Rechenvorteile

Gesucht ist das Ergebnis der Summe:

$35+7=?$

Hier hast Du zwei Zahlen gegeben, die nicht voll sind. Um Dir die Addition zu erleichtern kannst Du die Rechnung aufteilen und zuerst die Summe der Einerstellen bilden. Das Ergebnis, das Du so erhältst kannst Du anschließend zu Deiner so entstanden, vollen Zehnerzahl dazu addieren:

$$\begin{gathered} 35+7=30+(5+7) \\ =30+12 \\ =42 \end{gathered}$$

Denkst Du an das Beispiel aus der Einleitung, so war das Ergebnis der Summe

$21+17+9=?$

$\begin{array}{rcl}21+17+9& =& (21+17)+9\\ & =& 38+9\\ & =& 47\end{array}$

Julia wendete einen mathematischen Trick an. Sie sieht, dass $21+9$ eine volle Zahl ergibt, nämlich 30. Damit bekam sie als Zwischenergebnis eine volle Zahl und konnte so schnell und effizient das Endergebnis berechnen:

$\begin{array}{rcl}21+17+9& =& (21+9)+17\\ & =& 30+17\\ & =& 47\end{array}$

Julia konnte so die gegebene Rechenaufgabe vorteilhaft, mithilfe eines mathematischen Tricks, lösen.

Gesucht ist die Lösung der Summe:

$89+12+1+98+397+14+3=?$

Nun wendest Du das Kommutativgesetz an. Bei der gegebenen Summe suchst Du erneut Zahlen heraus, die addiert wiederum ganze Zahlen ergeben und stellst die Rechnung dementsprechend um. Die Klammern können aufgrund der Geltung des Assoziativgesetzes wieder beliebig gesetzt werden:

$\begin{array}{rcl}89+12+1+98+397+14+3& =& (89+1)+(12+98)+(397+3)+14\\ & =& 90+110+400+14\\ & =& 200+400+14\\ & =& 600+14\\ & =& 614\end{array}$

Somit konntest Du aus eine lange Summe geschickt umstellen um diese effizient auszurechnen.

Gesucht ist Die Lösung der folgenden Rechnung:

$72-19=?$

Hier hast Du zwei Zahlen gegeben, die nicht voll sind und voneinander abgezogen werden sollen. Um Dir die Subtraktion zu erleichtern kannst Du Dir überlegen, wie Du eine voll Zahl bekommen kannst. Bei der 19 fehlt beispielsweise nur 1 zur 20. Um nun die Rechnung nicht zu verfälschen, musst Du auch bei der 72 die 1 dazuzählen. So heben sich die Zahlen wieder auf und Du kommst auf das gleiche Ergebnis, aber Du kannst mit einer vollen Zahl rechnen. Deine Rechnung sieht dann wie folgt aus:

$\begin{array}{rcl}72-19& =& 72+1-19-1\\ & =& 73-20\\ & =& 53\end{array}$

Gesucht ist Die Lösung der folgenden Rechnung:

$91-29-8-11-2=?$

Du kannst die Subtrahenden wie folgt vertauschen, um mit volle Zahlen zu rechnen:

$\begin{array}{rcl}91-29-8-11-2& =& 91-29-11-8-2=?\\ & =& 91-40-10\\ & =& 91-50\\ & =& 41\end{array}$

Gesucht ist das Produkt aus den Zahlen:

$2·18·5=?$

Hier kannst Du Dein Produkt mithilfe des Kommutativgesetzes so umstellen, dass Du zuerst $2·5=10$ ausrechnest und anschließend die 18 mit einer vollen Zahl, der 10 multiplizieren kannst.

Deine Rechnung würde dann so aussehen:

$\begin{array}{rcl}2·18·5& =& 2·5·18\\ & =& 10·18\\ & =& 180\end{array}$

Gegeben ist die folgende Rechnung:

$5·23·6=?$

Hier kannst Du wieder schauen, ob Du das Kommutativgesetz geschickt anwenden kannst um eine volle Zahl zu erhalten. Durch die Geltung des Assoziativgesetzes kannst Du Deine Klammern ebenfalls beliebig setzen. In diesem Fall kannst Du zuerst $5·6$ ausrechnen, da Du so eine volle Zahl, die 30, erhältst:

$\begin{array}{rcl}5·23·6& =& \left(5·6\right)·23\\ & =& 30·23\end{array}$

Um $30·23$ zu berechnen kannst Du einen mathematischen Trick anwenden. Du kannst die Zahl 30 in einzelne Produkte aufteilen, denn $30=3·10$. Somit kannst Du die 23 mit der Zahl 3 im Kopf multiplizieren und anschließend mit der 10 multiplizieren um das Gesamtergebnis zu erhalten. Multiplizierst Du eine Zahl mit der Zahl 10, so erhältst Du das Ergebnis, indem Du an diese Zahl eine 0 anhängst. Somit sieht Deine Rechnung wie folgt aus:

$$\begin{gathered} 30·23=(3·23)·10 \\ =69·10 \\ =690 \end{gathered}$$

Gesucht ist die Lösung der folgenden Aufgabe:

$108:12=?$

Um Die Division schnell ohne Taschenrechner durchführen zu können ist es vorteilhaft, diese aufzuteilen. Die 12 setzt sich beispielsweise entweder aus $2·6$ oder $3·4$ zusammen. Oft ist es hilfreich, eine Zahl zuerst durch den kleinstmöglichen Teiler zu teilen. Da 108 eine gerade Zahl ist weißt Du, dass sie durch 2 teilbar sein muss. Die 2 ist in diesem Fall der kleinstmögliche Teiler. Somit kannst Du Deine Rechnung folgendermaßen aufteilen:

$108:2:6=?$

Als nächstes kannst Du $108:2$ ausrechnen. Wenn Du etwas durch 2 teilst ergibt es genau die Hälfte der ursprünglichen Zahl, in diesem Fall 54:

$108:2=54$

Nun musst Du noch $54:6$ ausrechnen. Durch das große Einmaleins weißt Du, dass $6·9=54$ gilt, weshalb Dein Ergebnis nun lautet:

$54:6=9$

Damit hast Du die Lösung Deiner Aufgabe gefunden. Die Rechnung im Ganzen siehst Du im Folgenden nochmal:

$\begin{array}{rcl}\begin{array}{ccc}108& :& 12\end{array}& =& \begin{array}{cccc}108& :& 2& \begin{array}{cc}:& 6\end{array}\end{array}\\ \begin{array}{ccccc}108& :& 2& :& 6\end{array}& =& \begin{array}{ccc}54& :& 6\end{array}\\ & =& 9\end{array}$

Wenn beispielsweise in einem Produkt Deine beiden Potenzen die gleiche Basis haben kannst Du dieses Gesetz anwenden:

$a^s·a^t=a^{s+t}$

Deine Exponenten können somit addiert werden und die Basis bleibt dieselbe.

Du hast beispielsweise folgende Aufgabe gegeben:

$5^2·5^6=?$

Die Basis 5 bleibt erhalten und die Exponenten werden addiert, um Dein Ergebnis zu erhalten:

$5^2·5^6=5^{2+6}=5^8=390625$

Wenn in einem Produkt beide Potenzen eine unterschiedliche Basis haben, jedoch der Exponent gleich ist, so kannst Du die Rechnung so verkürzen:

$a^s·b^s={(a·b)}^s$

Du hast beispielsweise folgende Aufgabe gegeben:

$2^4·3^4=?$

Die Basis 5 bleibt erhalten und die Exponenten werden addiert, um Dein Ergebnis zu erhalten:

$2^4·3^4={(2·3)}^4=6^4=1296$

Gesucht ist das Ergebnis folgender Aufgabe:

$3·9+3·2-3·4=?$

Du hast als konstanten Faktor in den Produkten jeweils die 3 gegeben. Durch das Distributivgesetz kannst Du diesen ausklammern und so diese Aufgabe effizient verkürzen, ohne dass Du die Summe und Differenz aus großen Zahlen bilden musst:

$\begin{array}{rcl}3·9+3·2-3·4& =& 3·(9+2-4)\\ & =& 3·7\\ & =& 21\end{array}$

Aufgabe 1

Rechne folgende Aufgabe geschickt aus:

$19+8+3+1+32=?$

Lösung

Bei dieser Aufgabe ist eine Summe gesucht. Bei Summen darfst Du das Kommutativgesetz anwenden, also die Zahlen in beliebiger Reihenfolge addieren, sowie das Assoziativgesetz, also Klammern beliebig setzen. Um Die Aufgabe geschickt zu lösen, schaust Du wieder, ob die Zahlen sich so addieren lassen, dass Du volle Zahlen erhältst und mit diesen weiterrechen kannst. Damit kannst Du die Aufgabe wie folgt lösen:

$\begin{array}{rcl}19+8+3+1+32& =& (19+1)+(32+8)+3\\ & =& 20+40+3\\ & =& 60+3\\ & =& 63\end{array}$

Aufgabe 2

Löse folgende Aufgabe geschickt:

$4·3·11·5=?$

Lösung

In diesem Fall ist es geschickt, das Kommutativgesetz anzuwenden und zuerst $4·5$ auszurechnen, da Du so eine volle Zahl, die 20 erhältst. Durch die Geltung des Assoziativgesetzes, kannst Du Deine Klammern beliebig setzen. Das Ergebnis kannst Du anschließend mit der Zahl 11 multiplizieren. Zwar hast Du hier zwei große Zahlen, allerdings kannst Du $11·2$ rechnen und das Ergebnis mit 10 multiplizieren, also an das Ergebnis eine 0 anhängen. Das Ergebnis dieser Rechnung wiederum kannst Du dann mit der 3 multiplizieren. Deine Gesamtrechnung würde dann so aussehen:

$\begin{array}{rcl}4·3·11·5& =& (4·5)·11·3\\ & =& 20·11·3\\ & =& \left(2·11\right)·10·3\\ & =& 22·10·3\\ & =& 220·3\\ & =& (22·3)·10\\ & =& 66·10\\ & =& 660\end{array}$

Aufgabe 3

Rechne folgende Aufgabe geschickt aus:

$2·9+81·2-2·3=?$

Lösung

Bei dieser Aufgabe sind Produkte und Summen enthalten. Du hast als konstanten Faktor in den Produkten jeweils die Zahl 2 gegeben. Durch das Distributivgesetz kannst Du diesen ausklammern und so diese Aufgabe effizient verkürzen, ohne dass Du die Summe und Differenz aus großen Zahlen bilden musst:

$\begin{array}{rcl}2·9+81·2-2·3& =& 2·(9+81-3)\\ & =& 2·(100-3)\\ & =& 2·97\\ & =& 194\end{array}$