Rechnen mit Größen

Stellenwerttafel Volumen

Am folgenden Beispiel kannst Du den Aufbau einer Stellenwerttafel erkennen.

H = Hunderter

Z = Zehner

E = Einer

Du möchtest $6m^3$ in $m{m}^3$ umwandeln.

Dazu trägst Du als Erstes die $6$ bei den Einern von $m^3$ ein.

Dann schreibst Du in jede Stelle bis zu den Einern von $mm3$ eine $0$, da Du von einer größeren Einheit in eine Kleinere umwandelst.

Jetzt kannst Du anhand der Tabelle sehen: $6m^3=6000000000m{m}^3$.

Du möchtest $45000m{m}^3$ in $c{m}^3$ umwandeln.

Dazu trägst Du als Erstes die $45000$ ein und beginnst mit der letzten Ziffer bei den Einern von $m{m}^3$.

Dann streichst Du jede Stelle bis zu den Einern von $c{m}^3$weg.

Die Tabelle zeigt somit: $45000m{m}^3=45c{m}^3$.

Du hast einen Grundriss Deiner Wohnung vorliegen und möchtest wissen, wie groß die Wohnfläche ist.

Du rechnest hier wie bei der Addition alle Summanden zusammen:

$12m^2+8m^2+5m^2+20m^2+10m^2=55m^2$

Nachdem Du alle Flächen der Zimmer miteinander addiert hast, weißt Du also, dass die gesamte Wohnfläche beträgt.

Es sind $1,5km$ vom Supermarkt bis zu Deiner Oma. Wenn Du die Abkürzung zwischen den beiden Häuserblocks am Park nimmst, hast Du $300m$ gespart.

Wie viel Meter liegen dann noch vor Dir?

Da das gesuchte Ergebnis in Metern angegeben werden soll, ist es sinnvoll, die Einheiten auf Meter umzuwandeln.

$1,5km=1500m$

Dann nimmst Du den Minuend $1500m$ und ziehst den Subtrahend $300m$ davon ab.

$1500\mathrm{m}-300\mathrm{m}=1200\mathrm{m}$

Es liegen also noch $1200$ Meter vor Dir.

Der Hausmeister an Deiner Schule bittet Dich auszurechnen, wie groß Schulhof A und C der vier Schulhöfe sind.

$$\begin{gathered} SchulhofA:300m^2 \\ SchulhofB:400m^2 \\ SchulhofC:300m^2 \\ SchulhofD:250m^2 \end{gathered}$$

Du schreibst also auf:

$$\begin{gathered} SchulhofA:300m^2;SchulhofB:300m^2 \\ 2*300m^2=600m^2 \end{gathered}$$

Du kannst dem Hausmeister sagen, dass die beiden relevanten Schulhöfe insgesamt $600m^2$ groß sind.

Deine Mutter fragt sich, wie viel $m^2$ ihre neue Terrasse groß sein wird, wenn die eine Seite $5m$ und die andere Seite$10m$lang ist. Wie groß ist die neue Terrasse?

$SeiteA:5m;SeiteB:10m$

Du rechnest also:

$\begin{array}{rcl}a·b& =& A\\ & & \\ 5·10& =& 50\end{array}$

Und

$m·m=m^2$

Als letzten Schritt führst Du die errechnete Maßzahl und die errechnete Größe zusammen und erhältst: $50m^2$.

Vor Dir liegt ein Brett von $2m$ Länge. Du möchtest es in $50cm$ lange Stücke schneiden.

In wie viele Stücke kannst Du das Brett teilen?

Als Erstes überlegst Du Dir, welche Einheit für die Berechnung sinnvoll ist. Da das Rechnen mit geraden Zahlen am einfachsten ist, wandelst Du die Länge des Brettes in Zentimeter (cm) um.

$2m=200cm$

Das $200cm$ lange Brett ist der Dividend. Den teilst Du durch den Divisor, hier im Beispiel sind das $50cm$ für jedes Stück.

$200cm÷50cm=4$

Die Maßeinheit hebt sich beim Teilen auf, sie wird weggekürzt. Das Ergebnis stellt die Anzahl der Stücke dar, die Du aus dem Brett erhalten hast.

Du kannst das Brett also in 4 Stücke zu je 50 cm teilen.

Du verabredest Dich mit einem Freund zum Joggen und er fragt Dich, wie lang die ausgesuchte Route ist.

Ganz genau genommen wäre sie $5,455km$ lang.

Vereinfacht kannst Du da natürlich sagen, dass die Route rund $5,5km$ lang ist.

Du suchst im Möbelhaus nach einem neuen Schreibtisch.

Der Schreibtisch, der Dir auf den ersten Blick am besten gefällt, ist $1,50m$ lang.

Deine vorher gemessene Wand ist exakt $1,45m$ lang.

Wenn Du jetzt runden würdest, hättest Du ein Problem. Die Wand wird ja nicht länger und da ist ein exaktes Maß wichtig, weil der Schreibtisch sonst nicht an seinen Platz passen würde.

Aufgabe 1

a)

Max bereitet sich auf eine Klausur in Mathe vor und lernt von $13:30-18:30Uhr$. Wie lange hat Max für die Mathe-Klausur gelernt?

b)

Lisa und Jasmin schauen sich im Kino einen Film an. Dieser dauert $2h12min$. Um $22:42Uhr$ ist die Vorstellung zu Ende. Wann hat der Film angefangen?

Lösung

a)

Zunächst wird der Zeitraum in Minuten umgerechnet und im Anschluss werden diese miteinander addiert und zur Vereinfachung in die größere Einheit umgewandelt.

$$\begin{gathered} 13:30-14:00\Rightarrow 30min \\ 14:00-18:00\Rightarrow 4h=240min \\ 18:00-18:30\Rightarrow 30min \\ 30min \\ +240min \\ +30min \\ =300min \\ 300min\Rightarrow 300min÷60min=5 \end{gathered}$$

Max hat also insgesamt $5h$ für die Klausur gelernt.

b)

Hier wird die Filmdauer zunächst auf eine gemeinsame Einheit gebracht und die Gesamtlänge ausgerechnet. Dann wird die Differenz der Uhrzeit vom Filmende bis zur nächsten geraden Uhrzeit berechnet.

Diese wird von der Gesamtlänge subtrahiert, sodass die Restdauer übrig bleibt. Diese wiederum wird von der Uhrzeit abgezogen und führt zur Uhrzeit des Filmbeginns.

$\begin{array}{rcl}2h& =& 120min\\ 120min+12min& =& 132min\end{array}$

$\begin{array}{rcl}22:42-22:00& \Rightarrow & 42min\end{array}$

$$\begin{gathered} 132min \\ -42min \\ =90min \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} 60min\Rightarrow 22:00-21:00 \\ 30min\Rightarrow 21:00-20:30 \end{gathered}$$

Der Film hat um $20:30Uhr$ begonnen.

Aufgabe 2

Rechne die gegebenen Zeiteinheiten in die jeweils anderen um. Achte darauf, welche Einheit gegeben und gesucht ist.

$a)20min÷4b)2·30minc)2h÷30mind)3,5min·10e)240s÷6$

Lösung

$a)5minb)60min=1hc)4d)35mine)4sec$

Aufgabe 3

a)

Stefan geht dreimal die Woche zum Fußball-Training. Eine Trainingseinheit dauert $120min$.

Wie viele Stunden trainiert Stefan in einem Jahr?

b)

Weil Moritz länger krank war, hat er auf der Arbeit $360$ Fehlstunden. Ein normaler Arbeitstag dauert $8$ Stunden. Wie viele Tage hat Moritz gefehlt?

Lösung

a)

Als Erstes wird ein Jahr in Wochen umgewandelt. Diese, multipliziert mit der Anzahl von wöchentlichen Trainingseinheiten, ergibt die Gesamtzahl an Trainingseinheiten im Jahr.

Die Trainingseinheiten werden in Minuten umgewandelt und diese dann zur Vereinfachung in die größere Einheit Stunden.

$\begin{array}{rcl}1Jahr& =& 53Wochen\\ & & \\ 53·3& =& 159\\ & & \\ 120min& =& 2h\\ & & \\ 159·2h& =& 318h\end{array}$

Stefan trainiert in einem Jahr $318$ Stunden.

b)

Die Fehlstunden werden durch die Stunden eines normalen Arbeitstages geteilt, sodass als Lösung die Zahl der gefehlten Arbeitstage herauskommt.

$360h÷8h=45$

Moritz hat 45 Tage gefehlt.

Aufgabe 4

Wenn unterschiedliche Einheiten angegeben sind, gib bei der Lösung für jede Einheit das Ergebnis an.

Lösung

$a)38mb)68cmc)9dm/90cmd)370mm/37cme)3,3km/3300m$

Aufgabe 5

$a)700mg+30gb)7t-3.000kgc)6·13kgd)88kg÷2e)840mg÷4mg$

Lösung

$a)30.700mg/30,7gb)4t/4.000kgc)78kgd)44kge)210$

Aufgabe 6

$a)25l+4.000mlb)85m^3+30,65m^3-780,30c{m}^{3}c)7.000l÷500d)7·80m^{3}e)50c{m}^3÷5c{m}^3$

Lösung

$a)29l/29.000mlb)115,64922m^3/115.649.220c{m}^{3}c)14ld)560m^{3}e)10$

Aufgabe 7

a) Frau Schmitz möchte einen Schrebergarten pachten, der möglichst viel Platz bietet. Zur Auswahl stehen folgende Schrebergärten:

$SchrebergartenA(40mlangund20mbreit);SchrebergartenB(30mlangund30mbreit)$

Für welchen Garten soll sie sich entscheiden?

$b)17·30m^{2}c)50m^2+2,45d{m}^{2}d)50k{m}^2÷5k{m}^2$

Lösung

a)

Schrebergarten A

$40m·20m=800m$²

Schrebergarten B

$30m·30m=900m$²

Frau Schmitz sollte sich für Schrebergarten B entscheiden, da dieser mehr Platz bietet.

$b)510m^{2}c)5.002,45d{m}^2/2,475m^{2}d)10$