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Wenn Du lineare Gleichungssysteme lösen sollst, kannst Du dieses in eine Matrix umschreiben und mit der Matrix lösen. Aber des Öfteren ist gar nicht nach der gesamten Lösung des Gleichungssystems gefragt, sondern nach der Abhängigkeit der verschiedenen Gleichungen des Gleichungssystems. Genau dann kannst Du anstatt das ganze System auszurechnen, den Rang der Matrix berechnen und weißt, welche Zeilen voneinander abhängig sind und welche nicht. Wie Du den Rang einer Matrix bestimmst und was der maximale Rang einer Matrix ist, erfährst Du in dieser Erklärung.
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Leg kostenfrei losWas bedeutet es für den Rang einer quadratischen Matrix, wenn die Determinante ungleich null ist?
Welche Rechenoperationen verändern den Rang einer Matrix nicht?
Welche der Matrizen ist die Stufenform-Matrize nach Gauß?
Welche Zeilen zählst Du, um den Rang zu erhalten, nach dem Umformung mithilfe des Gauß-Algorithmus?
Was ist der maximale Rang einer Matrix?
Welchen Rang kann eine \(5\times 5\) Matrix maximal haben?
Welche Matrix ist die einzige Matrix mit \(\text{r}(A)=0\) als Rang?
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Team Rang einer Matrix Lehrer
Der Rang einer Matrix \(\text{rang}(A)\) ist die maximale Zahl der linear unabhängigen Zeilenvektoren \(A=\begin{pmatrix}a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n\end{pmatrix}\) oder Spaltenvektoren \(A=\begin{pmatrix}a_1 & a_2 & ... & a_n\end{pmatrix}\) einer Matrix \(A\).
Linear unabhängig bedeutet, dass ein Vektor der Matrix \(A\) sich nicht als Linearkombination der übrigen Vektoren darstellen lässt.
Mit der Bestimmung des Ranges einer Matrix ermittelst Du die höchstmögliche Ordnung der Matrix der nicht verschwindenden Unterdeterminanten von der Matrix \(A\).
Der maximale Rang einer Matrix ist gleich der Zeilen- oder Spaltenanzahl.
Für den maximalen Rang \(r\) gilt Folgendes:\[\text{r}(A)\leq \min (m,n)\]
Du kannst also bei einer \(4\times 5\) Matrix einen maximalen Rang von \(r=4\) erreichen.
Die folgenden Regeln sollen Dir helfen, den Rang einer Matrix zu bestimmen:
\(A^{-1}\) beschreibt eine invertierte Matrix. Mehr zu inversen Matrizen erfährst Du in der Erklärung „Matrix invertieren“.
Wie Du den Rang der Matrix bestimmst, ist abhängig von der Matrix. Für quadratische Matrizen gibt es einen anderen Rechenweg als für nicht quadratische.
Der Rang einer Matrix kann zwischen \(1\) bis \(n\) gehen. Die einzige Matrix, welche einen Rang von null hat, ist die Nullmatrix.
Die Nullmatrix ist eine besondere Matrix und besteht nur aus Nullen \(\left( \begin{array}{rrr} 0 & \ldots & 0 \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & \ldots & 0 \end{array}\right)\).
Für eine transponierte Matrix \(A^{T}\) einer beliebigen Matrix \(A\) gilt: \[\text{r}(A)^{T}=\text{r}(A)\]
Wenn eine quadratische Matrix \(A_{n\times m}\) eine Determinante ungleich null hat, dann ist die Anzahl der Spalten und Zeilen gleich dem Rang der Matrix.
Es gilt: \[\text{r}(A)=m=n\]
Die Determinante einer \(2\times 2\) Matrix berechnest Du mit der folgenden Formel:
\begin{align} A=\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \\\\ \det(A)=a\cdot d-c\cdot b\end{align}
Wie Du die Determinante von anderen Matrizenarten berechnest, erfährst Du in der Erklärung „Determinante“.
Aufgabe 1
Berechne den Rang der Matrix \(A=\begin{pmatrix} 4 & 1 & 3 \\ -2 & 2 & -1 \\ 1 & 5 & -5 \end{pmatrix}\).
Lösung
Zuerst musst Du feststellen, ob es sich bei der Matrix \(A\) um eine quadratische Matrix handelt.
\begin{align} m&=3 \\ n&=3 \\ m&=n=3 \end{align}
Jetzt berechnest Du die Determinante der Matrix.
\begin{align} \det(A)&=\det\begin{pmatrix} 4 & 1 & 3 \\ -2 & 2 & -1 \\ 1 & 5 & -5 \end{pmatrix} \\[0.2cm] &= 4\cdot 2\cdot (-5)+ 1\cdot (-1)\cdot 1 +3 \cdot (-2) \cdot 5 - 1\cdot 2\cdot 3-5\cdot (-1)\cdot 4 -(-5)\cdot (-2)\cdot 1 \\ &=-40-1-30-6+20 -10 \\ &=-67 \end{align}
Das heißt, die Determinante der Matrix \(A\) ist ungleich null. Also stimmt der Rang der Matrix mit der Anzahl der Spalten und Zeilen überein. Der Rang der Matrix ist \(3\).
Wenn Du von einer nicht quadratische Matrix oder eine quadratische Matrix, mit der Determinante gleich null, den Rang berechnen sollst, gehst Du folgendermaßen vor:
Beim Gauß-Algorithmus bringst Du die Matrix in eine Stufenform.
\[\left( \begin{array}{rrr} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right)\]
Wie Du den Gauß-Algorithmus anwendest, erfährst Du in der Erklärung „Gauß-Algorithmus“.
Nullzeilen sind die Zeilen, welche nur aus Nullen bestehen. Diese Zeilen sehen folgendermaßen aus:
\[\begin{pmatrix} 0 & 0 & \ldots & 0 \end{pmatrix}\]
Aufgabe 2
Berechne den Rang der Matrix \(A=\begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 & 3 \\ 4 & 1 & -2 & 0 \\ -1 & 0 & -4 & 2 \end{pmatrix}\).
Lösung
Zunächst beginnst Du mit der Umformung der Matrix zur Stufenform. Dafür formst Du die Matrix so um, dass die erste Spalte \(\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\) ist.
\begin{align} &\begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 & 3 \\ 4 & 1 & -2 & 0 \\ -1 & 0 & -4 & 2 \end{pmatrix} \begin{matrix} {} \\ 2\cdot Z_1- Z_2 \\ {} \end{matrix} \\\\ &\begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & 2 & 6 \\ -1 & 0 & -4 & 2 \end{pmatrix} \begin{matrix} {} \\ {} \\ 2\cdot Z_3+Z_1 \end{matrix} \\\\ &\begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & 2 & 6 \\ 0 & 1 & -8 & 7 \end{pmatrix} \end{align}
Danach soll die zweite Spalte in Form \(\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\) gebracht werden.
\begin{align} &\begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & 2 & 6 \\ 0 & 1 & -8 & 7 \end{pmatrix} \begin{matrix} {} \\ {} \\ Z_3-Z_2 \end{matrix} \\\\ &\begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & 2 & 6 \\ 0 & 0 & -10 & 1 \end{pmatrix} \end{align}
Nachdem Du die Matrix \(A\) in Stufenform hast, musst Du nur noch die Zeilen zählen, welche keine Nullzeilen sind.
\begin{align} \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & 2 & 6 \\ 0 & 1 & -10 & 1 \end{pmatrix} \begin{matrix} &\text{keine Nullzeile} \\ &\text{keine Nullzeile} \\ &\text{keine Nullzeile} \end{matrix}\end{align}
Bei dieser Matrix sind alle drei Zeilen keine Nullzeilen, das heißt, der Rang der Matrix ist \(\text{r}(A)=3\).
Jetzt kannst Du Dein eben erlerntes Wissen testen.
Aufgabe 3
Ermittle den Rang der Matrix \(A=\begin{pmatrix} 5 & -1 & 2 \\ 2 & 2 & 4 \\ 4 & -4 & 0 \end{pmatrix}\).
Lösung
Zunächst beginnst Du mit der Umformung der Matrix zur Stufenform. Dafür formst Du die Matrix so um, dass die erste Spalte \(\begin{pmatrix} 5 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\) ist.
\begin{align} &\begin{pmatrix} 5 & -1 & 2 \\ 2 & 2 & 4 \\ 4 & -4 & 0 \end{pmatrix} \begin{matrix} {} \\ 2\cdot Z_1-5\cdot Z_2 \\ {} \end{matrix} \\\\ &\begin{pmatrix} 5 & -1 & 2 \\ 0 & -12 & -16 \\ 4 & -4 & 0 \end{pmatrix} \begin{matrix} {} \\ {} \\ 4\cdot Z_1-5\cdot Z_3 \end{matrix} \\\\ &\begin{pmatrix} 5 & -1 & 2 \\ 0 & -12 & -16 \\ 0 & 16 & 0 \end{pmatrix} \end{align}
Danach soll die zweite Spalte in Form \(\begin{pmatrix} -1 \\ -12 \\ 0 \end{pmatrix}\) gebracht werden.
\begin{align} &\begin{pmatrix} 5 & -1 & 2 \\ 0 & -12 & -16 \\ 0 & 16 & 0 \end{pmatrix} \begin{matrix} {} \\ {} \\ 3\cdot Z_3+4\cdot Z_2 \end{matrix} \\\\ &\begin{pmatrix} 5 & -1 & 2 \\ 0 & -12 & -16 \\ 0 & 0 & -64 \end{pmatrix} \end{align}
Nachdem Du die Matrix \(A\) in Stufenform hast, musst Du nur noch die Zeilen zählen, welche keine Nullzeilen sind.
\begin{align} \begin{pmatrix} 5 & -1 & 2 \\ 0 & -12 & -16 \\ 0 & 0 & -64 \end{pmatrix} \begin{matrix} &\text{keine Nullzeile} \\ &\text{keine Nullzeile} \\ &\text{keine Nullzeile} \end{matrix}\end{align}
Bei dieser Matrix sind alle drei Zeilen keine Nullzeilen, das heißt, der Rang der Matrix ist \(\text{r}(A)=3\).
Aufgabe 4
Gegeben ist die Matrix \(A=\begin{pmatrix} 6 & -1 & 2 \\ -2 & 5 & a \\ 0 & 3 & -1 \end{pmatrix}\), mit \(a\in \mathbb{R}\). Berechne den Rang der Matrix in Abhängigkeit von dem Parameter \(a\).
Lösung
Zunächst beginnst Du mit der Umformung der Matrix zur Stufenform. Dafür formst Du die Matrix so um, dass die erste Spalte \(\begin{pmatrix} 6 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\) ist.
\begin{align} &\begin{pmatrix} 6 & -1 & 2 \\ -2 & 5 & a \\ 0 & 3 & -1 \end{pmatrix} \begin{matrix} {} \\ Z_1+3\cdot Z_2 \\ {} \end{matrix} \\\\ &\begin{pmatrix} 6 & -1 & 2 \\ 0 & 14 & 3a+2 \\ 0 & 3 & -1 \end{pmatrix} \begin{matrix} \end{matrix} \end{align}
Danach soll die zweite Spalte in Form \(\begin{pmatrix} -1 \\ 14 \\ 0 \end{pmatrix}\) gebracht werden.
\begin{align} &\begin{pmatrix} 6 & -1 & 2 \\ 0 & 14 & 3a+2 \\ 0 & 3 & -1 \end{pmatrix} \begin{matrix} {} \\ {} \\ 14\cdot Z_3+3\cdot Z_2 \end{matrix} \\\\ &\begin{pmatrix} 6 & -1 & 2 \\ 0 & 14 & 3a+2 \\ 0 & 0 & 9a-8 \end{pmatrix} \end{align}
Nachdem Du die Matrix \(A\) in Stufenform hast, musst Du nur noch die Zeilen zählen, welche keine Nullzeilen sind.
\begin{align} \begin{pmatrix} 6 & -1 & 2 \\ 0 & 14 & 3a+2 \\ 0 & 0 & 9a-8 \end{pmatrix} \begin{matrix} &\text{keine Nullzeile} \\ &\text{keine Nullzeile} \\ &\text{abhängig von a} \end{matrix}\end{align}
Ob die letzte Zeile eine Nullzeile ist abhängig von dem Parameter \(a\). Damit Du weißt, bei welchem Parameter \(a\) die Matrix eine Nullzeile bekommt, setzt Du den Term gleich null und führst eine Fallunterscheidung durch.
\begin{align} 9a-8&=0 &|&+8 \\ 9a&=8 &|&:9 \\ a&=\frac{8}{9} \end{align}
Das heißt für die letzte Zeile, wenn \(a=\frac{8}{9}\) ist es eine Nullzeile. Der Rang der Matrix ist dann folgendermaßen \(\text{r}(A)=\Biggl\lbrace\begin{matrix}2\hspace{1cm} a=\frac{8}{9} \\ 3\hspace{1cm} a\neq\frac{8}{9} \end{matrix}\).
Es gilt: \[\text{r}(A)=m=n\]
Um den Rang einer Matrix zu berechnen, nutzt Du den Gauß-Algorithmus. Dabei sind folgende Umformungen erlaubt:
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Was sagt der Rang einer Matrix aus?
Der Rang einer Matrix trifft eine Aussage darüber, ob zwei oder mehr Zeilen einer Matrix voneinander abhängig sind.
Wie berechnet man den Rang einer Matrix?
Grundsätzlich berechnest Du den Rang einer Matrix, in dem Du die Matrix in eine Stufenform bringst (Gauß-Algorithmus) und danach die nicht Nullzeilen zählst. Bei einer quadratischen Matrix, mit einer Determinante ungleich null, entspricht der Rang der Matrix dem höchsten n/m.
Kann eine Matrix den Rang 0 haben?
Es existiert nur eine Matrix mit dem Rang null. Diese ist die Nullmatrix. Alle anderen Matrizen haben mindestens den Rang 1.
Was ist eine Matrix mit vollem Rang?
Eine Matrix mit vollem Rang ist die Matrix, bei welcher der Rang mit dem n/m der Matrix übereinstimmt.
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Lily Hulatt ist Digital Content Specialist mit über drei Jahren Erfahrung in Content-Strategie und Curriculum-Design. Sie hat 2022 ihren Doktortitel in Englischer Literatur an der Durham University erhalten, dort auch im Fachbereich Englische Studien unterrichtet und an verschiedenen Veröffentlichungen mitgewirkt. Lily ist Expertin für Englische Literatur, Englische Sprache, Geschichte und Philosophie.
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Gabriel Freitas ist AI Engineer mit solider Erfahrung in Softwareentwicklung, maschinellen Lernalgorithmen und generativer KI, einschließlich Anwendungen großer Sprachmodelle (LLMs). Er hat Elektrotechnik an der Universität von São Paulo studiert und macht aktuell seinen MSc in Computertechnik an der Universität von Campinas mit Schwerpunkt auf maschinellem Lernen. Gabriel hat einen starken Hintergrund in Software-Engineering und hat an Projekten zu Computer Vision, Embedded AI und LLM-Anwendungen gearbeitet.
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