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Zum besseren Verständnis der Teilbarkeitsregeln ist es zuerst wichtig, zu wissen, wann eine Zahl überhaupt teilbar ist.
Eine Zahl a ist teilbar, wenn bei der Division dieser Zahl a durch eine andere Zahl b kein Rest R bleibt.
16 ist z. B. durch 4 ohne Rest teilbar. Teilst Du allerdings 16 durch 5, bleibt ein Rest von 1.
Jede ganze natürliche Zahl hat mindestens zwei Teiler – sich selbst und 1.
Dazu folgt hier ein Beispiel:
Betrachte die Zahl 7. Sie ist durch sich selbst und 1 teilbar, wie Du hier sehen kannst:
Die Besonderheit der Zahl 7 ist, dass sie ausschließlich diese beiden Teiler hat. Das macht sie zu einer sogenannten Primzahl.
Doch was ist eine Primzahl genau?
Eine natürliche Zahl, die nur sich selbst und 1 als Teiler hat, wird Primzahl genannt.
Somit kennst Du jetzt die Grundlagen zur Teilbarkeit. Im Folgenden werden Dir die wichtigsten Teilbarkeitsregeln vorgestellt.
Hier findest Du noch einmal eine Übersicht, in der Du die wichtigsten Teilbarkeitsregeln mit Beispielen auf einen Blick siehst.
| Teilbarkeit | Regel | Beispiel |
| durch 2 | wenn sie gerade ist, also ihre letzte Ziffer eine 0,2,4,6,8 ist. | 224 ist eine gerade Zahl. Demnach ist 224 durch 2 teilbar. |
| durch 3 | wenn ihre Quersumme durch 3 teilbar ist. | Die Quersumme von 63 ist 9. 9 ist durch 3 teilbar. Somit ist 63 durch 3 teilbar. |
| durch 4 | wenn ihre letzten zwei Stellen durch 4 teilbar sind. | Die letzten zwei Ziffern von 2216 sind durch 4 teilbar. Also ist 2216 auch durch 4 teilbar. |
| durch 5 | wenn die letzte Zahl eine 5 oder 0 ist. | Die letzte Ziffer von 235 ist eine 5. Damit ist 235 durch 5 teilbar. |
| durch 6 | wenn ihre letzte Ziffer gerade ist und ihre Quersumme durch 3 teilbar ist. | Die Quersumme von 246 ist 12. 12 ist durch 3 teilbar. Die letzte Ziffer ist gerade. Also ist 246 durch 6 teilbar. |
| durch 7 | Hierfür gibt es keine allgemeine Regel. Meist ist es einfacher, die Zahl direkt zu dividieren. | |
| durch 8 | wenn die letzten drei Stellen durch 8 teilbar sind. | Die letzten drei Ziffern von 32024 sind 024. 24 ist durch 8 teilbar. Demnach ist 32024 durch 8 teilbar. |
| durch 9 | wenn ihre Quersumme durch 9 teilbar ist. | Die Quersumme von 2439 ist 18. 18 ist durch 9 teilbar. Somit ist 2439 auch durch 9 teilbar. |
| durch 10 | wenn ihre letzte Ziffer eine 0 ist. | Die letzte Ziffer von 210 ist eine 0. Also ist 210 durch 10 teilbar. |
Um die Teilbarkeit einer Zahl durch 2 zu prüfen, genügt es, nur die Endziffer dieser Zahl zu betrachten.
Eine Zahl ist durch 2 teilbar, wenn sie gerade ist, also ihre letzte Ziffer eine 0, 2, 4, 6 oder 8 ist.
Schaue Dir dazu dieses Beispiel an.
Die Zahl 226 ist durch zwei teilbar, da die letzte Ziffer eine 6 ist.
Die Zahl 563 dagegen ist nicht durch zwei teilbar, da die letzte Ziffer eine 3 ist.
Wie bei der vorherigen Regel, schaust Du Dir auch hier die Endziffer der Zahl an.
Eine Zahl ist durch 5 teilbar, wenn die letzte Zahl eine 5 oder eine 0 ist.
Eine Zahl ist durch 10 teilbar, wenn ihre letzte Ziffer eine 0 ist.
Wie sieht das in einem Beispiel aus?
Die Zahl 3500 ist sowohl durch 10, als auch durch 5 teilbar, da die letzte Ziffer eine 0 ist.
Die Zahl 3325 dagegen ist nur durch 5 teilbar, da die letzte Stelle eine 5 ist.
Für die Teilbarkeit durch 100 oder 1000, müssen die letzten beiden bzw. die letzten drei Ziffern gleich 0 sein.
Um zu überprüfen, ob eine Zahl durch 3, 6 oder 9 teilbar ist, wird die Quersumme betrachtet. Deshalb wird diese Regel auch Quersummenregel genannt.
Die Quersumme ist die Summe der Ziffern einer mehrstelligen Zahl.
Somit musst Du die einzelnen Ziffern der Zahl miteinander addieren, um die Quersumme zu erhalten. Das kannst Du im folgenden Beispiel gut sehen:
Aufgabe 1
Berechne die Quersumme von 234.
Lösung
Wann ist eine Zahl durch 3 teilbar?
Eine Zahl ist durch 3 teilbar, wenn ihre Quersumme durch 3 teilbar ist.
Hier folgt eine Aufgabe dazu:
Aufgabe 2
Ist 226 durch 3 teilbar?
Lösung
Um die Frage zu beantworten, berechnest Du zuerst die Quersumme. Dazu addierst Du die Ziffern miteinander.
Jetzt überprüfst Du, ob 10 durch 3 teilbar ist.
Da 10 nicht ohne Rest durch 3 teilbar ist, ist auch 226 nicht durch 3 teilbar.
Bei der Teilbarkeitsregel durch die Zahl 6 handelt es sich um eine Kombination der eben gelernten Teilbarkeitsregeln.
Eine Zahl ist durch 6 teilbar, wenn ihre letzte Ziffer gerade ist und ihre Quersumme durch 3 teilbar ist.
Hier kombinierst Du die Teilbarkeitsregel durch 2 mit der Teilbarkeitsregel durch 3. Das funktioniert, da 6 das Produkt von 2 und 3 ist. Demnach ist eine Zahl durch 6 teilbar, wenn sie durch 2 und 3 teilbar ist.
Betrachte dazu folgendes Beispiel:
Aufgabe 3
Ist die Zahl 3516 durch 6 teilbar?
Lösung
Zuerst überprüfst Du, ob die letzte Ziffer gerade ist. Das ist hier der Fall, da es sich um eine 6 handelt.
Wenn die Zahl ungerade ist, musst Du die Quersumme gar nicht mehr überprüfen.
Berechne als Nächstes die Quersumme der Zahl.
Jetzt musst Du nur noch überprüfen, ob 15 durch 3 teilbar ist.
Die Zahl 3516 ist somit durch 6 teilbar.
Ob eine Zahl durch 9 teilbar ist, kannst Du auf ähnliche Art und Weise überprüfen wie bei der Teilbarkeitsregel durch 3.
Eine Zahl ist durch 9 teilbar, wenn ihre Quersumme durch 9 teilbar ist.
Wie bei der Teilbarkeit durch 3 bildest Du die Quersumme der Zahl. Diesmal überprüfst Du aber, ob sie durch 9 teilbar ist.
Wie sieht das an einem Beispiel aus?
Aufgabe 4
Ist die Zahl 1224 durch 9 teilbar?
Lösung
Zuerst bildest Du wieder die Quersumme der Zahl.
Als Nächstes überprüfst Du, ob das Ergebnis davon durch 9 ohne Rest teilbar ist.
Hier ist das der Fall. Damit ist 1224 durch 9 teilbar.
Jede Zahl, die durch 9 teilbar ist, ist ebenfalls durch 3 teilbar. Andersherum gilt das aber nicht!
Warum kannst Du überhaupt aus der Quersumme die Teilbarkeit von einer Zahl durch 3 oder 9 ableiten? Dazu kannst Du Dir die Zahl 1224 aus der vorherigen Ausgabe noch einmal im folgenden Beispiel genauer anschauen.
Stelle Dir vor, Du hast 1224 Bonbons, die Du gleichmäßig auf 3 Personen verteilen willst.
Jede Zahl kann in Zehnerpotenzen zerlegt werden. Also in 1000er-, 100er-, 10er- und 1er-Blöcke.
Du ordnest Deine 1224 Bonbons in 1000er-, 100er-, 10er- und 1er-Haufen.
Jetzt verteilst Du die Bonbons in jedem dieser Blöcke und beginnst beim 10er-Block. Du teilst also 10 Bonbons auf 3 Leute auf.
Übrig bleibt somit 1 Bonbon. Das Gleiche machst Du für die 100er- und 1000er-Blöcke auch.
Wie Du sehen kannst, bleibt bei jedem Block immer ein Bonbon übrig.
Das Gleiche gilt auch für die Teilbarkeit durch 9, z. B. 100 : 9 = 11 Rest 1.
Von den 1224 Bonbons wurden jetzt einmal 999, zweimal 99 und zweimal 9 verteilt.
Zu verteilen sind somit noch:
Die letzten 9 Bonbons können ohne Rest auf 3 Leute aufgeteilt werden.
Die Zahl 9 entspricht genau der Quersumme.
Anders als bei der Teilbarkeitsregel durch 2, 5 oder 10 musst Du bei der Teilbarkeitsregel durch 4 die letzten zwei Ziffern betrachten.
Eine Zahl ist durch 4 teilbar, wenn ihre letzten zwei Stellen durch 4 teilbar sind.
Schaue Dir einmal dieses Beispiel dazu an:
Aufgabe 5
Ist die Zahl 3612 durch 4 teilbar?
Lösung
Du betrachtest nur die letzten zwei Ziffern von der Zahl 3612.
Jetzt überprüfst Du, ob 12 restlos durch 4 teilbar ist.
Das ist der Fall, somit ist 3612 durch 4 teilbar.
Um diese Regel zu beweisen, betrachtest Du wieder die 1224 Bonbons. Jedoch teilst Du sie dieses Mal auf vier Leute auf.
Zur Erinnerung: Jede ganze natürliche Zahl lässt sich als die Summe der Zehnerpotenzen (10, 100, 1000, etc.) mal der entsprechenden Ziffer darstellen.
Du teilst die Bonbons wieder in 1000er-, 100er-, 10er- und 1er-Haufen auf.
Versuchst Du jetzt die 1000er- und 100er-Haufen auf 4 Leute zu verteilen, wirst Du merken, dass bei beiden Haufen kein Rest übrig bleibt, denn
Versuchst Du 10 durch 4 zu teilen, erhältst Du einen Rest. 10 ist somit nicht durch 4 teilbar.
Alle Zehnerpotenzen > 10 sind sicher durch 10 teilbar. Deshalb hängt die Teilbarkeit von den letzten beiden Ziffern ab.
Du musst also nur noch 24 Bonbons auf vier Personen verteilen. Das passt genau.
Bei der Teilbarkeitsregel durch 8 werden die letzten drei Ziffern einer Zahl betrachtet.
Eine Zahl ist durch 8 teilbar, wenn die letzten drei Stellen durch 8 teilbar sind.
Die letzten drei Stellen zu überprüfen, erscheint erst einmal nicht wie ein großer Vorteil. Doch diese Regel ist besonders bei höheren Zahlen wirklich hilfreich.
Das kannst Du hier sehen:
Aufgabe 6
Ist die Zahl 23018 durch 8 teilbar?
Lösung
Du betrachtest nur die letzten drei Ziffern, also in unserem Fall 18. Jetzt musst Du nur noch prüfen, ob 18 durch 8 teilbar ist.
Da 18 nicht durch 8 teilbar ist, gilt das auch für 23018.
Der Beweis ähnelt sehr dem der Teilbarkeitsregel 4. Deshalb wird der Beweis an dieser Stelle etwas abgekürzt.
10 und 100 sind nicht ohne Rest durch 8 teilbar, denn
Merke: Alle Zehnerpotenzen > 102 (100) sind sicher durch 8 teilbar.
Da demnach erst Zehnerpotenzen ab 1000 sicher durch 8 teilbar sind, musst Du nur die letzten drei Ziffern betrachten.
Wofür sind die Teilbarkeitsregeln in der Mathematik eigentlich nützlich? Sie erleichtern unter anderem die Primfaktorzerlegung.
Die Primfaktorzerlegung ist die Darstellung einer Zahl als Produkt von Primzahlen.
Um eine Zahl als Produkt von Primzahlen zu schreiben, ist es hilfreich zu wissen, ob sie durch diese teilbar ist. Erkennst Du durch die Teilbarkeitsregeln, dass eine Zahl nicht durch die Primzahlen 2, 3, 5, (7) oder 9 teilbar ist, weißt Du direkt, dass diejenige Primzahl nicht Teil der Primfaktorzerlegung ist. Das spart Zeit beim Rechnen.
Mit den folgenden Aufgaben kannst Du Dein neu erlerntes Wissen über die Teilbarkeitsregeln jetzt auf die Probe stellen und es weiter vertiefen.
Aufgabe 7
Prüfe, ob die Zahl 8235 durch folgende Zahlen teilbar ist.
a) 3
b) 5
c) 6
d) 9
Lösung
a) Teilbarkeit durch 3
Berechnen der Quersumme
18 ist durch 3 teilbar, da
Somit ist 8235 durch 3 teilbar.
b) Teilbarkeit durch 5
Da die Endziffer eine 5 ist, ist die Zahl 8235 durch 5 teilbar.
c) Teilbarkeit durch 6
Da 8235 ungerade ist, ist sie nicht durch 2 teilbar.
d) Teilbarkeit durch 9
Die Quersumme 18 (siehe Aufgabe 7a) ist durch 9 teilbar, da
Alternativ kannst Du erneut die Quersumme berechnen und prüfen, ob diese wieder durch 9 teilbar ist.
Somit ist 8235 durch 9 teilbar.
Aufgabe 8
Ist die Zahl 4728 durch 12 teilbar?
Lösung
Damit eine Zahl durch 12 teilbar ist, muss sie auch durch 3 und 4 teilbar sein.
Teilbarkeit durch 3
Berechnen der Quersumme:
Da 21 durch 3 teilbar ist, ist 4728 auch durch 3 teilbar.
Teilbarkeit durch 4
Die letzten zwei Stellen – 28 – sind restlos durch 4 teilbar. Somit ist 4728 auch durch 4 teilbar.
Somit ist 4728 auch durch 12 teilbar.
Aufgabe 9
Wie heißt die nächstgelegene höhere Zahl zu 22020, die durch 8 teilbar ist?
Lösung
Die letzten 3 Ziffern müssen zusammen durch 8 teilbar sein.
Du betrachtest also nur die letzten 3 Ziffern 020.
Die nächstgelegene höhere Zahl ist somit 22024.
Aufgabe 10
Wie heißt die nächstgelegene höhere Zahl zu 237329, die durch folgende Zahlen teilbar ist?
a) 10
b) 4
Lösung
a) Teilbarkeit durch 10
Die Endziffer muss eine Null sein.
Die nächstgelegene höhere Zahl ist somit 237330.
b) Teilbarkeit durch 4
Die letzten beiden Ziffern werden nur betrachtet.
Somit ist die nächstgelegene höhere Zahl 237332.
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Welche Teilbarkeitsregeln gibt es?
Wie viele Teilbarkeitsregeln gibt es?
Es gibt zu jeden ganzen Zahlen zwischen 2 und 11 jeweils eine Teilbarkeitsregel. Wenn man die Ausnahme der Zahl 7 betrachtet, kommt man auf 9 Regeln.
Was ist die Funktion von Teilbarkeitsregeln?
Mit den Teilbarkeitsregeln kann man auf einfache Weise überprüfen, ob eine Zahl a durch eine andere Zahl b ohne Rest teilbar ist. Dies kann z. B. bei der Primfaktorzerlegung hilfreich sein.
Was sind Teilbarkeitsregeln?
Teilbarkeitsregeln sind Regeln, mit denen überprüft werden kann, ob eine Zahl a durch eine andere Zahl b teilbar ist. Eine Zahl ist z. B. durch 3 teilbar, wenn ihre Quersumme auch durch 3 teilbar ist.
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