Terme aufstellen

Die Beispiele auf der rechten Seite der Tabelle sind keine Terme, da dort Relationszeichen enthalten sind. Diese Ausdrücke werden Gleichungen, aber nicht Terme, genannt.

Aufgabe 1

Addierst Du zu dem dreifachen einer Zahl 12, so erhältst Du die gleiche Zahl, wie wenn Du von dem achtfachen derselben Zahl 3 subtrahierst.

Lösung

Im ersten Schritt liest Du den Text genau durch. Anschließen beginnst Du damit, den Text in kleinen Schritten in ein mathematisches Zeichen zu übersetzen.

„Addierst Du zu dem dreifachen einer Zahl 12“ lässt sich mathematisch wie folgt schreiben:

$3x+12$

x steht dabei für die noch unbekannte Zahl.

„Von dem achtfachen der Zahl 3 subtrahierst“ lässt sich als $8x-3$ schreiben.

Jetzt kannst Du die beiden Terme mit einem Gleichheitszeichen verbinden.

Der gesuchte Term ist also $3x+12=8x-3$.

Aufgabe 1

Du hast 3 Kekse. Davon isst Du zwei. Dein Freund gibt Dir dann 5 von seinen Keksen. Als Du mittags bei Deiner Oma bist, hat sie auch Kekse gebacken. Sie gibt Dir auch Kekse. Dadurch verdoppelt sich Deine Anzahl an Keksen.

Lösung

Im ersten Schritt liest Du den Text genau durch. Anschließen beginnst Du damit, den Text in kleinen Schritten in ein mathematisches Zeichen zu übersetzen.

„Du hast 3 Kekse“ lässt sich mathematisch wie folgt schreiben:

$3$

„Davon isst Du zwei“, bedeutet, dass Du 2 von Deinen ursprünglichen 3 Keksen abziehen musst.

$3-2$

„Dein Freund gibt Dir dann 5 von seinen Keksen“ bedeutet, dass Du zu Deinem jetzigen Term wieder 5 dazuaddieren musst.

$3-2+5$

„Dadurch verdoppelt sich Deine Anzahl an Keksen“. Das bedeutet jetzt noch, dass Du Deinen kompletten Term, also die Anzahl an Keksen, die Du hattest, bevor Du Deine Oma besucht hast, mit 2 multiplizieren und somit verdoppeln musst.

$(3-2+5)·2$

Vorher konntest Du die Klammer immer aufgrund von Rechenregeln (in diesem Fall dem Fakt, dass von links nach rechts gerechnet wird) weglassen. In diesem Fall musst Du ja aber die gesamte Menge an Keksen mit 2 multiplizieren. Du benötigst also eine Klammer.

Der gesuchte Term lautet also $(3-2+5)·2$.

Jetzt kannst Du diesen lösen.

Als Erstes musst Du den Ausdruck in der Klammer berechnen. Dabei gehst Du von links nach rechts vor.

$\begin{array}{rcl}& & 3-2+5\\ & & \\ & =& 1+5\\ & & \\ & =& 6\end{array}$

Dann musst Du diesen Wert mit 2 multiplizieren.

$\begin{array}{rcl}& & 6·2\\ & & \\ & =& 12\end{array}$

Du hast am Ende also 12 Kekse.

Aufgabe 2

Stelle zu folgendem Text den korrekten Term auf.

Die Schule möchte ein neues Klettergerüst für den Pausenhof bauen lassen. Dabei fallen insgesamt $1.500€$ Materialkosten an. Die 5 Bauarbeiter erhalten jeweils einen Stundenlohn von $15€$ und benötigen insgesamt 20 Stunden, um das neue Klettergerüst aufzubauen. Wie viel kostet die Anschaffung des neuen Klettergerüsts?

Lösung

1. Lies den Text aufmerksam durch.

2. Schreibe anschließend alle Stellen auf, in denen Du Informationen für Deinen Term findest. In diesem Fall sind das die folgenden:

• 5 Bauarbeiter bekommen jeweils 15 € Stundenlohn
• Die Bauarbeiter benötigen insgesamt 20 Stunden
• $1500€$ Materialkosten

3. Übersetze diese Sätze jetzt in Zahlen und Rechenzeichen. Gehe dabei Schritt für Schritt vor.

• Stundenlohn für die Bauarbeiter: $5·15$
• Die Bauarbeiter benötigen 20 Stunden: $5·15·20$
• Die Materialkosten betragen $1500€$: $(5·15·20)+1500$

4. Der vollständige Term lautet also $(5·15·20)+1500$. Du kannst die Reihenfolge der Zahlen in dem Term natürlich auch ändern, solange Du keine Rechenregeln verletzt. Beachte dabei also das Assoziativ- und das Kommutativgesetz.

5. Im vorletzten Schritt musst Du den Term jetzt noch berechnen.

Als Erstes berechnest Du dazu wieder den Term in der Klammer.

$\begin{array}{rcl}& & 5·15·20\\ & & \\ & =& 75·20\\ & & \\ & =& 1500\end{array}$

Dann kannst Du dieses Ergebnis mit den restlichen 1500 verrechnen.

$1500+1500=3000$

6. Zum Schluss musst Du jetzt noch einen Antwortsatz für die Textaufgabe schreiben.

Die Neuanschaffung des Klettergerüsts kostet die Schule insgesamt $3000€$.

Aufgabe 3

Für ein neues Skateboard muss Theresa $150€$ bezahlen. Um das Geld zusammenzusparen, erstellt Theresa einen Sparplan. Sie hat schon $80€$ gespart. Jeden Monat kommen $10€$ zum Ersparten dazu. Erstelle einen passenden Term und löse diesen anschließend.

Lösung

Theresa startet mit den 80 €, die sie schon gespart hat. Das kannst Du also schon mal festhalten.

$80$

Dann kommen jeden Monat 10 € dazu. Das bedeutet, dass Du 10 € mit der Anzahl an Monaten multiplizieren musst, bis die 150 € erreicht sind. In diesem Fall ist nicht klar, wie lange Theresa benötigt, also multiplizierst Du die 10 € mit der unbekannten Anzahl an Monaten x.

$80+10·x$

Und schon hast Du einen fertigen Term.

Du hast jetzt zwei Möglichkeiten, diesen Term zu lösen. Entweder Du setzt für x immer höher werdende Werte ein, bis Du den passenden Wert gefunden hast, oder Du wandelst den Term in eine Gleichung um, indem Du ihn mit dem Endbetrag, den Theresa haben will, also den 150 € gleichsetzt. Hier wird die erste Variante verwendet.

Du kannst das am übersichtlichsten in einer Tabelle darstellen. Links steht der Wert von x und rechts schreibst Du den Wert auf, den Du erhältst, wenn Du diesen Wert für x einsetzt.

Theresa benötigt also insgesamt 7 Monate, bis sie die 150 € für ein neues Fahrrad angespart hat.

Aufgabe 4

Berechne die Summe aus dem vierfachen einer Zahl und dem fünffachen einer anderen Zahl und teile das Ergebnis durch zwei. Stelle einen passenden Term auf.

Lösung

Hier gehst Du wieder wie bisher vor. Du nimmst das vierfache einer Zahl. Also multiplizierst Du 4 mit einer Zahl x.

$4·x$

Dann nimmst Du das fünffache einer anderen Zahl. Also multiplizierst Du 5 mit einer anderen Variablen y.

$5·y$

Von diesen beiden einzelnen Ausdrücken sollst Du jetzt die Summe bilden.

$4·x+5·y$

Zum Schluss soll dieser Term noch durch 2 geteilt werden.

Somit hast Du einen passenden Term zur Aufgabenstellung gefunden.

Aufgabe 5

Stelle einen Term zur Berechnung des Umfangs auf und berechne anschließend den Umfang für $x=2cm$.

Abbildung 1: Umfang berechnen

Lösung

An der Abbildung kannst Du sehen, dass die Figur insgesamt aus sechs unterschiedlich langen Seiten besteht. Du kennst die Länge in cm von der längsten Seite. Da Du die Länge der Variable x kennst, kannst Du die Länge aller Seiten mithilfe eines Terms berechnen.

Dafür addierst Du alle Seitenlängen miteinander. Eine Seite ist 6 cm lang. Die nächste Seite, gegen den Uhrzeigersinn, ist 2x lang. Dann folgt eine weitere Seite, die ebenfalls 2x lang ist. Als Nächstes kommt eine unbeschriftete Seite. Du kannst jedoch darauf schließen, dass sie die Länge x hat, da die gegenüberliegende Seite ja 2x lang ist, aber das andere gegenüberliegende Stück bereits ein x lang ist. Also muss die unbeschriftete Seite die Länge x haben. Die restlichen zwei Seiten haben ebenfalls die Länge x. So kommst Du auf folgenden Term:

$6+2x+2x+1x+1x+1x$

Anschließend vereinfachst Du den Term, in dem Du alle Variablen zusammenzählst.

Vereinfachter Term:

Im letzten Schritt ersetzt Du die Variable x durch den angegebenen Wert und berechnest den Umfang der Figur.

Berechnung des Umfangs für $x=2cm$:

Das Sechseck hat also einen Umfang von 20 cm.

Aufgabe 6

Du hast folgenden Term gegeben und sollst diesen berechnen. Schreibe Deinen Rechenweg Schritt für Schritt auf und beachte dabei die Rechenregeln.

${(3·13)}^2+4-(12·2)$

Lösung

1. Berechne alle Klammern: ${39}^2+4-24$
2. Anschließend rechnest Du alle Potenzen aus: $1521+4-24$
3. Jetzt rechnest Du von links nach rechts: $1525-24=1501$

Aufgabe 7

Luca spielt in seiner Freizeit gerne Computerspiele. Diese Woche ist ein neues Spiel herausgekommen, das Luca unbedingt kaufen möchte. Dafür hat er in den letzten 8 Monaten sein Taschengeld gespart. Das Spiel kostet insgesamt 80 €. Das ist genau der Betrag, den Luca gespart hat. Wie viel Geld hat Luca jeden Monat gespart?

Lösung

Lies den Text gründlich durch und markiere Dir wichtige Stellen.

• Das Spiel kostet 80 €
• Luca hat 8 Monate gespart
• gefragt ist, wie viel Geld Luca jeden Monat gespart hat

Übersetze den Text anschließend in mathematische Zeichen.

• $8·x=80\overline{):8}$
• $x=10$

Im letzten Schritt formulierst Du Deinen Antwortsatz:

Luca hat jeden Monat 10 € gespart.

Aufgabe 8

Stelle Terme für folgende Aufgaben auf:

1. Dividiere fünf durch die Differenz der Zahlen 585 und 230
2. Bilde die Summe aus dem Doppelten und dem Fünffachen einer Zahl.
3. Bilde die Summe von 7 mit einer Zahl und verdreifache das Ergebnis.

Lösung

1. Bei dieser Aufgabe besteht der Term aus einem Bruch, da Du zwei Terme miteinander teilen sollst. Im Zähler steht dabei die Differenz aus den Zahlen 585 und 230 und im Nenner steht die 5.

2. Bei dieser Aufgabe ist eine Variable x in dem Term enthalten. Multipliziere diese Variable x also einmal mit zwei und einmal mit fünf. Anschließend addierst Du die 2x und die 5x.

$2x+5x$

3. Auch hier hast Du wieder eine Variable x in Deinem Term. Addiere im ersten Schritt sieben und x. Anschließend multiplizierst Du das Ganze mit drei. Vergiss bei dieser Aufgabe die Klammern um x + 7 nicht, da die Rechnung ansonsten nicht richtig ist.

Aufgabe 9

Khai und Nathalie überlegen sich ein Zahlenrätsel mit ihrem Alter. Wenn das Alter der beiden addiert wird, erhältst Du genau die Hälfte von dem Alter von Nathalies Vater. Nathalies Vater ist wiederum 5 Jahre jünger als Khais Vater.

Wie alt ist Nathalie, wenn Khai 14 und Khais Vater 55 Jahre alt ist?

Lösung

• Das Alter von Khai und Nathalie zusammen ist genau die Hälfte von dem Alter von Nathalies Vater.
• Khais Vater ist 5 Jahre jünger als Nathalies Vater.
• Nathalies Vater ist 55 Jahre alt
• Khai ist 14 Jahre alt.

Um die Aufgabe zu lösen, stellst Du am besten für jedes Alter einen Term auf:

• Khai: 14 Jahre
• Nathalie: x Jahre
• Khais Vater: 55 Jahre
• Nathalies Vater: 55 - 5 Jahre = 50 Jahre

Lies das Zahlenrätsel noch einmal durch und überlege, wie Du auf Nathalies Alter kommst.

Wenn Du das Alter von Nathalie und Khai addierst, erhältst Du genau die Hälfte von dem Alter von Nathalies Vater:

• $14+x=\frac{1}{2}·50$
• $14+x=25\overline{)-14}$
• $x=11$

Nathalie ist also 11 Jahre alt.