Trigonometrische Gleichungen lösen

Die Gleichung \( sin(x)=0{,}8 \) hat eine Lösung bei \( x_{ 1 } = 0{,}927 \). Um die andere Lösung in der Periode von \(\color{bl}p= 2\pi \) zu ermitteln, setzt Du jetzt die erste Lösung in die Formel ein:

\begin{align} x_{ 2 } &= \frac{ {\color{#1478c8}p} }{ 2 } - {\color{#00dcb4}x_{ 1 }} \\x_{ 2 } &= \frac{ {\color{#1478c8}2\pi} }{ 2 } - {\color{#00dcb4}0{,}927} \\x_{ 2 } &= 2{,}215 \\\end{align}

Die zweite Lösung lautet \(x_{ 2 } = 2{,}215\).

Wie sieht das Ganze jetzt für die Sinusgleichung \(sin(x)=0{,}8 \) aus? Die Lösungen der ersten Periode der trigonometrischen Gleichung \( sin(x)=0{,}8 \) lauten: \( x_{ 1 } = 0{,}927 \) und \( x_{ 2 } = 2{,}215 \).

Die Lösung der zweiten Periode kannst Du jetzt mit der Formel \(\mathbb{L}=x_{1,2}+k\cdot p\) berechnen, wobei \( k=1 \) und \(p=2\pi\) ist.

\begin{align} x_{ 3 } &= x_{ 1 } + {\color{gr}1}\cdot{\color{bl}2\pi} &= 0{,}927 + {\color{gr}1}\cdot {\color{bl}2\pi} &&= 7{,}210\\x_{ 4 } &= x_{ 2 } + {\color{gr}1}\cdot {\color{bl}2\pi} &= 2{,}215 + {\color{gr}1}\cdot {\color{bl}2\pi} &&= 8{,}498 \\\end{align}

Analog dazu die Lösungen der dritten Periode mit \(k=2\):

\begin{align} x_{ 5 } &= x_{ 1 } + {\color{gr}2}\cdot{\color{bl}2\pi} &= 0{,}927 + {\color{gr}2}\cdot {\color{bl}2\pi} &&= 13{,}493 \\x_{ 6 } &= x_{ 2 } +{ \color{gr}2}\cdot {\color{bl}2\pi} &= 2{,}215 + {\color{gr}2}\cdot {\color{bl}2\pi} &&= 14{,}781 \\\end{align}

Die gesamte Lösungsmenge kannst Du also wie folgt angeben:

\[\mathbb{L}=\{0{,}927+{\color{gr}k}\cdot{\color{bl}2\pi}; \,2{,}215+{\color{gr}k}\cdot{\color{bl}2\pi}, {\color{gr}k} \in \mathbb{Z}\}\]

Löse die Gleichung \( sin(3x) = 0{,}5\ für\ x \in \left[ 0; \pi \right] \).

Aufgabe 2

Löse die folgende Gleichung:

$$sin(3x)=0{,}5$$ für \( x \in \left[ 0; \pi \right] \).

Lösung

Um die Gleichung hier zu lösen, wählst Du die Umkerfunktion von Sinus, also \(sin^{-1}\).

\begin{align} sin(3x) &= 0{,}5 & & | sin^{-1} \\3x &= sin^{-1}(0{,}5) \\\end{align}

\( sin^{-1}(0{,}5) \) kannst Du jetzt in Deinen Taschenrechner eingeben. Das Ergebnis davon ist \( 0{,}5236 \).

Löse Deine Gleichung nach \( x \) auf und Du erhältst das erste Ergebnis:

\begin{align} 3x &= 0{,}5236 & & | :3 \\[0.2cm]x &= \frac{ 0{,}5236 }{ 3 } \\[0.2cm]x_{ 1 } &= 0{,}1745 \\\end{align}

Zum Berechnen der zweiten Lösung \( x_{ 2 } \) nutzt Du die Formel \( x_{ 2 } = \frac{ p }{ 2 } - x_{ 1 }\) mit der Periode \( p = \frac{ 2\pi }{ 3 } \):

\begin{align} x_{ 2 } &= \frac{\frac{ 2\pi }{ 3 }}{2} - 0{,}1745 \\[0.2cm]x_{ 2 } &\approx 0{,}8727 \end{align}

Da in der Aufgabenstellung ein Intervall angegeben ist, musst Du noch weitere Lösungen für \(x\) für die nächste Periode berechnen:

\begin{align} x_{ 3 } &= x_{ 1 } + 1\cdot\frac{2\pi}{3}&= 0{,}1745 + 1\cdot \frac{2\pi}{3} && \approx 2{,}2689\\x_{ 4 } &= x_{ 2 } + 1\cdot \frac{2\pi}{3} &=0{,}8727 + 1\cdot \frac{2\pi}{3} &&\approx 2{,}9671 \end{align}

Weitere Lösungen für \(x\) sind nicht mehr im Intervall von \( x \in \left[ 0; \pi \right] \) enthalten. Daraus ergibt sich folgende Lösungsmenge

\[\mathbb{L}=\{0{,}1745; 0{,}8727; 2{,}2689; 2{,}9671 \}\]

Aufgabe 3

Löse die folgende Gleichung: $$sin(x)=\frac{ \sqrt{ 3 } }{ 2 } $$

Lösung

Aus der Wertetabelle kannst Du ablesen, dass der Sinus für \( x = \frac{ \pi }{ 3 } \) den Funktionswert \( \frac{ \sqrt{ 3 } }{ 2 } \) annimmt. Die erste Lösung lautet somit \( x_{ 1 } = \frac{ \pi }{ 3 } \).

Zum Berechnen der zweiten Lösung \( x_{ 2 } \) nutzt Du die Formel \( x_{ 2 } = \frac{ {\color{bl}p} }{ 2 } - {\color{gr}x_{ 1 }}\) mit der Periode \( \color{bl}p = 2\pi \):

\begin{align} x_{ 2 } &= \frac{{\color{bl}2\pi}}{2} - {\color{gr}\frac{ \pi }{ 3 }} \\x_{ 2 } &= \frac{ 2\pi }{ 3 } \\\end{align}

Da in der Aufgabe kein Intervall angegeben ist, musst Du noch die gesamte Lösungsmenge angeben: \[\mathbb{L}=\left\{\frac{ \pi }{ 3 }+k\cdot2\pi; \frac{ 2\pi }{ 3 } +k\cdot2\pi, k \in \mathbb{Z}\right\}\]

Aufgabe 4

Löse die folgende Gleichung: $$sin(3x)=0{,}5$$

Gib alle Lösungen im Intervall von \( x\in\left[ 0,\frac{ \pi }{ 2 } \right] \) an.

Lösung

1. Ersetze den Teil in der Klammer mit "u"

Du ersetzt die "\( 3x \)" mit \( u \). \( \to u=3x \)

\begin{align} sin(3x)&=0{,}5\\sin(u) &= 0{,}5 \end{align}

2. Löse die vereinfachte Gleichung

\begin{align} sin(u) &= 0{,}5 \\\end{align}

Aus der Wertetabelle kannst Du ablesen, dass der Sinus den \( y \)-Wert \( 0{,}5\) bei \( x \) bzw. \( u= \frac{ \pi }{ 6 } \) annimmt.

Die erste Lösung für \( sin(u) = 0{,}5 \) lautet somit: \( u_{ 1 } = \frac{ \pi }{ 6 } \).

3. Rücksubstitution

Die berechneten Lösungen aus 2. ist von \( u \) abhängig und bezieht sich auf \( sin(u) = 0{,}5 \). Um nun die Lösung auf die eigentliche Gleichung \( f(x)=sin(3x) \) zu beziehen, musst Du die Substitution \( u = 3x \) in die Lösung von oben einsetzen:

\begin{align}u_{ 1 } &= \frac{ \pi }{ 6 } \\[0.2cm]3x_{ 1 } &= \frac{ \pi }{ 6 } & & | :3 \\[0.2cm]x_{ 1 } &= \frac{ \pi }{ 18 } \\\end{align}

Die erste Lösung für die Gleichung \( sin(3x)=0{,}5 \) lautet somit \( x_{ 1 } = \frac{ \pi }{ 18 } \).

4. Berechne mit x₁ weitere Lösungen für x im Intervall

Zum Berechnen der zweiten Lösung \( x_{ 2 } \) nutzt Du wieder die Formel \( x_{ 2 } = \frac{ p }{ 2 } - x_{ 1 }\) mit der Periode \( p = \frac{ 2\pi }{ 3 } \):

\begin{align}x_{ 2 } &= \frac{ 2\pi }{ 6 } - \frac{ \pi }{ 18 } \\x_{ 2 } &= \frac{ 5 }{ 18 }\pi \\\end{align}

Die dritte Lösung liegt noch im Intervall von \( x\in\left[ 0,\frac{ \pi }{ 2 } \right] \) und ergibt sich zu:

\begin{align}x_3&=x_1+k\cdot p\\x_{ 3 } &= x_{ 1 } + 1 \cdot \frac{ 2\pi }{ 3 } \\x_{ 3 } &= \frac{ 13 }{ 18 }\pi \\\end{align}

Die finalen Lösungen für die Gleichung \( sin(3x)=0{,}5 \) im gegebenen Intervall \( x\in\left[ 0,\frac{ \pi }{ 2 } \right] \) ergeben sich somit zu:

$$x_{ 1 } = \frac{ \pi }{ 18 };\ x_{ 2 } = \frac{ 5 }{ 18 }\pi;\ x_{ 3 } = \frac{ 13 }{ 18 }\pi$$

Löse \( 5\cdot cos(3x) = 1\) für \( x \in \left[ 0; \frac{ \pi }{ 2 } \right] \) mit dem Taschenrechner.

Lösung

\begin{align} 5\cdot cos(3x) &= 1 & & | :5 \\cos(3x) &= \frac{ 1 }{ 5 } & & | cos^{-1} \\3x &= cos^{-1}(\frac{ 1 }{ 5 } ) & & | :3\\x &= \frac{ cos{-1}(\frac{ 1 }{ 5 } ) }{ 3 }\\x_{ 1 } &= 0{,}4565 \end{align}

Zum Berechnen der zweiten Lösung \( x_{ 2 } \) nutzt Du die Formel \( x_{ 2 } = p - x_{ 1 }\) mit der Periode \( p = \frac{ 2\pi }{ 3 } \):

\begin{align} x_{ 2 } &= \frac{ 2\pi }{ 3 } - 0{,}4565\\x_{ 2 } &= 1{,}6379 \\\end{align}

Da \( x_{ 2 } \) größer als \( \frac{ \pi }{ 2 } \) sind und somit nicht mehr im angegebenen Intervall von \( \left[ 0; \frac{ \pi }{ 2 } \right] \) liegt, gehört diese Lösung nicht mehr zu den gesuchten Lösungen.

Die Lösungsmenge lautet somit \(\mathbb{L}=\{0{,}4565\}\).

Löse die Gleichung \[2 \cdot cos(2x-\pi ) - \sqrt{ 2 } = 0\] ohne Taschenrechner.

Lösung

0. Gleichung aufräumen

\begin{align} 2cos(2x-\pi) -\sqrt{ 2 } &= 0 & & | +\sqrt{ 2 } \\2cos(2x-\pi) &= \sqrt{ 2 } & & | :2\\cos(2x-\pi) &= \frac{ \sqrt{ 2 } }{ 2 }\\\end{align}

1. Ersetze den Teil in der Klammer mit "u"

Du ersetzt die "\( 2x-\pi \)" mit \( u \). \( \to u=2x-\pi \)

\begin{align} cos(2x-\pi) &= \frac{ \sqrt{ 2 } }{ 2 }\\cos(u) &= \frac{ \sqrt{ 2 } }{ 2 } \\\end{align}

2. Löse die vereinfachte Gleichung

\begin{align} cos(u) &= \frac{ \sqrt{ 2 } }{ 2 } \\\end{align}

Aus der Wertetabelle kannst Du ablesen, dass der Kosinus den Funktionswert \( \frac{ \sqrt{ 2 } }{ 2 }\) bei \( x \) bzw. \( u= \frac{ \pi }{ 4 } \) annimmt.

Die erste Lösung für die Gleichung \( cos(u) = \frac{ \sqrt{ 2 } }{ 2 } \) lautet somit: \( u_{ 1 } = \frac{ \pi }{ 4 } \).

3. Rücksubstitution

Setzte die Substitution \( u=2x-\pi \) in die Lösung \(u_{ 1 }\) ein.

\begin{align}u_{ 1 } &= \frac{ \pi }{ 4 } \\[0.2cm] 2x_{ 1 }-\pi &= \frac{ \pi }{ 4 }&&|+\pi\\[0.2cm]2x_1&=\frac{5}{4}\cdot \pi &&|:2\\[0.2cm]x_1&=\frac{5}{8}\cdot \pi\end{align}

4. Berechne mit x₁ weitere Lösungen für x im Intervall

\begin{align}x_2&=p-x_1\\[0.15cm]&=\pi-\frac{5}{8} \cdot \pi\\[0.15cm]&=\frac{3}{8}\cdot \pi\end{align}

Da kein Intervall angegeben ist, lautet die allgemeine Lösungsmenge \(\mathbb{L}=\{\frac{ 5 }{ 8 }\pi+k\cdot \pi; \frac{ 3 }{ 8 }\pi + k \cdot \pi; k \in \mathbb{Z}\}\).