Terme berechnen

Aufgabe 1

Berechne folgenden Term:

$7·2^2-2-2^2·3^2+7-2·5^2÷2+12·3^2-6$

Lösung

Gehe jetzt Schritt für Schritt vor.

1. Term umordnen:

Hier stellst Du jeweils alle Multiplikationen und Additionen zusammen.

$\begin{array}{rcl}& & 7·2^2-2-2^2·3^2+7-2·5^2÷2+12·3^2-6\\ & =& 7·2^2-2^2·3^2-2·5^2÷2+12·3^2-2+7-6\end{array}$

2. Terme mit Klammern kommen gleich, hier handelt es sich erst noch um das Grundlegendste.

3. Potenzrechnung:

$\begin{array}{rcl}& & 7·2^2-2^2·3^2-2·5^2÷2+12·3^2-2+7-6\\ & =& 7·4-4·9-2·25÷2+12·9-2+7-6\end{array}$

Jetzt kannst Du die Multiplikation durchführen.

4. Punktrechnung:

$\begin{array}{rcl}& =& \underset{=28}{\underbrace{7·4}}-\underset{=36}{\underbrace{4·9}}-\underset{=25}{\underbrace{2·25}}÷2+\underset{=108}{\underbrace{12·9}}-2+7-6\\ & =& 28-36-25+108-2+7-6\end{array}$

Du hast hier nur noch Addition und Subtraktion übrig, also ist der nächste Schritt der letzte.

4. Strichrechnung:

$\begin{array}{rcl}& & 28-36-25+108-2+7-6\\ & =& 74\end{array}$

Das Ergebnis für Deinen Term ist also 74.

Aufgabe 2

Berechne folgenden Term:

$\left[2·\left(5+7\right)\right]-13$

Lösung

1. Schritt

Du löst zuerst die innerste Klammer auf:

$\begin{array}{rcl}& & \left[2·\left(5+7\right)\right]-13\\ & =& \left[2·12\right]-13\end{array}$

Und jetzt noch die äußere:

$\begin{array}{rcl}& & \left[2·12\right]-13\\ & =& 24-13\\ & =& 11\end{array}$

Nach diesem Schema kannst Du bei beliebig vielen Klammern vorgehen. Nachdem Du die Klammern gelöst hast, rechnest Du dann erst mit den Potenzen, dann der Punktrechnung und der Strichrechnung weiter.

Aufgabe 3

Julius würde gerne alle Fahrgeschäfte in einem Freizeitpark ausprobieren. Wie viele müsste er täglich fahren, wenn er sich die 50 Fahrgeschäfte auf verschieden viele Tage aufteilt?

Stelle einen Term auf.

Lösung

1. Schritt

Er möchte 50 Fahrgeschäfte in x Tagen fahren, das können wir auch in einem Bruch ausdrücken:

$\frac{50}{x}$

Und das ist auch schon der fertige Term.

Nehme hier wieder das Beispiel mit Julius.

Aufgabe 4

Wie viele Fahrgeschäfte müsste er täglich fahren, wenn er die Fahrten auf 5 oder 10 Tage verteilt.

Lösung

Hier kannst Du den Term von Oben nehmen:

$\frac{50}{x}$

Das $x$ hattest Du bei der Aufstellung des Terms als einen Platzhalter für beliebig viele Tage verwenden. Da Du jetzt eine konkrete Anzahl an Tagen hast, musst Du diese Zahl für das $x$ einsetzen.

$\begin{array}{ccc}& \frac{50}{x}& \to x=5\\ =& \frac{50}{5}& \\ =& 10& \end{array}$

Julius müsste 10 Fahrgeschäfte pro Tag fahren, wenn er insgesamt 5 Tage brauchen möchte.

Das kannst Du jetzt auch andersherum rechnen:

$\begin{array}{ccc}& \frac{50}{x}& \to x=10\\ =& \frac{50}{10}& \\ =& 5& \end{array}$

Julius müsste 5 Fahrgeschäfte pro Tag fahren, wenn er insgesamt 10 Tage brauchen möchte.

Aufgabe 5

Berechne folgenden Term für$x=1\mathrm{und}\mathrm{y}=3$:

$\begin{array}{rcl}& & 4x\left(9+y\right)-7x-y\end{array}$

Lösung

1. Schritt: Klammern auflösen

$\begin{array}{rcl}& & 4x·\left(9+y\right)-7x-y\\ & =& 36x+4xy-7x-y\end{array}$

2. Schritt: Zusammenfassen

$\begin{array}{rcl}& & 36x+4xy-7x-y\\ & =& 4xy+36x-7x-y\\ & =& 4xy+29x-y\end{array}$

3. Schritt: Werte einsetzen

$\begin{array}{rcl}& & 4xy+29x-y\\ & =& 4·1·3+29·1-3\\ & =& 12+29-3\\ & =& 38\end{array}$

Aufgabe 6

Berechne folgenden Term:

$\left[\left(5-2\right)·7-3\right]÷9$

Lösung

Als Erstes werden die Klammern ausgerechnet, beginnend mit der innersten:

$\begin{array}{rcl}& & \left[\left(5-2\right)·7-3\right]÷9\\ & =& \left[3·7-3\right]÷9\end{array}$

In die dieser Klammer gilt jetzt die Punkt vor Strich Regel:

$\begin{array}{rcl}& & \left[3·7-3\right]÷9\\ & =& \left[21-3\right]÷9\\ & =& 18÷9\\ & =& 2\end{array}$

Am Ende bleibt dann nur noch eine Division übrig, die Du berechnen musst. Damit bist Du dann auch fertig.

Aufgabe 7

Berechne den Term

$\left(x+5·2\right)÷3-\frac{x}{2}$

für $x=8$

Lösung

1. Schritt:

Als Erstes berechnest Du die Multiplikation in der Klammer:

$\begin{array}{rcl}& & \left(x+5·2\right)÷3-\frac{x}{2}\\ & =& (x+10)÷3-\frac{x}{2}\end{array}$

2. Schritt:

Als Nächstes setzt Du jetzt Deinen Wert für $x$ ein:

$\begin{array}{rcl}& & (x+10)÷3-\frac{x}{2}\\ & =& \left(8+10\right)÷3-\frac{8}{2}\end{array}$

3. Schritt:

Jetzt kannst Du wieder Deine Klammer lösen:

$\begin{array}{rcl}& =& \left(8+10\right)÷3-\frac{8}{2}\\ & =& 18÷3-4\end{array}$

4. Schritt:

Als Nächstes kommt jetzt wieder die Punktrechnung:

$\begin{array}{rcl}& =& 18÷3-4\\ & =& 6-4\end{array}$

5. Schritt:

Als letzter Schritt bleibt jetzt noch das Zusammenfassen der Summanden:

$\begin{array}{rcl}& =& 6-4\\ & =& 2\end{array}$

Aufgabe 8

Gegeben ist folgendes Rechteck. Berechne den inneren (markierten) Flächeninhalt für

$\mathrm{a}=6\mathrm{cm},\mathrm{b}=8\mathrm{cm}\mathrm{und}\mathrm{c}=1\mathrm{cm}$

Abbildung 1: Darstellung Umfang

Lösung

1. Schritt:

Als Erstes stellst Du den Term auf. Die Formel für den Flächeninhalt A eines Rechteckes lautet:

$\mathrm{A}=\mathrm{a}·\mathrm{b}$

In diesem Beispiel sind jedoch die beiden Seitenlängen nicht direkt gegeben, Du musst also jeweils erstmal einen Term für die Seitenlängen aufstellen.

Die Seitenlängen des inneren Flächeninhalts sind kürzer als die vorgegebenen Seiten a, b. In der Aufgabenstellung kannst Du sehen, dass an jeweils beiden Enden der Seitenlängen ein Abstand c zu den äußeren Seiten a, b existiert. Den musst Du also jeweils von den gegebenen Seitenlängen zweimal abziehen (auf jedem Ende einmal, also zwei pro Seitenlänge), um auf die Seitenlängen des inneren Flächeninhalts zu kommen.

Für die Seitenlängen des inneren Flächeninhaltes (in diesem Beispiel mal $\mathrm{a}\text{'}\mathrm{und}\mathrm{b}\text{'}$) gilt also:

$$\begin{gathered} \mathrm{a}\text{'}=\mathrm{a}-2\mathrm{c} \\ \mathrm{b}\text{'}=\mathrm{b}-2\mathrm{c} \end{gathered}$$

2. Schritt:

Jetzt musst Du diese beiden Terme in die allgemeine Formel des Flächeninhalts einsetzen:

$\begin{array}{rcl}\mathrm{A}& =& \mathrm{a}·\mathrm{b}\\ & =& \mathrm{a}\text{'}·\mathrm{b}\text{'}\\ & =& (\mathrm{a}-2\mathrm{c})·(\mathrm{b}-2\mathrm{c})\end{array}$

3. Schritt:

Jetzt kannst Du den Term berechnen, dafür solltest Du damit anfangen, die Klammern miteinander zu multiplizieren:

$\begin{array}{rcl}& & (\mathrm{a}-2\mathrm{c})·(\mathrm{b}-2\mathrm{c})\\ & =& \mathrm{a}\mathrm{b}-2\mathrm{a}\mathrm{c}-2\mathrm{b}\mathrm{c}+4{\mathrm{c}}^2\end{array}$

4. Schritt:

Da Du hier die Variablen nicht mehr zusammenfassen kannst, musst Du jetzt die Werte für Deine Variablen eingeben:

$\begin{array}{rcl}& & \mathrm{a}\mathrm{b}-2\mathrm{a}\mathrm{c}-2\mathrm{b}\mathrm{c}+4{\mathrm{c}}^2\\ & =& 6\mathrm{cm}·8\mathrm{cm}-2·6\mathrm{cm}·1\mathrm{cm}-2·8\mathrm{cm}·1\mathrm{cm}+4·1{\mathrm{cm}}^2\end{array}$

5. Schritt:

Diesen Term rechnest Du jetzt aus, beginnend mit der Multiplikation:

$\begin{array}{rcl}& & 6\mathrm{cm}·8\mathrm{cm}-2·6\mathrm{cm}·1\mathrm{cm}-2·8\mathrm{cm}·1\mathrm{cm}+4·1{\mathrm{cm}}^2\\ & =& 48{\mathrm{cm}}^2-12{\mathrm{cm}}^2-16{\mathrm{cm}}^2+4{\mathrm{cm}}^2\end{array}$

6. Schritt:

Zum Schluss bleibt jetzt noch die Strichrechnung:

$\begin{array}{rcl}& & 48{\mathrm{cm}}^2-12{\mathrm{cm}}^2-16{\mathrm{cm}}^2+4{\mathrm{cm}}^2\\ & =& 24{\mathrm{cm}}^2\end{array}$

Da es sich hier um einen Flächeninhalt handelt, muss die Einheit in der zweiten Potenz angegeben sein. Wenn das bei Deiner Rechnung nicht der Fall ist, solltest Du Deine Rechnung noch einmal auf Fehler überprüfen.