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Was sind rationale Zahlen?
Die rationalen Zahlen \(\mathbb{Q}\) sind eine der grundlegenden Zahlenmengen. Zu den rationalen Zahlen zählen alle Zahlen, die sich als Bruch schreiben lassen. Damit schließen die rationalen Zahlen auch die natürlichen Zahlen \(\mathbb{N}\) und die ganzen Zahlen \(\mathbb{Z}\) ein.
Abb - 1: Rationale Zahlen Zeichen
Rationale Zahlen – Zeichen
Das Zeichen für die Menge der rationalen Zahlen ist \(\mathbb{Q}\).
Die Menge der rationalen Zahlen umfasst ebenfalls die Menge der natürlichen Zahlen \(\mathbb{N}\) und die Menge der ganzen Zahlen \(\mathbb{Z}\).
| Zeichen | Beschreibung |
| \( \mathbb{N} \) | Natürliche Zahlen |
| \( \mathbb{Z} \) | Ganze Zahlen |
| \( \mathbb{Q} \) | Rationale Zahlen |
Rationale Zahlen – Zahlenstrahl
Um die rationalen Zahlen auf einem Zahlenstrahl, oder einer Zahlengeraden richtig darzustellen, kannst Du Dich an den ganzen Zahlen auf dem Zahlenstrahl orientieren und die rationalen Zahlen zwischen den jeweiligen ganzen Zahlen einzeichnen.
In dieser Abbildung siehst Du einige rationale Zahlen auf dem Zahlenstrahl.
Zu erkennen sind die rationalen Zahlen \( \mathbb{Q}= \left\{ -3,75;-1;\frac{1}{2};\sqrt{4};4,25 \right\}\).
Zwischen zwei Strichen, also zwei ganzen Zahlen, liegen jedoch unendlich viele rationale Zahlen.
Rationale Zahlen – Beispiele
Die Menge der rationalen Zahlen beinhaltet unendlich viele Zahlen, da es unendlich viele Zahlen \(x\) und \(y\) gibt, aus denen ein Bruch gebildet werden kann.
- \(137\) ist eine natürliche Zahl und damit auch eine rationale Zahl
- \(- 8\) ist eine ganze Zahl und damit auch eine rationale Zahl
- \(\frac{5}{8}\) ist ein Bruch und damit eine rationale Zahl
- \(0{,}5\) ist eine endliche Dezimalzahl, lässt sich auch als Bruch \(\frac{1}{2}\) schreiben und ist damit eine rationale Zahl
- \(0{,}\overline{6}\) ist eine periodische Dezimalzahl und lässt sich so als Bruch schreiben \(\frac{2}{3}\), ist also eine rationale Zahl
Rationale Zahlen – Rechnen
Beim Rechnen mit rationalen Zahlen können die Grundrechenoperationen \(+,\,-,\,\cdot\,,:\) angewendet werden. Du kannst jede Rechenart mit jeder rationalen Zahl anwenden und bekommst immer eine rationale Zahl heraus. Deshalb wird die Menge der rationalen Zahlen bezüglich der Addition, Multiplikation, Subtraktion und Division (außer durch 0) auch als abgeschlossen bezeichnet.
Beim Rechnen mit rationalen Zahlen kommt es auch darauf an, wie Deine Zahlen gegeben sind. Wenn zwei Zahlen x und y addiert, subtrahiert, multipliziert oder dividiert werden sollen, so ist es hilfreich, wenn beide Zahlen entweder als Bruch oder beide als Dezimalzahl vorliegen.
Wie Du einen Bruch in Dezimalzahl oder eine Dezimalzahl in Bruch umwandeln kannst, kannst Du in den Erklärungen dazu nachlesen.
Rationale Zahlen – Regeln
Um mit den rationalen Zahlen und den Grundrechenoperationen zu rechnen, kannst Du die gängigen Regeln und Rechengesetze anwenden:
Neben diesen Rechenregeln gibt es auch noch die Punkt-vor-Strichrechnung, das Potenzgesetz, das Wurzelgesetz und Regeln zum Klammern auflösen.
Wenn Du nicht mehr sicher bist, wie diese Rechenregeln funktionieren, dann schau gern in den zugehörigen Artikeln nach.
Rationale Zahlen addieren & subtrahieren
Rationale Zahlen können addiert und subtrahiert werden. Hier hast Du Beispiele für diese Berechnung.
Aufgabe 1
Du hast \(8\) Kekse und musst davon \(3\) an Deinen Freund abgeben? Wie viele Kekse hast Du dann noch?
Lösung
Wenn Du \(8\) Kekse hast und davon \(3\) abgeben musst, dann musst Du die \(3\) von der \(8\) subtrahieren.
\[8-3=5\]
Du hast am Ende noch \(5\) Kekse über.
Aufgabe 2
Angenommen Dein Freund möchte nur \(1{,}5\) Kekse essen und gibt Dir \(1{,}5\) Kekse wieder. Wie viele Kekse hast Du dann?
Lösung
Wenn Du jetzt noch \(5\) Kekse hast und Dein Freund Dir \(1{,}5\) Kekse wieder gibt, dann musst Du auf die \(5\) Kekse \(1{,}5\) rauf addieren.
\[5+1{,}5=6{,}5\]
Jetzt hast Du insgesamt \(6\) Kekse.
Rationale Zahlen multiplizieren
Zwei rationale Zahlen kannst Du auch miteinander multiplizieren, wenn Du alle Rechenregeln beachtest
Aufgabe 3
Du spielst ein Gewinnspiel und bezahlst dafür \(3\text{€}\). Du gewinnst und bekommst Du das anderthalb Fache wieder zurück. Wie viel Geld hast Du nun?
Lösung
Um zu berechnen, wie viel Geld Du bekommst, musst Du \(3\text{€}\) mit der Zahl \(1{,}5\) multiplizieren.
\[3\text{€} \cdot 1{,}5=4{,}5\text{€}\]
Du hast nach dem Gewinnspiel insgesamt \(4{,}5\text{€}\)
Rationale Zahlen dividieren
Beim Dividieren von rationalen Zahlen müssen auch immer alle Rechengesetze beachtet werden.
Aufgabe 4
Stell Dir vor, Du zahlst \(72{,}34\text{€}\) für \(35 \, l\) Diesel. Wie viel kostet dann \(1\,l\) Diesel?
Lösung
Um herauszufinden, wie viel \(1\, l\) Diesel kostet, musst Du die \(72{,}34\text{€}\) durch die \(35\,l\) dividieren.
\[72{,}34\text{€}:35\, l=2{,}07\text{€}\]
Für einen Liter Diesel, musst Du 2{,}07\text{€}\) bezahlen.
Rationale Zahlen – Weitere Aufgaben mit Lösung
In diesem Abschnitt findest Du ein paar Aufgaben, mit denen Du Dein Wissen zu rationalen Zahlen vertiefen kannst.
Aufgabe 5
Welche der folgenden Zahlen sind rationale Zahlen?
- \(4{,}5\)
- \(\pi\)
- \(\frac{3}{2}\)
- \(\sqrt{3}\)
- \(1\)
Lösung
\(4{,}5\,\,,\frac{3}{2}\) und \(1\) gehören zu den rationalen Zahlen.
Aufgabe 6
Stell Dir vor, Du zahlst \(78{,}56\text{€}\) für \(40 \, l\) Benzin. Wie viel kostet dann \(1\,l\) Benzin?
Lösung
Um herauszufinden, wie viel \(1\, l\) Benzin kostet, musst Du die \(78{,}56\text{€}\) durch die \(40\,l\) dividieren.
\[78{,}56\text{€}:40\, l=1{,}96\text{€}\]
Für einen Liter Benzin, musst Du 1{,}96\text{€}\) bezahlen.
Nachweise
- Körner (2011). Grundwissen Rationale Zahlen: 7.-10. Klasse. Bergedorfer Kopiervorlagen.
- Harnischfeger; Juen (2013). Ganze Zahlen - Rationale Zahlen. Klippert.
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Häufig gestellte Fragen zum Thema Rationale Zahlen
Was sind rationale Zahlen einfach erklärt?
Rationale Zahlen sind Zahlen, die sich als Bruch von zwei ganzen Zahlen x und y schreiben lassen, oder als Dezimalzahl mit endlich vielen Nachkommastellen.
Kann eine rationale Zahl negativ sein?
Ja, eine rationale Zahl kann auch negativ sein.
Was ist der Unterschied zwischen irrationalen und rationalen Zahlen?
Rationale Zahlen lassen sich als Bruch von zwei ganzen Zahlen x und y schreiben. Irrationale Zahlen lassen sich im Gegensatz zu den rationalen Zahlen nicht als Bruch von zwei ganzen Zahlen x und y schreiben.
Was ist das Zeichen für rationale Zahlen?
Das Zeichen für die rationalen Zahlen ist ein Q mit einem Doppelstrich.
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