Substitution

Die erste Potenz der Gleichung ist gerade, die zweite Potenz jedoch ungerade. Die Substitution darf trotzdem angewandt werden:$$a{x}^6+b{x}^3+c=0$$

Da Du die Gleichung nicht einfach so nach x auflösen kannst, substituierst Du die Gleichung zur Vereinfachung.$$\begin{array}{rl}2x^4-18x^2& =-40|+40\end{array}$$

Bringe alles auf eine Seite und setze gleich 0.$$\begin{array}{rl}2x^4-18x^2& +40=0\end{array}$$

1. Schritt: Substitution

Die gegebene Gleichung wird substituiert, indem Du alle x² durch u ersetzt.

→ Substitution $x^2=0$

$$\begin{array}{r}2x^2\cdot x^2-18x^2+40=0\\ 2u^2-18u+40=0\end{array}$$

2. Schritt: Löse die Gleichung mit u

Diese Gleichung kannst Du mit der Mitternachtsformel oder p-q-Formel lösen. Schau Dir hierzu gerne nochmal die passenden Artikel an, falls Du die beiden Lösungsverfahren wiederholen möchtest. Da vor dem höchsten Exponenten eine Zahl steht, kannst Du die Mitternachtsformel anwenden:$$\begin{array}{rl}{u}_{1/2}& =\frac{-(-18)\pm \sqrt{(-18{)}^2-4\cdot 2\cdot 40}}{2\cdot 2}=\frac{18\pm \sqrt{4}}{4}=\frac{18\pm 2}{4}\\ u_1& =\frac{18+2}{4}=5\\ u_2& =\frac{18-2}{4}=4\end{array}$$

3. Schritt: Resubstitution

Jetzt ganz wichtig: Du bist nun noch nicht fertig, denn Du hast nur die Lösungen für u rausgefunden! Dich interessieren aber die Lösungen für x. Am Anfang hast Du x² durch u substituiert. Das musst Du jetzt wieder resubstituieren.

Nun kannst Du x aus den Lösungen für u berechnen. Dazu ersetzt Du u mit x²:$$\begin{array}{rl}{u}_1=5& \leftrightarrow x^2=5\\ u_2=4& \leftrightarrow x^2=4\end{array}$$

4. Schritt: Wurzel ziehen

Im letzten Schritt nimmst Du die ursprüngliche Gleichung und formst sie um. Da du vorhin x² für u gesetzt hast, ist x einfach die Wurzel aus u. Um x zu erhalten, ziehst Du die passende Wurzel. Beachte, dass Du beim Wurzelziehen immer zwei Lösungen hast und die Wurzel aus negativen Zahlen nicht existiert.

$$\begin{array}{rl}{x}^2& =5|\sqrt{}\\ x_{1/2}& =\pm \sqrt{5}\end{array}$$

$$\begin{array}{rl}{x}^2& =4|\sqrt{}\\ x_{1/2}& =\pm 2\end{array}$$

Insgesamt hat die Gleichung vier Lösungen.

$$x=\sqrt{x^2}=u$$

Berechne die Nullstellen folgender Gleichung:$$2\cdot {\left(\underset{u}{\underbrace{\sqrt[4]{(x-3)}}}\right)}^2+\underset{u}{\underbrace{\sqrt[4]{x-3}}}-3=0$$

Wie Du siehst, sind hier zwei gleiche Wurzeln vorhanden und deshalb kann die Substitution durchgeführt werden:

1. Schritt: Substitution

Du setzt also $\sqrt[4]{x-3}$, um mit dem Wurzelausdruck leichter rechnen zu können.

Jetzt erhältst du eine quadratische Gleichung:$$2u^2+u-3=0$$

2. Schritt: Löse die Gleichung mit u

In diesem Fall ist es geschickter, die Mitternachtsformel anzuwenden, um komplizierte Bruchausdrücke zu vermeiden. Hier nochmal zu Erinnerung die allgemeine Form der Mitternachtsformel:\[u_{1/2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}{2a}\]

In die kannst Du jetzt die Zahlen aus deiner substituierten Gleichung einsetzen:$$\begin{array}{rl}{u}_{1/2}& =\frac{-1\pm \sqrt{1^2-4\cdot 2\cdot (-3)}}{2\cdot 2}\\ u_{1/2}& =\frac{-1\pm \sqrt{25}}{4}=\frac{-1\pm 5}{4}\\ u_1& =1;u_2=-\frac{3}{2}\end{array}$$

3. Schritt: Resubstitution

Für $u_1$: Du führst die Resubstitution für $u_1$ durch, d.h. Du setzt das erste gefundene Ergebnis $u_1$ in die Substitutionsgleichung und löst die Gleichung nach x auf.

Substitutionsgleichung:$$\sqrt[4]{x-3}=u$$

Darin $u_1$ einsetzen: $$\sqrt[4]{x-3}=1$$

Nun löst Du die Wurzelgleichung: $$\begin{array}{rl}\sqrt[4]{x-3}& =1\\ {\left(\sqrt[4]{x-3}\right)}^4& =1^4\\ x-3& =1\\ x_1& =4\end{array}$$

Für u_2=-\frac{3}{2}: Jetzt führst Du die Resubstitution auch für das zweite Ergebnis durch. Es entsteht eine Gleichung, die keine Lösung haben kann. Der Grund hierfür ist, dass auf der rechten Seite eine negative Zahl steht, der Wert unter der Wurzel aber nicht negativ sein darf und somit für kein x ein negatives Ergebnis entstehen würde.$$\sqrt[4]{x-3}=-\frac{3}{2}$$

Die Lösung der Gleichung lautet also: $\mathbb{L}=\{4\}$.

Die folgende Gleichung soll nun mit dem Substitutionsverfahren gelöst werden. Dazu sollen die Nullstellen berechnet werden:

1. $f(x)=x^6+2x^3+1$
2. $g(x)=x^4-4x^2+4$
3. $h(x)=2x^4+4x^2-4$

Rechenweg und Lösung zu Übungsaufgabe 1

Um die Nullstellen zu berechnen, musst Du die Gleichung gleich 0 setzen und alles auf eine Seite bringen.Es gilt also: $f(x)=0$$$x^6+2x^3+1=0$$

1. Schritt: Substitution mit $x^3=u$

Folglich wird $x^6=u^2$!$$u^2+2u+1=0$$

2. Schritt: Lösen mit Mitternachtsformel.$$\begin{array}{rl}{u}_{1/2}& =\frac{-2\pm \sqrt{2^2-4\cdot 1\cdot 1}}{2\cdot 1}\\ u_{1/2}& =\frac{-2\pm 0}{2}\\ u& =-1\end{array}$$

3. Schritt: Resubstitution

Du ersetzt nun u wieder mit x³:$$u=-1\leftrightarrow x^3=-1$$

4. Schritt: Wurzel ziehen

Ziehe nun die dritte Wurzel, um x zu erhalten, In diesem Fall darfst Du die Wurzel aus einer negativen Zahl ziehen, indem Du das Minus vor die Wurzel schreibst, denn die dritte Potenz einer negativen Zahl ergibt eine negative Zahl.$$\begin{array}{rl}{x}^3& =-1|\sqrt[3]{}\\ x& =-\sqrt[3]{1}\\ x& =-1\end{array}$$

Zum Schluss schreibst Du nur noch die Nullstellen der Funktion $f(x)$ auf:$$\mathbb{L}=\{1\}$$

Rechenweg und Lösung zu Übungsaufgabe 2

Setze die Gleichung null: $$x^4-4x^2+4=0$$

1. Schritt: Substitution mit $x^2$=u.

Hier wird somit auch wieder $x^4=u^2$$$u^2-4u+4=0$$

2. Schritt: Anwendung der p-q/ Mitternachtsformel.\begin{align}u_{1/2}&=\frac{4\pm\sqrt{(-\frac{4}{2})^2-4\cdot 1 \cdot 4}{2\cdot 1}\&=2\pm 0\ u &= 2\end{align}

3. Schritt: Resubstitution

Du ersetzt nun u mit $x^2$.$$u=2\leftrightarrow x^2=2$$

4. Schritt: Wurzel ziehen

Ziehe nun die Quadratwurzel, um x zu erhalten.$$\begin{array}{rl}{x}^2& =2|\sqrt{}\\ x_1& =\sqrt{2}\\ x_2& =-\sqrt{2}\end{array}$$

Beim Wurzel ziehen ergeben sich hier zwei Lösungen für x.\[\mathbb{L}=\{\sqrt{2}; -\sqrt{2}\}

Rechenweg und Lösung zu Übungsaufgabe 3

Um auch hier die Nullstellen zu berechnen, musst Du die Gleichung null setzen. $$\begin{array}{rl}2x^4+4x^2-4& =0|:2\\ x^4+2x^2-2& =0\end{array}$$

1. Schritt: Substitution mit $x^2=0$ und $x^4=u^2$.$$u^2+2u-2=0$$

2. Schritt: Anwendung p-q/ Mitternachtsformel.$$\begin{array}{rl}{u}_{1/2}& =-\frac{2}{2}\pm \sqrt{(\frac{2}{2}{)}^2+2}\\ & =-1\pm \sqrt{1+2}\\ & =-1\pm \sqrt{3}\\ u_1& =1+\sqrt{3}\\ u_2& =1-\sqrt{3}\end{array}$$

3. Schritt: Resubstitution

Du ersetzt u wieder mit $x^2$.

In diesem Fall muss Du nur $u_1$ resubstituieren, da Du von einer negativen Zahl nicht die Wurzel ziehen darfst.$$u_1=-1+\sqrt{3}\leftrightarrow x^2=-1+\sqrt{3}$$

4. Schritt: Wurzel ziehen

Ziehe nun die Quadratwurzel, um x zu erhalten.$$\begin{array}{rl}{x}^2& =-1+\sqrt{3}|\sqrt{}\\ x_1& =\sqrt{-1+\sqrt{3}}\\ x_2& =-\sqrt{-1+\sqrt{3}}\end{array}$$

Beim Wurzel ziehen ergeben sich hier zwei Lösungen für x.$$\mathbb{L}=-\{\sqrt{1+\sqrt{3}};-\sqrt{-1+\sqrt{3}}\}$$