Schnittmenge

Schnittmenge – Grundlagenwissen

Der Begriff der Menge ist in der Mathematik und hierbei in der Mengenlehre sehr zentral. Viele Dinge, seien es die Buchstaben im Alphabet, lassen sich als Elemente einer Menge beschreiben. Diese Elemente werden in das Objekt einer konstruierten Menge eingefügt. Dazu zählen die bekannten Freunde, aber auch Zahlen mit Bedingungen, sie müssen sich eben ähneln. Dabei gibt es verschiedene Arten von Mengenverknüpfungen.

Die Schnittmenge im Beispiel aus der Einleitung sind die Jugendlichen Peter und Louis. Sie teilen sich insgesamt zwei Aktivitäten, deshalb gehören sie sowohl in die Menge der Leute, die Filme ansehen, als auch zu denen, die Basketball spielen. In diesem Artikel wirst Du Näheres zur Schnittmenge erfahren.

Abbildung 1: Schnittmenge zu zwei Freundeskreisen mit unterschiedlichen Hobbys

Wenn Menge A und B keine gemeinsamen Elemente miteinander besitzen, dann sind sie disjunkt, also sie schneiden sich nicht. So ist es in der nachfolgenden Grafik der Fall. Es gibt verschiedene Tiere aus dem Bereich der Säugetiere und wiederum andere aus der Klasse der Fische. Diese Tiere haben untereinander keine Gemeinsamkeiten, also keine Schnittmenge.

Abbildung 2: Disjunkte Mengen für Säugetiere und Fische

Eine Vereinigungsmenge beleuchtet jene Elemente, welche in A oder in B enthalten sind. Die Differenzmenge wie zum Beispiel $A\backslash B$ zeigt diese auf, welche in A, aber nicht in B vorkommen. Eine Mengenverknüpfung, bei der sich Mengen Elemente teilen, nennt man Schnittmenge oder auch Durchschnittsmenge. Wenn eine Menge alle Elemente der zweiten Menge enthält gibt es eine Teilmenge. Zur Teilmenge wirst Du im späteren Verlauf im Bezug auf die Schnittmenge noch einiges erfahren.

Schnittmenge – Definition und Bedeutung

Die Schnittmenge ist eine der elementaren Mengenverknüpfungen, da sie vor allem für die Differenzmenge, aber auch für die Symmetrische Differenz verwendet wird. Dabei handelt es sich um den Teil, bei dem sich Elemente in der einen und der anderen Menge befinden.

Schreibweise der Schnittmenge

Mathematisch lässt sich die Durchschnittsmenge formal beschreiben, um nicht nur in Textform zu erläutern, welche Bedingungen die Elemente der Mengen erfüllen müssen.

Das x ist eine Beschreibung für jedes Element der Ergebnismenge, für das gelten soll, dass es sowohl in A als auch in der Menge B enthalten sein soll. Das Symbol $\wedge$steht für ein "logisches Und", also beide Bedingungen müssen gelten, im Gegensatz zu einem "logischen Oder", das Dir später noch begegnen wird.

Rechenregeln der Schnittmenge

Die Durchschnittsmenge ermöglicht verschiedene Rechengesetze anzuwenden. Dabei sind Dir die ersten beiden von der Addition und Subtraktion bekannt. Dabei gelten:

• das Kommutativgesetz: $A\cap B=\hspace{0.17em}B\cap A$
• das Assoziativgesetz: $(A\cap B)\cap C=\hspace{0.17em}A\cap (B\cap C)$

Schnittmenge berechnen

Die Schnittmenge zu ermitteln ist sowohl grafisch als auch anhand von gegebenen Mengen in Textform möglich.

Bestimmung der Schnittmenge

Das allgemeine Vorgehen, um die Schnittmenge zu erhalten, ist nachfolgend gegeben:

• Markiere alle Elemente, die in beiden Mengen enthalten sind.
• Diese markierten Elemente werden danach in die Ergebnismenge gegeben.

Dieses Vorgehen wird Dir in einem kleinen Beispiel erläutert. Dafür sind Dir die folgenden Mengen gegeben:

$A=\{3,4,5,6,7\}$, $B=\hspace{0.17em}\{6,7,8\}$

Du kannst also jene Elemente aus Menge A und B markieren, die in beiden enthalten sind und danach in die Ergebnismenge schreiben. Hierbei ist das Ergebnis:

$A=\{3,4,5,6,7\}$

$B=\hspace{0.17em}\{6,7,8\}$

$A\cap B=\{6,7\}$

Schnittmenge – Beispiele

Nun sollen die sechs Freunde wieder einen kleinen Auftritt erhalten. Damit Du die Schnittmenge berechnen kannst, musst Du erst die essentiellen Informationen aus dem Beispiel entnehmen. Louis, Peter, Anna und Simon sind also dabei eine Streamingplattform nach ihren Lieblingsfilmen und -serien zu durchforsten. Dagegen wollen sich Peter, Louis, Philipp und Jonas sportlich betätigen. Als Angaben sind also gegeben:

• $A=\{\mathit{L}\mathit{o}\mathit{u}\mathit{i}\mathit{s},\mathit{P}\mathit{e}\mathit{t}\mathit{e}\mathit{r},Anna,Simon\}$
• $B=\hspace{0.17em}\{\mathit{P}\mathit{e}\mathit{t}\mathit{e}\mathit{r},\mathit{L}\mathit{o}\mathit{u}\mathit{i}\mathit{s},Philipp,Jonas\}$

Abbildung 3: Schnittmenge zu zwei Freundeskreisen mit unterschiedlichen Hobbys

Das soll zwar erst der nächste Schritt sein, doch die Personen, die in Menge A und B enthalten sind, wurden bereits markiert. Das Ergebnis ist also:

$A\cap B=\hspace{0.17em}\{Louis,Peter\}$

Beide wollen sich also nicht nur für eine der beiden Aktivitäten – Sport treiben oder Serien streamen – entscheiden.

Schnittmenge – leere Menge und Teilmengen

Für verschiedene Aufgaben und das ein oder andere Beispiel in der Mathematik gibt es oftmals auch gewisse Sonderfälle. Die werden Dir hier noch etwas klarer, denn Mengen müssen eben nicht nur in der Form angegeben sein, dass sich Menge A und B schneiden.

Schnittmenge – Sonderfall leere Menge

Die leere Menge für die Schnittmenge kann sowohl in der Angabe als auch im Ergebnis vorkommen.

• Ist sie in der Angabe gegeben, besitzt eine der beiden Mengen, also A oder B keine Elemente. Intuitiv würdest Du wahrscheinlich auch richtig vorgehen. Da Du eine Menge gegeben hast, die keine Elemente beinhaltet, können beide keine gemeinsamen besitzen, also ist "A geschnitten B" auch nur die leere Menge, kurz: $A\cap B=\left\{\right\}$.
• Hier könnte für die Menge A die Zahl 1 gegeben sein und für B die Zahl 2. Auch hier besitzen beide keine gemeinsamen Elemente. Grafisch gesehen hätten beide keinen Schnitt. Damit ist auch hier das Ergebnis die leere Menge.

Schnittmenge – Sonderfall (echte) Teilmenge

Wenn Du Dir also Grafiken ansiehst, hast Du bereits eine besondere Angabe von Mengen kennengelernt. Es gibt aber auch noch weitere. Eine Menge kann die andere enthalten, das ist auch hier der Fall. Während bei einer echten Teilmenge eine Menge alle Elemente der anderen enthält, aber sich noch zusätzlich eigene befinden, sind bei einem nicht echten Fall beide identisch.

In der Grafik ist Dir ein Fall einer echten Teilmenge gegeben.

Da nun zwar ein Wal, ein Elefant und eine Fledermaus zu den Säugetieren zählen, aber zu den Tieren auch ein Aal und ein Pinguin gehören, ist das ein klassisches Beispiel für eine echte Teilmenge. Auch hier wieder die Elemente markieren, welche in die Durchschnittsmenge gehören:

Würden nun die Menge Tiere auch nur die drei Säugetiervertreter beinhalten, hätten beide Mengen exakt dieselben Elemente. Für diesen Fall wären beide identisch, da sowohl A eine Teilmenge von B, als auch B eine Teilmenge von A ist. Es gilt also:

$A=B:\hspace{0.17em}A\cap B=A=B$

Wenn Du Dir eine Aufgabe zu verschiedenen Zahlen ansiehst, wird Dir dieses Konzept auch klarer.

Schnittmenge – Sonderfall (paarweise) disjunkt und mehr als zwei Mengen

Wenn sich zwei Mengen keine gemeinsamen Elemente teilen und dementsprechend auch keine Schnittmenge besitzen, sind beide Mengen disjunkt. Die Schnittmenge beider Mengen ist dabei immer die leere Menge. Da Du bereits dieses Beispiel erklärt bekommen hast, soll es nochmal angefügt werden. Säugetiere und Fische sind zwei verschiedene Klassen im Stamm der Wirbeltiere. Ein Wal kann also nie ein Fisch sein und ein Aal auch nicht ein Säugetier.

Abbildung 6: Disjunkte Mengen für Säugetiere und Fische (2)

Sollen mehr als zwei Mengen miteinander geschnitten werden und alle Mengen untereinander sind zueinander disjunkt, tritt der Sonderfall ein, dass alle Mengen paarweise disjunkt sind. Besitzt zum Beispiel die Menge A die Zahl 1, B die Zahl 2 und C die 3. In diesem Fall ist A zu B, genauso wie B zu C und A zu C disjunkt. Für keine der Mengen gibt es eine Schnittmenge. Dann sind alle zueinander paarweise disjunkt.

Drei Mengen können zueinander aber durchaus Schnittmengen beinhalten. Dann ist interessant, nach welcher Schnittmenge gefragt ist. Es gibt dabei grundsätzlich zwei wesentliche Möglichkeiten (hierbei sollen nun die Mengen A, B und C angegeben sein):

• es ist nach der Schnittmenge $A\cap B$, $B\cap C$ oder $A\cap C$ gefragt. Die Mengen können, wegen des Kommutativgesetzes auch vertauscht angegeben werden. Für jeden der drei Fälle geht man vor, wie bislang. Man sucht alle Elemente heraus, die in der einen und anderen Menge enthalten sind und fügt sie zur Schnittmenge zusammen.
• Die Durchschnittsmenge von $A\cap B\cap C$ erhältst Du, indem du für alle drei Mengen prüfst, ob Elemente in allen dreien vorkommen. Diese sind dann deine Schnittmenge.

Schnittmenge – Vereinigungsmenge zur Abgrenzung

Im Zusammenhang mit der Schnittmenge wird oftmals auch nach der Vereinigungsmenge gefragt. Das ist auch gar nicht verwunderlich, da die zwei elementaren Operationen der Logik hierbei Verwendung finden. Die Schnittmenge wurde Dir definiert als Ergebnismenge für den Fall, dass Elemente in A UND in B enthalten sind. Die Vereinigungsmenge ist dabei die Menge, die Elemente in A ODER in B besitzt.

Abbildung 7: Vereinigungsmenge als Unterschied zur Schnittmenge

Bei der Vereinigungsmenge werden also die beiden gegebenen Mengen zusammengeführt und sämtliche Elemente angegeben, die in mindestens einer Menge enthalten sind.

Für das Beispiel ist die Vereinigungsmenge also:

$A\cup B=\hspace{0.17em}\{A,\hspace{0.17em}C,F,G,I,X,Z\}$

An dieser Stelle wäre es durchaus interessant, sich noch einmal das Beispiel der Freundesgruppen mit den verschiedenen Hobbys anzusehen. Dabei gibt es insgesamt die Personen Anna, Simon, Louis, Peter, Jonas und Philipp. In einer Vereinigungsmenge tauchen also alle Personen auf, deshalb gilt:

$A\cup B=\hspace{0.17em}\{Anna,Simon,Louis,Peter,Jonas,Philipp\}$

Schnittmenge – Übungen

Am Ende kannst Du dein nun theoretisch erlangtes Wissen praktisch anwenden.