnen und kannst erst dann die fehlenden Werte bestimmen.
Du kannst nicht nur fehlende y-Werte mit dem Proportionalitätsfaktor berechnen, sondern auch fehlende x-Werte. Dazu teilst Du den y-Wert durch den Proportionalitätsfaktor.
| x-Wert | |
| y-Wert |
Gegeben ist diese proportionale Zuordnung, bei der die fehlenden Werte berechnet werden sollen.
| x | 2 | 4 | 6 | 7 | 9 | 13 | 16 |
| y | 3 | 6 | 9 | 10,5 |
Zuerst berechnest Du den Proportionalitätsfaktor. Dazu teilst Du einen gegebenen y-Wert durch den zugehörigen x-Wert. Da in der Aufgabenstellung bereits steht, dass die Zuordnung proportional ist, langt ein Wertepaar. Hier stehen trotzdem alle Quotienten.
Der Quotient ist in allen Rechnungen 1,5. Jetzt weißt Du, dass 1,5 der Proportionalitätsfaktor ist.Diesen kannst Du nun verwenden, um die fehlenden Werte zu berechnen. Du rechnest:
Berechnung mit dem Dreisatz
Ein sicherer Weg um Werte zu berechnen, ist aber auch der Dreisatz. Dies ist eine "Erweiterung" des Vervielfachens. Du nutzt den Dreisatz, wenn zum Beispiel dein x-Wert mit fehlenden y-Wert kein Vielfaches eines anderen x-Wertes ist. Mithilfe des Dreisatzes machst Du zuerst einen Zwischenschritt.
Nehmen wir als Beispiel dieselbe Zuordnung wie eben. Du möchtest wieder die fehlenden Werte berechnen, diesmal aber das Multiplizieren nutzen.
| x | 2 | 4 | 6 | 7 | 9 | 13 | 16 |
| y | 3 | 6 | 9 | 10,5 |
Abbildung 2: Dreisatz mit der 1 als ZwischenschrittDu musst beim Dreisatz nicht unbedingt die 1 als Zwischenschritt nutzen. Für die 9 könntest Du auch die 3 als Zwischenschritt verwenden. Die Rechnungen findest Du in Abbildung 3.
Abbildung 3: Dreisatz mit der 3 als ZwischenschrittMithilfe des Dreisatzes kannst Du alle fehlenden Werte berechnen.
Merke dir:
Beim Dreisatz nutzt Du einen Zwischenschritt, um Werte zu berechnen. Du darfst multiplizieren und dividieren. Wichtig ist, dass du immer links und rechts mit derselben Zahl multiplizierst oder dividierst!
Eine ausführlichere Erklärung hierzu findest Du im Kapitel zum Dreisatz.
Proportionale Zuordnung – Darstellungen
Vielleicht wunderst Du dich jetzt, weil Du in Mathe in der Schule proportionale Zuordnungen nicht nur als Tabellen kennst? Das ist vollkommen richtig. Du kannst proportionale Zuordnungen nicht nur in Tabellen darstellen, sondern auch als Graph oder als Zuordnungsvorschrift.
Wertetabelle
Zuerst noch einmal zur Wertetabelle.
Die Wertetabelle hast Du bereits in dieser Erklärung kennengelernt. Hier trägst Du die x- und y-Werte ein. Die Tabelle kann wie in den Beispielen hier aus zwei Zeilen bestehen. Sie kann aber auch andersherum ausgerichtet sein und zwei Spalten haben.
| x | y |
| 1 | 2 |
| 3 | 6 |
| 5 | 10 |
| 7 | 14 |
| 9 | 18 |
In Abbildung 4 siehst Du eine vertikal ausgerichtete Wertetabelle einer proportionalen Zuordnung mit dem Proportionalitätsfaktor 2. Vertikale Wertetabellen kannst Du besonders gut nutzen, um in weiteren Zeilen fehlende Werte mit dem Dreisatz zu berechnen.
Graphische Darstellung im Koordinatensystem
Proportionale Zuordnungen kannst Du auch in einem Koordinatensystem darstellen. Dazu trägst Du die Werte aus der Wertetabelle in einem Koordinatensystem als Punkte ein und verbindest sie zu einem Graphen. Der Graph einer proportionalen Zuordnung ist immer eine Gerade. Wichtig ist, dass diese Geraden im Ursprung, also dem Punkt (0/0) beginnt, sonst ist es keine proportionale Zuordnung.
In Abbildung 5 siehst Du den Graphen der proportionalen Zuordnung aus Abbildung 4.
Abbildung 4: Graph der proportionalen Zuordnung aus Abbildung 4
Du kannst deutlich erkennen, dass der Graph in Abbildung 5 im Ursprung beginnt und eine Gerade ist. Die Steigung der Geraden entspricht genau dem Proportionalitätsfaktor. Dieser ist in Abbildung 4 und 5 genau 2.
Alle Punkte einer proportionalen Zuordnung liegen in einem Koordinatensystem auf einer Geraden. Die Gerade beginnt im Ursprung.
Jede Gerade, die im Ursprung beginnt und eine positive Steigung hat, ist eine proportionale Zuordnung.
Wenn eine Gerade nicht im Ursprung beginnt, kann es keine proportionale Zuordnung sein, da die 0 dann nicht der 0 zugeordnet wird.
Du kannst am Graphen auch einzelne Werte ablesen und in eine Wertetabelle eintragen.
Aufgabe 2
Fülle die Wertetabelle mithilfe des Graphens in Abbildung 6 aus. Gib den Proportionalitätsfaktor an.
Abbildung 5: Graph einer proportionalen Zuordnung
| x | 1 | 2 | 4 | 6 | 8 |
| y |
Lösung 2
Die Punkte kannst Du am Graphen ablesen. Suche dazu zuerst den x-Wert auf der x-Achse. Dann betrachte den Graphen an dieser Stelle und lies den y-Wert ab.
| x | 1 | 2 | 4 | 6 | 8 |
| y | 1,5 | 3 | 6 | 9 | 12 |
Den Proportionalitätsfaktor kannst Du bestimmen, indem Du die Steigung des Graphens berechnest. Du kannst aber auch den Punkt als Hilfe verwenden. Beim x-Wert 1 ist der y-Wert bei einer proportionalen Zuordnung immer der Proportionalitätsfaktor.
Der Proportionalitätsfaktor ist 1,5.
Zuordnungsvorschrift als Gleichung
Eine proportionale Zuordnung kannst Du nicht nur in einer Tabelle oder in einem Koordinatensystem darstellen, sondern auch mithilfe einer Gleichung. Diese wird auch Zuordnungsvorschrift genannt.
Jede proportionale Zuordnung kannst Du mit einer Zuordnungsvorschrift angeben. Sie lautet immer:
Dabei ist m der Proportionalitätsfaktor.
Um die Gleichung aufzustellen, benötigst Du also nur den Proportionalitätsfaktor.
Im dem Beispiel aus Abbildung 4 und 5 ist der Proportionalitätsfaktor 2. Deswegen ist die zugehörige Zuordnungsvorschrift:
Merke dir also: Den Proportionalitätsfaktor findest Du in allen Darstellungsformen. In einer Wertetabelle musst Du ihn ausrechnen, in einem Koordinatensystem entspricht er der Steigung des Graphens, in der Zuordnungsvorschrift wird er als Faktor geschrieben.
Von der Zuordnungsvorschrift zur Wertetabelle und zum Graphen
Wenn Du für eine proportionale Zuordnung nur eine Zuordnungsvorschrift gegeben hast, kannst Du hieraus sowohl eine Wertetabelle erstellen, als auch einen Graphen zeichnen.
Gegeben ist eine proportionale Zuordnung mit der Zuordnungsvorschrift . Wenn Du jetzt eine Wertetabelle erstellen möchtest, berechnest Du zuerst Punkte. Dazu setzt Du einen x-Wert in die Zuordnungsvorschrift ein und erhältst den y-Wert.
Jetzt kannst Du diese Punkte in eine Wertetabelle eintragen.
x | 1 | 2 | 3 | 5 | 10 |
y | 4 | 5 | 12 | 15 | 40 |
Diese Punkte trägst Du jetzt in ein Koordinatensystem ein und verbindest sie zu einer Geraden.
Wenn du zuerst eine Zuordnungsvorschrift hast, kannst du den Graphen einer proportionalen Zuordnung zeichnen, indem Du eine Wertetabelle als Zwischenschritt anlegst. Alternativ kannst Du auch eine Gerade mit Beginn im Ursprung zeichnen und den Proportionalitätsfaktor als Steigung verwenden. Oder Du zeichnest einen Punkt ein und verbindest den Ursprung mit diesem Punkt.
Proportionale Zuordnung und Proportionalitätsfaktor – Aufgaben
Aufgabe 3
Der Kinderanzahl in einer Klasse wird die Lautstärke im Raum zugeordnet.
Begründe, ob es sich um eine proportionale Zuordnung handelt.
Lösung 3
Nicht jedes Kind ist gleichlaut. Außerdem ist es in einer Klasse mal lauter und mal leiser. Wenn die Kinderanzahl verdoppelt wird, verdoppelt sich nicht immer die Lautstärke. Deswegen handelt es sich nicht um eine proportionale Zuordnung.
Aufgabe 4
Berechne den Proportionalitätsfaktor der proportionalen Zuordnung und gib die Zuordnungsvorschrift an.
| x | 2 | 3 | 4 | 6 | 9 |
| y | 2,4 | 3,6 | 4,8 | 7,2 | 10,8 |
Lösung 4
Berechnen des Proportionalitätsfaktors (y-Wert : x-Wert):
Wenn Du dir bereits sicher bist, dass es sich um eine proportionale Zuordnung handelt, ist es auch ausreichend, wenn Du nur einen Quotienten berechnest.
Der Proportionalitätsfaktor ist 1,2.
Die Zuordnungsvorschrift ist .
Aufgabe 5
Bestimme den Proportionalitätsfaktor anhand des Graphen in Abbildung 7 und gib die Zuordnungsvorschrift an.
Abbildung 6: Graph einer proportionalen Zuordnung
Lösung 5
Der Proportionalitätsfaktor entspricht der Steigung der Graden. Du kannst also die Steigung zum Beispiel mithilfe eines Steigungsdreiecks berechnen. Dazu kannst Du die Punkte und
verwenden. Dann rechnest Du:
Alternativ kannst Du den Proportionalitätsfaktor auch nur mithilfe eines Punktes berechnen. Du liest einen Punkt ab und teilst den y-Wert durch den x-Wert.
Die Zuordnungsvorschrift lautet:
Proportionale Zuordnung und Proportionalitätsfaktor – Das Wichtigste
- Für proportionale Zuordnungen gilt der Merksatz: Je mehr ... , desto mehr ...
- Verdoppelst (verdreifachst, ...) Du den einen Wert, so muss sich auch der andere Wert verdoppeln (verdreifachen, ...)
- Zusätzliche Werte kannst Du mit dem Dreisatz berechnen.
- Den Proportionalitätsfaktor berechnest du mit
.
- Der Graph einer proportionalen Zuordnung ist eine Gerade mit dem Proportionalitätsfaktor als Steigung.
- Die Zuordnungsvorschrift lautet:
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Häufig gestellte Fragen zum Thema Proportionale Zuordnung
Was ist der Graph einer proportionalen Zuordnung?
Der Graph einer proportionalen Zuordnung ist eine Gerade. Sie beginnt immer im Ursprung. Die Steigung der Geraden entspricht dem Proportionalitätsfaktor.
Was ist eine nicht proportionale Zuordnung?
Eine Zuordnung ist nicht proportionalen, wenn sich beim Verdoppeln (verdreifachen, vervierfachen, ... ) des einen Wertes, nicht auch der andere Wert verdoppelt, (verdreifacht, vervierfacht, ...). Sie kann dann entweder antiproportional sein oder es liegt gar keine Proportionalität vor.
Was ist der Unterschied zwischen direkt und indirekt proportional?
Bei einer direkt proportionalen Zuordnung gilt "je mehr ..., desto mehr ...". Bei einer indirekt proportionalen Zuordnung gilt "je mehr ..., desto weniger ... ".
Wann handelt es sich um eine proportionale Zuordnung?
Eine Zuordnung ist proportional, wenn sich beim Verdoppeln des eines Wertes auch der andere Wert verdoppelt. Es gilt "je mehr ... , desto mehr ...".
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