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Stelle Dir vor, Du musst eine Fläche berechnen. Normalerweise würdest Du die Länge mit der Breite multiplizieren. Jedoch wird diese Fläche noch einmal in vier gleich große Quadrate und Rechtecke unterteilt.
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Team Summen multiplizieren Lehrer
Abbildung 1: Darstellung des Rechteckes
Um in diesem Fall den gesamten Flächeninhalt zu berechnen, kannst Du die einzelnen Summen multiplizieren. Wie das funktioniert und was Du bei dem Vorgang beachten musst, erfährst Du in diesem Artikel.
Bevor Du jedoch erfährst, wie Du bei der Multiplikation von Summen vorgehst, findest Du hier eine Wiederholung zu den zwei Grundrechenarten Addition und Multiplikation.
Für die Multiplikation von Summen benötigst Du, wie der Name schon sagt, die Multiplikation und die Addition. Beide gehören zu den vier Grundrechenarten (Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division). Hier soll es zunächst um die Addition gehen.
Bei der Addition werden zwei oder mehr Zahlen zusammengezählt. Das Ergebnis der Addition von zwei oder mehr Summanden wird als Summe bezeichnet.
\[\underbrace{1}_{\text{1. Summand}}+\underbrace{5}_{\text{2. Summand}}=\underbrace{6}_{\text{Summe}}\]
Aufgrund des Kommutativgesetzes kannst Du die Summanden bei einer Addition nach Belieben vertauschen.
Aufgabe 1
Berechne die Summe aus 5 und 9.
Lösung
1. Möglichkeit | 2. Möglichkeit |
| \(5+9=14\) | \(9+5=14\) |
Bei beiden Möglichkeiten erhältst Du 14 als Ergebnis.
Bei der Multiplikation wird die gleiche Zahl mehrfach addiert. Das Ergebnis der Multiplikation von zwei oder mehr Faktoren wird als Produkt bezeichnet.
\[\underbrace{3}_{\text{1. Faktor}}\cdot \underbrace{4}_{\text{2. Faktor}}=\underbrace{12}_{\text{Produkt}}\]
Bei der Multiplikation kannst Du unter der Verwendung des Assoziativgesetzes jegliche Reihenfolge der Faktoren ändern und musst Dich nicht – wie bei der Division – strikt an die gegebene Abfolge halten.
Falls Du Dich noch einmal näher in beide Themen reinlesen möchtest, schaue einfach bei der entsprechenden Erklärung nach.
Wenn Du nun eine Fläche berechnen sollst und diese womöglich noch in mehrere Teile unterteilt wurde, gibt es verschiedene Möglichkeiten, diese zu berechnen. Wie und welche Möglichkeiten es gibt, findest Du im Folgenden.
Die erste Möglichkeit ist, die einzelnen Summanden – also die einzelnen Flächeninhalte – auszurechnen. Das bedeutet, Du rechnest erst jede Fläche einzeln aus, indem Du jeweils die Variablen der Längen und Breiten jeder Fläche multiplizierst. Am Ende addierst Du alle Produkte und erhältst den Flächeninhalt als Summe.
Mit der Multiplikation der Längen- und Breiten-Variablen werden in der Mathematik jegliche Flächeninhalte von Rechtecken und Vierecken berechnet. Die Formel dafür lautet:
\[A=l\cdot b\]
Das würde dann wie folgt aussehen:
Aufgabe 2
Nimm das Beispiel vom Anfang. Eine Fläche, die in vier Teile aufgeteilt wurde. Du hast A1, A2, A3 und A4.
Abbildung 2: Darstellung des Flächeninhalts
Lösung
Um den gesamten Flächeninhalt A zu bestimmen, berechnest Du jeden Flächeninhalt einzeln, indem Du die Längen- und Breiten-Variablen miteinander multiplizierst.
Zuletzt addierst Du alle einzelnen Flächeninhalte, um den gesamten Flächeninhalt zu berechnen.\[A_{gesamt}=A_1+A_2+A_3+A_4\]Wenn Du für die Variablen nun jeweils Zahlen einsetzt, sieht das folgendermaßen aus:
\begin{align}A_1&=3\cdot6\\A_1&=4\cdot9\\A_1&=1\cdot10\\A_1&=7\cdot8\end{align}
Im Anschluss rechnest Du alle Multiplikationen aus und addierst Du alle Flächeninhalte.
\begin{align}A_{gesamt}&=A_1+A_2+A_3+A_4\\&=18+36+10+59\\&=120\end{align}
Da die erste Methode manchmal etwas länger dauern kann, gibt es auch noch eine andere Möglichkeit der Berechnung. Hierbei multiplizierst Du jeden Summanden mit dem jeweils anderen Summanden aus der anderen Klammer.
Bei der Multiplikation von Summen nutzt Du eine umgewandelte Form des Distributivgesetzes.
Das Distributivgesetz besagt, dass das Produkt aus einer Zahl und einer Summe auch als Summe der Produkte der Zahl mit den einzelnen Summanden beschrieben werden kann.\[c\cdot(a+b)=c\cdot a+c\cdot b\]
Du hast bei der Multiplikation von Summen lediglich nicht eine Zahl als Faktor in der Rechnung, sondern eine weitere Klammer.
Die Multiplikation von Summen ist ein Verfahren, um ein Produkt aus zwei oder mehr Summen zu berechnen. \[(a+b)\cdot(c+d)= \text{Produkt}\]
Somit würdest Du bei jeder Multiplikation die Summanden der ersten Klammer mit jeweils beiden Summanden der nachfolgenden Klammer multiplizieren. Diese vier Produkte werden zum Schluss addiert und die Summe ist der gesamte Flächeninhalt aller vier Flächen. Das ist in diesem Fall lediglich ein komprimierter Weg zum gleichen Ergebnis.
Aufgabe 3
Du hast nun auch wieder eine Fläche, die in vier Teile unterteilt worden ist. Jede einzelne Fläche hat eine eigene Länge und Breite. Die Variable a und b stehen in diesem Fall für die einzelnen Längen der Flächen. Für die Breiten der Flächen stehen die Variablen c und d. Berechne den gesamten Flächeninhalt.
Lösung
Um den Flächeninhalt zu berechnen, musst Du die Länge mit der Breite multiplizieren. Da Du aber in diesem Fall mehrere Längen und Breiten hast, addierst Du diese jeweils und multiplizierst somit die Summe der Längen mit der Summe der Breiten.\[(a+b)\cdot(c+d)=A_{gesamt}\]
Damit Du die Gleichung nun lösen kannst, multiplizierst Du die Klammern aus, indem Du die Summanden der ersten Klammer mit jeweils beiden Summanden der zweiten Klammer multiplizierst.\[(a+b)\cdot(c+d)=a\cdot c+a\cdot d+ b\cdot c+ b\cdot d\]
Wenn jetzt für die einzelnen Variablen \[a=4\quad b=1\quad c=7\quad d=3\]
gilt, sieht die Rechnung wie folgt aus:\begin{align} (a+b)\cdot (c+d) &= (4+1)\cdot (7+3)\\&=4\cdot 7 + 4\cdot 3 + 1\cdot 7 + 1\cdot 3\\&=28+12+7+3\\&=50\end{align}
Die Formel ähnelt der 3. binomischen Formel. Diese unterscheidet sich nur in einem Punkt.
Binomische Formeln hast Du womöglich auch schon das ein oder andere Mal genutzt, doch was waren diese noch einmal?
In der Mathematik steht das Binom für einen zweigliedrigen Term. Binomische Formeln sind Formeln, mit denen Du Produkte aus Binomen umformen kannst. Zudem helfen sie beim Ausmultiplizieren von Klammerausdrücken und auch bei dem Vereinfachen von verschiedenen Termen.
Insgesamt gibt es in der Mathematik drei verschiedene binomische Formeln. Jede der Formeln passt zu einem anderen Binom.
| 1. binomische Formel | 2. binomische Formel | 3. binomische Formel |
| \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\) | \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\) | \((a+b)\cdot(a-b)=a^2-b^2\) |
Der Unterschied zwischen der 3. binomischen Formel und der Formel zur Multiplikation von Summen ist das negative Vorzeichen in der zweiten Klammer. Wie der Name bereits verrät, werden bei der Multiplikation von Summen nur Klammern multipliziert, in denen es ein positives Vorzeichen gibt.
Damit Du einmal die richtige Anwendung der binomischen Formeln siehst, folgt je ein Beispiel mit jeweils einer der drei binomischen Formeln.
Aufgabe 4
Berechne mit den gegebenen Variablen \(a=3; b=7\) jeweils die Terme\begin{align}T_1&=(a+b)^2\\T_2&=(a-b)^2\\T_3&=(a+b)\cdot(a-b)\end{align}
Lösung
1. binomische Formel
\begin{align} T_1&=(a+b)^2\\&=a^2+2ab+b^2\\&=3^2+2\cdot 3\cdot 7+7^2\\&=100\end{align}
2. binomische Formel
\begin{align} T_2&=(a-b)^2\\&=a^2-2ab+b^2\\&=3^2-2\cdot 3\cdot 7+7^2\\&=16\end{align}
3. binomische Formel
\begin{align} T_1&=(a+b)\cdot(a-b)\\&=a^2-b^2\\&=3^2-7^2\\&=-40\end{align}
Du kannst jedoch nicht nur zwei Summen miteinander multiplizieren, sondern unendlich viele.
Wenn Du mehrere Summen multiplizieren musst, kannst Du auch hier wieder dem Prinzip folgen, jeden Summanden der ersten Summe mit jedem Summanden der zweiten Summe zu mulitplizieren und die Ergebnisse zu addieren. Das Ergebnis ist dann der Faktor für die nächste Multiplikation.
\begin{align}\underbrace{(a+b)\cdot(c+d)}_{\text{1. Produkt}}\cdot (e+f)&=(ac+ad+bc+bd)\cdot(e+f)\\&=ac\cdot e +ac\cdot f + ad\cdot e + ad\cdot f + bc\cdot e+ bc\cdot f + bd\cdot e +bd\cdot f\end{align}
Um Dein eben gelerntes Wissen zu festigen, folgen nun einige Übungsaufgaben.
Aufgabe 6
Die Gemüseplantage des nahegelegenen Bauernhofes ist in vier verschiedene Gemüsesorten unterteilt: Tomaten, Zucchini, Gurken und Kartoffeln. Wie groß ist der gesamte Flächeninhalt der Gemüseplantage, wenn die Längen der einzelnen Beete \(a=5\,m\,;b= 10\, m\) und die Breiten \(c=91\,m\,;d= 3\, m\) sind.
Nutze das Multiplizieren von Summen zur Berechnung. Achte hierbei darauf, dass a und b, sowie c und d eine Summe ergeben.
Lösung
\begin{align}(a+b)\cdot(c+d)&=ac+ad+bc+bd\\(5+10)\cdot(91+3)&=5\cdot 91 +5\cdot 3+10\cdot 91+10\cdot 3\\&=455+15+910+30\\&=1 410 \end{align}
Die Gemüseplantage ist also \(1410\,qm^2\) groß.
Aufgabe 7
Du hast einen Teppich für Dein Haus in Deinem Lieblingsdekorationsladen gefunden. Dieser besteht aus insgesamt vier Teilen. Nun bist Du Dir aber nicht sicher, ob der Teppich auch wirklich von der Größe her in die untere Etage passt. Diese hat einen gesamten Flächeninhalt von \(100\, qm^2\).
Die Längen der einzelnen Seiten sind wie folgt: \(a=3\,m;b=5\,m\) Die Breiten sind \(c=8\,m;d=1\,m\).
Nutze das Verfahren der Multiplikationen von Summen. Hierbei gilt: a und b bilden eine Summe und c und d die andere.
Lösung
\begin{align}(a+b)\cdot(c+d)&=ac+ad+bc+bd\\(3+5)\cdot(8+1)&=3\cdot 8+3\cdot 1+5\cdot 8+5\cdot 1\\&=24+3+40+5\\&=72\end{align}
Somit ist der Teppich passend.
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Wie multipliziere ich aus?
Du multiplizierst Summen aus, indem du jeden Summanden der ersten Klammer mit jeweils jedem Summanden der folgenden Klammer multiplizierst und die Produkte addierst.
Wie rechnet man drei Klammern aus?
Wenn du mehrere Summen multiplizieren musst, gehe dabei von links nach rechts vor. Das heißt, nimm dir am Anfang die ersten beiden Klammern vor und multipliziere diese, bis auf die letztendliche Addition, aus. Die Produkte schreibst du wieder in eine Klammer. Nun multiplizierst du alle Summanden aus der neuen mit den Summanden der nächsten Klammer. So gehst du nun vor bis alle Klammern ausmultipliziert sind.
Wie multipliziert man zwei Summen?
Du multiplizierst zwei Summen, indem du jeden Summanden der ersten Klammer mit allen Summanden der zweiten Klammer multiplizierst und zum Schluss alle Produkte addierst.
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Lily Hulatt ist Digital Content Specialist mit über drei Jahren Erfahrung in Content-Strategie und Curriculum-Design. Sie hat 2022 ihren Doktortitel in Englischer Literatur an der Durham University erhalten, dort auch im Fachbereich Englische Studien unterrichtet und an verschiedenen Veröffentlichungen mitgewirkt. Lily ist Expertin für Englische Literatur, Englische Sprache, Geschichte und Philosophie.
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Gabriel Freitas ist AI Engineer mit solider Erfahrung in Softwareentwicklung, maschinellen Lernalgorithmen und generativer KI, einschließlich Anwendungen großer Sprachmodelle (LLMs). Er hat Elektrotechnik an der Universität von São Paulo studiert und macht aktuell seinen MSc in Computertechnik an der Universität von Campinas mit Schwerpunkt auf maschinellem Lernen. Gabriel hat einen starken Hintergrund in Software-Engineering und hat an Projekten zu Computer Vision, Embedded AI und LLM-Anwendungen gearbeitet.
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