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Trigonometrische Gleichungen erkennst Du daran, dass sie Terme mit Sinus, Kosinus oder Tangens beinhalten. Wenn Du trigonometrische Gleichungen lösen willst, kann Dir der Taschenrechner dabei behilflich sein. Wie Du ihn dabei einsetzt, wie Du trigonometrische Gleichungen auch ohne Taschenrechner mithilfe der Substitution lösen kannst sowie weitere hilfreiche Tipps erfährst Du in dieser Erklärung.
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Leg kostenfrei losWelche der Funktionen ist keine trigonometrische Funktion?
Welche Periode \(p\) hat die Funktion \(f(x)=5sin(7x)\)?
Welchen Funktionswert nimmt die Funktion \(f(x)=sin(x)\) für \(x=0\) an?
Welchen Funktionswert nimmt die Funktion \(f(x)=cos(x)\) für \(x=0\) an?
Wie viele Lösungen besitzt die Funktion \(sin(x)=1\) im Intervall von \( x\in\left[ 0,2\pi \right] \)?
Wie viele Lösungen besitzt die Funktion \(cos(x)=-1\) im Intervall von \( x\in\left[ 2\pi,4\pi \right] \)?
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Team Trigonometrische Gleichungen lösen Lehrer
Trigonometrische Gleichungen sind mathematische Gleichungen, in denen die Winkelfunktionen Sinus, Kosinus und Tangens vorkommen. Trigonometrische Funktionen sind periodische Funktionen. Das bedeutet, dass sich die Funktionen nach einer gewissen Periode \( p \) wiederholen.
Die Funktionsgleichung, die dazugehörige Periodizität sowie der Wertebereich der drei Funktionen findest Du in der nachfolgenden Tabelle.
| Sinusfunktion | Kosinusfunktion | Tangensfunktion | |
| Funktionsgleichung | \( f(x) = sin(x) \) | \( f(x) = cos(x) \) | \( f(x) = tan(x) \) |
| Periodizität \( p \) | \( 2 \pi \) | \( \pi \) | |
| Wertebereich | \( { W }_{ f } = [-1,1] \) | \( { W }_{ f } = [-\infty,\infty] \) | |
Trigonometrische Gleichungen können in Bogenmaß (erkennbar am \( \pi \)) und alternativ in Gradmaß (erkennbar an der Einheit \( ^{ \circ } \)) angegeben werden. Aufgrund der Periodizität wird in der Regel das Bogenmaß verwendet.
Weitere Eigenschaften trigonometrischer Funktionen findest Du in den Erklärungen Trigonometrische Funktionen, Sinusfunktion, Kosinusfunktion und Tangensfunktion.
Für die Sinus- und Kosinus Funktion findest Du innerhalb einer Periode für einen \( y-\)Wert maximal zwei \( x-\)Werte.
Innerhalb der Periode \( p \) nehmen \( x_{ 1 } \) und \( x_{ 2 } \) den \( y-Wert = 0{,}8 \) an. Das bedeutet, dass es innerhalb einer Periode - in diesem Fall \( 2 \pi \) - zwei Lösungen gibt. Dein Taschenrechner wird Dir jedoch für \( y = 0{,}8 \) nur eine Lösung anzeigen (\( x_{ 1 } \)). Das zweite Ergebnis \( x_{ 2 } \) kannst Du mithilfe folgender Gleichungen selbst bestimmen:
\(\definecolor{bl}{RGB}{20, 120, 200}\definecolor{gr}{RGB}{0, 220, 180}\definecolor{r}{RGB}{250, 50, 115}\definecolor{li}{RGB}{131, 99, 226}\definecolor{ge}{RGB}{255, 205, 0}\)
| Formel zur Berechnung der zweiten Lösung innerhalb einer Periode | |
| Sinus | Cosinus |
| \( x_{ 2 } = \frac{ {\color{bl}p} }{ 2 } - {\color{gr}x_{ 1 }}\) | \( x_{ 2 } = {\color{bl}p} - {\color{gr}x_{ 1 }}\) |
Damit kannst Du innerhalb der ersten Periode alle Lösungen berechnen.
Die Gleichung \( sin(x)=0{,}8 \) hat eine Lösung bei \( x_{ 1 } = 0{,}927 \). Um die andere Lösung in der Periode von \(\color{bl}p= 2\pi \) zu ermitteln, setzt Du jetzt die erste Lösung in die Formel ein:
\begin{align} x_{ 2 } &= \frac{ {\color{#1478c8}p} }{ 2 } - {\color{#00dcb4}x_{ 1 }} \\x_{ 2 } &= \frac{ {\color{#1478c8}2\pi} }{ 2 } - {\color{#00dcb4}0{,}927} \\x_{ 2 } &= 2{,}215 \\\end{align}
Die zweite Lösung lautet \(x_{ 2 } = 2{,}215\).
Da trigonometrische Funktionen periodische Funktionen sind und nach der ersten Periode die zweite Periode kommt und danach die dritte und immer so weiter, hat jede weitere Periode innerhalb des Wertebereiches auch wieder zwei Lösungen (bzw. mindestens eine), die den \( y \)-Wert annehmen.
Abb. 3: Stellen, an denen die trigonometrischen Funktion Sinus den Wert 0,8 annimmt.
Du kannst aus der Abbildung erkennen, dass \( A \) & \( C \) genau eine Periodenlänge – hier \( 2\pi \) – voneinander entfernt sind. Genauso wie \( B \) & \( D \), \( C \) & \( E \) oder \( D \) & \( F \) einen Abstand von \( 2\pi \) haben. Die Lösungsmenge trigonometrischer Gleichungen ist also periodisch.
Die vollständige Lösungsmenge von trigonometrischen Gleichungen wie Sinus und Cosinus wird wie folgt angegeben: \[\mathbb{L}=\{x_1+{\color{gr}k}\cdot {\color{bl}p}; x_2+{\color{gr}k}\cdot {\color{bl}p} \}\]
Jede trigonometrische Gleichung hat somit für einen \( y\)-Wert unendlich viele Lösungen.
Wie sieht das Ganze jetzt für die Sinusgleichung \(sin(x)=0{,}8 \) aus? Die Lösungen der ersten Periode der trigonometrischen Gleichung \( sin(x)=0{,}8 \) lauten: \( x_{ 1 } = 0{,}927 \) und \( x_{ 2 } = 2{,}215 \).
Die Lösung der zweiten Periode kannst Du jetzt mit der Formel \(\mathbb{L}=x_{1,2}+k\cdot p\) berechnen, wobei \( k=1 \) und \(p=2\pi\) ist.
\begin{align} x_{ 3 } &= x_{ 1 } + {\color{gr}1}\cdot{\color{bl}2\pi} &= 0{,}927 + {\color{gr}1}\cdot {\color{bl}2\pi} &&= 7{,}210\\x_{ 4 } &= x_{ 2 } + {\color{gr}1}\cdot {\color{bl}2\pi} &= 2{,}215 + {\color{gr}1}\cdot {\color{bl}2\pi} &&= 8{,}498 \\\end{align}
Analog dazu die Lösungen der dritten Periode mit \(k=2\):
\begin{align} x_{ 5 } &= x_{ 1 } + {\color{gr}2}\cdot{\color{bl}2\pi} &= 0{,}927 + {\color{gr}2}\cdot {\color{bl}2\pi} &&= 13{,}493 \\x_{ 6 } &= x_{ 2 } +{ \color{gr}2}\cdot {\color{bl}2\pi} &= 2{,}215 + {\color{gr}2}\cdot {\color{bl}2\pi} &&= 14{,}781 \\\end{align}
Die gesamte Lösungsmenge kannst Du also wie folgt angeben:
\[\mathbb{L}=\{0{,}927+{\color{gr}k}\cdot{\color{bl}2\pi}; \,2{,}215+{\color{gr}k}\cdot{\color{bl}2\pi}, {\color{gr}k} \in \mathbb{Z}\}\]
Aufgrund der Periodizität haben trigonometrische Gleichungen im Allgemeinen eine unendliche Lösungsmenge. Schaust Du Dir die Gleichung aber nur in einem bestimmten Intervall an, ist die Lösungsmenge der Gleichung auf dieses Intervall beschränkt.
Eine Aufgabenstellung mit Intervallgrenzen könnte wie folgt aussehen:
Löse die Gleichung \( sin(3x) = 0{,}5\ für\ x \in \left[ 0; \pi \right] \).
Um eine solche Gleichung zu lösen, kann Dir Dein Taschenrechner helfen. Wie das genau funktioniert, erfährst Du in den nächsten Abschnitten.
Hast Du zum Lösen trigonometrischer Gleichungen einen Taschenrechner zur Verfügung, kannst Du die Lösungen mithilfe der Umkehrfunktionen berechnen lassen.
| Trigonometrische Funktion | Umkehrfunktion (Befehl) |
| Sinus: \(sin(x)\) | Arkussinus: \(arcsin(x)\) auch \(sin(x)^{-1}\) |
| Cosinus: \(cos(x)\) | Arkuscosinus: \(arccos(x)\) auch \(cos(x)^{-1}\) |
| Tangens: \(tan(x)\) | Arkustangens: \(arctan(x)\) auch \(tan(x)^{-1}\) |
Im nächsten Beispiel kannst Du nachvollziehen, was genau bei solchen Befehlen passiert.
Aufgabe 2
Löse die folgende Gleichung:
$$sin(3x)=0{,}5$$ für \( x \in \left[ 0; \pi \right] \).
Lösung
Um die Gleichung hier zu lösen, wählst Du die Umkerfunktion von Sinus, also \(sin^{-1}\).
\begin{align} sin(3x) &= 0{,}5 & & | sin^{-1} \\3x &= sin^{-1}(0{,}5) \\\end{align}
\( sin^{-1}(0{,}5) \) kannst Du jetzt in Deinen Taschenrechner eingeben. Das Ergebnis davon ist \( 0{,}5236 \).
Achte bei der Eingabe in den Taschenrechner darauf, dass er auf Radiant (RAD) eingestellt ist.
Löse Deine Gleichung nach \( x \) auf und Du erhältst das erste Ergebnis:
\begin{align} 3x &= 0{,}5236 & & | :3 \\[0.2cm]x &= \frac{ 0{,}5236 }{ 3 } \\[0.2cm]x_{ 1 } &= 0{,}1745 \\\end{align}
Zum Berechnen der zweiten Lösung \( x_{ 2 } \) nutzt Du die Formel \( x_{ 2 } = \frac{ p }{ 2 } - x_{ 1 }\) mit der Periode \( p = \frac{ 2\pi }{ 3 } \):
\begin{align} x_{ 2 } &= \frac{\frac{ 2\pi }{ 3 }}{2} - 0{,}1745 \\[0.2cm]x_{ 2 } &\approx 0{,}8727 \end{align}
Da in der Aufgabenstellung ein Intervall angegeben ist, musst Du noch weitere Lösungen für \(x\) für die nächste Periode berechnen:
\begin{align} x_{ 3 } &= x_{ 1 } + 1\cdot\frac{2\pi}{3}&= 0{,}1745 + 1\cdot \frac{2\pi}{3} && \approx 2{,}2689\\x_{ 4 } &= x_{ 2 } + 1\cdot \frac{2\pi}{3} &=0{,}8727 + 1\cdot \frac{2\pi}{3} &&\approx 2{,}9671 \end{align}
Weitere Lösungen für \(x\) sind nicht mehr im Intervall von \( x \in \left[ 0; \pi \right] \) enthalten. Daraus ergibt sich folgende Lösungsmenge
\[\mathbb{L}=\{0{,}1745; 0{,}8727; 2{,}2689; 2{,}9671 \}\]
Darfst Du Deinen Taschenrechner beim Lösen nicht benutzen, kannst Du mithilfe einiger wichtigen Werte der Kosinus- und Sinusfunktion selbst auf Dein Ergebnis schließen. Dazu liegt der Aufgabe meist eine Wertetabelle bei.
| \(x\) in Bogenmaß | \( \frac{ \pi }{ 6 } \) | \( \frac{ \pi }{ 4 } \) | \( \frac{ \pi }{ 3 } \) | \( \frac{ \pi }{ 2 } \) | \( \pi \) | \( \frac{ 3\pi }{ 2 } \) | \( 2\pi \) |
| \( f(x)=sin(x) \) | \( \frac{ 1 }{ 2 } \) | \( \frac{ \sqrt{ 2 } }{ 2 } \) | \( \frac{ \sqrt{ 3 } }{ 2 } \) | \( 1 \) | \( 0 \) | \( -1 \) | \( 0 \) |
| \( f(x)=cos(x) \) | \( \frac{ \sqrt{ 3 } }{ 2 } \) | \( \frac{ \sqrt{ 2 } }{ 2 }\) | \( \frac{ 1 }{ 2 } \) | \( 0 \) | \( -1 \) | \( 0 \) | \( 1 \) |
\( \frac{ \sqrt{ 2 } }{ 2 } \approx 0{,}707\), \( \frac{ \sqrt{ 3 } }{ 2 } \approx 0{,}866\)
Aus der Wertetabelle kannst Du z.B. ablesen, dass die Funktion \( f(x)=sin(x) \) bei \( x=\pi \) den Funktionswert \( 0\) besitzt: \( sin(\pi)=0 \). Versuche mithilfe der Tabelle folgende Aufgabe zu lösen:
Aufgabe 3
Löse die folgende Gleichung: $$sin(x)=\frac{ \sqrt{ 3 } }{ 2 } $$
Lösung
Aus der Wertetabelle kannst Du ablesen, dass der Sinus für \( x = \frac{ \pi }{ 3 } \) den Funktionswert \( \frac{ \sqrt{ 3 } }{ 2 } \) annimmt. Die erste Lösung lautet somit \( x_{ 1 } = \frac{ \pi }{ 3 } \).
Zum Berechnen der zweiten Lösung \( x_{ 2 } \) nutzt Du die Formel \( x_{ 2 } = \frac{ {\color{bl}p} }{ 2 } - {\color{gr}x_{ 1 }}\) mit der Periode \( \color{bl}p = 2\pi \):
\begin{align} x_{ 2 } &= \frac{{\color{bl}2\pi}}{2} - {\color{gr}\frac{ \pi }{ 3 }} \\x_{ 2 } &= \frac{ 2\pi }{ 3 } \\\end{align}
Da in der Aufgabe kein Intervall angegeben ist, musst Du noch die gesamte Lösungsmenge angeben: \[\mathbb{L}=\left\{\frac{ \pi }{ 3 }+k\cdot2\pi; \frac{ 2\pi }{ 3 } +k\cdot2\pi, k \in \mathbb{Z}\right\}\]
Kompliziertere Gleichungen kannst Du auch ohne Taschenrechner lösen, indem Du sie vorher vereinfachst. Das geht z. B. durch Substitution oder Additionstheoreme.
Um kompliziertere trigonometrische Gleichungen ohne Taschenrechner zu lösen, kann Dir die Substitution helfen. Damit vereinfachst Du bestimmte Terme. Dabei gehst Du wie folgt vor:
Aufgabe 4
Löse die folgende Gleichung: $$sin(3x)=0{,}5$$
Gib alle Lösungen im Intervall von \( x\in\left[ 0,\frac{ \pi }{ 2 } \right] \) an.
Lösung
1. Ersetze den Teil in der Klammer mit "u"
Du ersetzt die "\( 3x \)" mit \( u \). \( \to u=3x \)
\begin{align} sin(3x)&=0{,}5\\sin(u) &= 0{,}5 \end{align}
2. Löse die vereinfachte Gleichung
\begin{align} sin(u) &= 0{,}5 \\\end{align}
Aus der Wertetabelle kannst Du ablesen, dass der Sinus den \( y \)-Wert \( 0{,}5\) bei \( x \) bzw. \( u= \frac{ \pi }{ 6 } \) annimmt.
Die erste Lösung für \( sin(u) = 0{,}5 \) lautet somit: \( u_{ 1 } = \frac{ \pi }{ 6 } \).
3. Rücksubstitution
Die berechneten Lösungen aus 2. ist von \( u \) abhängig und bezieht sich auf \( sin(u) = 0{,}5 \). Um nun die Lösung auf die eigentliche Gleichung \( f(x)=sin(3x) \) zu beziehen, musst Du die Substitution \( u = 3x \) in die Lösung von oben einsetzen:
\begin{align}u_{ 1 } &= \frac{ \pi }{ 6 } \\[0.2cm]3x_{ 1 } &= \frac{ \pi }{ 6 } & & | :3 \\[0.2cm]x_{ 1 } &= \frac{ \pi }{ 18 } \\\end{align}
Die erste Lösung für die Gleichung \( sin(3x)=0{,}5 \) lautet somit \( x_{ 1 } = \frac{ \pi }{ 18 } \).
4. Berechne mit x1 weitere Lösungen für x im Intervall
Zum Berechnen der zweiten Lösung \( x_{ 2 } \) nutzt Du wieder die Formel \( x_{ 2 } = \frac{ p }{ 2 } - x_{ 1 }\) mit der Periode \( p = \frac{ 2\pi }{ 3 } \):
\begin{align}x_{ 2 } &= \frac{ 2\pi }{ 6 } - \frac{ \pi }{ 18 } \\x_{ 2 } &= \frac{ 5 }{ 18 }\pi \\\end{align}
Die dritte Lösung liegt noch im Intervall von \( x\in\left[ 0,\frac{ \pi }{ 2 } \right] \) und ergibt sich zu:
\begin{align}x_3&=x_1+k\cdot p\\x_{ 3 } &= x_{ 1 } + 1 \cdot \frac{ 2\pi }{ 3 } \\x_{ 3 } &= \frac{ 13 }{ 18 }\pi \\\end{align}
Die finalen Lösungen für die Gleichung \( sin(3x)=0{,}5 \) im gegebenen Intervall \( x\in\left[ 0,\frac{ \pi }{ 2 } \right] \) ergeben sich somit zu:
$$x_{ 1 } = \frac{ \pi }{ 18 };\ x_{ 2 } = \frac{ 5 }{ 18 }\pi;\ x_{ 3 } = \frac{ 13 }{ 18 }\pi$$
Die trigonometrischen Funktionen lassen sich alle über den Einheitskreis herleiten. Demnach stehen der Sinus, Kosinus und Tangens in Beziehungen, die es Dir erlauben, beim Lösen Abkürzungen anzuwenden.
Schau Dir dafür einige der Zusammenhänge in der folgenden Liste an:
Weiterhin kannst Du die Additionstheoreme, als Werkzeug verwenden, um Deine trigonometrische Gleichung zu vereinfachen. Additionstheoreme sind Formeln zur Vereinfachung von Winkelfunktionen der Form: \( sin(\alpha\pm\beta) \), \( cos(\alpha\pm\beta) \) und \( tan(\alpha\pm\beta) \). Schau Dir dafür die nächste Tabelle an.
| Funktion | Additionstheorem |
| Sinus | \(sin(\alpha\pm\beta) = sin(\alpha)\cdot cos(\beta)\pm cos(\alpha)\cdot sin(\beta)\) |
| Cosinus | \(cos(\alpha\pm\beta) = cos(\alpha)\cdot cos(\beta)\mp sin(\alpha)\cdot sin(\beta)\) |
| Tangens | \(tan(\alpha\pm\beta) = \frac{ tan(\alpha)\pm tan(\beta)}{ 1\mp tan(\alpha) \cdot tan(\beta) }\) |
Mehr Informationen dazu findest Du in der Erklärung Additionstheoreme.
Versuche nun selbstständig die folgenden Aufgaben zu lösen.
Löse \( 5\cdot cos(3x) = 1\) für \( x \in \left[ 0; \frac{ \pi }{ 2 } \right] \) mit dem Taschenrechner.
Lösung
\begin{align} 5\cdot cos(3x) &= 1 & & | :5 \\cos(3x) &= \frac{ 1 }{ 5 } & & | cos^{-1} \\3x &= cos^{-1}(\frac{ 1 }{ 5 } ) & & | :3\\x &= \frac{ cos{-1}(\frac{ 1 }{ 5 } ) }{ 3 }\\x_{ 1 } &= 0{,}4565 \end{align}
Zum Berechnen der zweiten Lösung \( x_{ 2 } \) nutzt Du die Formel \( x_{ 2 } = p - x_{ 1 }\) mit der Periode \( p = \frac{ 2\pi }{ 3 } \):
\begin{align} x_{ 2 } &= \frac{ 2\pi }{ 3 } - 0{,}4565\\x_{ 2 } &= 1{,}6379 \\\end{align}
Da \( x_{ 2 } \) größer als \( \frac{ \pi }{ 2 } \) sind und somit nicht mehr im angegebenen Intervall von \( \left[ 0; \frac{ \pi }{ 2 } \right] \) liegt, gehört diese Lösung nicht mehr zu den gesuchten Lösungen.
Die Lösungsmenge lautet somit \(\mathbb{L}=\{0{,}4565\}\).
Löse die Gleichung \[2 \cdot cos(2x-\pi ) - \sqrt{ 2 } = 0\] ohne Taschenrechner.
Diese Kosinusgleichung hat eine Periodenlänge von \(p=\pi\).
Lösung
0. Gleichung aufräumen
\begin{align} 2cos(2x-\pi) -\sqrt{ 2 } &= 0 & & | +\sqrt{ 2 } \\2cos(2x-\pi) &= \sqrt{ 2 } & & | :2\\cos(2x-\pi) &= \frac{ \sqrt{ 2 } }{ 2 }\\\end{align}
1. Ersetze den Teil in der Klammer mit "u"
Du ersetzt die "\( 2x-\pi \)" mit \( u \). \( \to u=2x-\pi \)
\begin{align} cos(2x-\pi) &= \frac{ \sqrt{ 2 } }{ 2 }\\cos(u) &= \frac{ \sqrt{ 2 } }{ 2 } \\\end{align}
2. Löse die vereinfachte Gleichung
\begin{align} cos(u) &= \frac{ \sqrt{ 2 } }{ 2 } \\\end{align}
Aus der Wertetabelle kannst Du ablesen, dass der Kosinus den Funktionswert \( \frac{ \sqrt{ 2 } }{ 2 }\) bei \( x \) bzw. \( u= \frac{ \pi }{ 4 } \) annimmt.
Die erste Lösung für die Gleichung \( cos(u) = \frac{ \sqrt{ 2 } }{ 2 } \) lautet somit: \( u_{ 1 } = \frac{ \pi }{ 4 } \).
3. Rücksubstitution
Setzte die Substitution \( u=2x-\pi \) in die Lösung \(u_{ 1 }\) ein.
\begin{align}u_{ 1 } &= \frac{ \pi }{ 4 } \\[0.2cm] 2x_{ 1 }-\pi &= \frac{ \pi }{ 4 }&&|+\pi\\[0.2cm]2x_1&=\frac{5}{4}\cdot \pi &&|:2\\[0.2cm]x_1&=\frac{5}{8}\cdot \pi\end{align}
4. Berechne mit x1 weitere Lösungen für x im Intervall
\begin{align}x_2&=p-x_1\\[0.15cm]&=\pi-\frac{5}{8} \cdot \pi\\[0.15cm]&=\frac{3}{8}\cdot \pi\end{align}
Da kein Intervall angegeben ist, lautet die allgemeine Lösungsmenge \(\mathbb{L}=\{\frac{ 5 }{ 8 }\pi+k\cdot \pi; \frac{ 3 }{ 8 }\pi + k \cdot \pi; k \in \mathbb{Z}\}\).
Trigonometrische Gleichungen besitzen aufgrund ihrer Periodizität \(p\) unendlich viele Lösungen. Intervallgrenzen können die Lösungsmenge jedoch einschränken.
Trigonometrische Gleichungen lassen sich mit und ohne Taschenrechner lösen. Mithilfe von Umkehrfunktionen, Wertetabellen und der Substitution gelangst Du an die Lösung der Gleichung.
| Funktion | Umkehrfunktion (Befehl) |
| Sinus: \(sin(x)\) | Arkussinus: \(arcsin(x)\) auch \(sin(x)^{-1}\) |
| Cosinus: \(cos(x)\) | Arkuscosinus: \(arccos()\) auch \(cos(x)^{-1}\) |
| Tangens: \(tan(x)\) | Arkustangens: \(arctan()\) auch \(tan(x)^{-1}\) |
Innerhalb einer Periode lassen sich für die Sinus- und Kosinusfunktion maximal zwei Lösungen finden. Diese berechnest Du mithilfe folgender Gleichungen:
| Sinus | Cosinus |
| \( x_{ 2 } = \frac{ p }{ 2 } - x_{ 1 }\) | \( x_{ 2 } = p - x_{ 1 }\) |
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