Vereinigungsmenge

Es gibt zum Beispiel eine Klasse der Säugetiere und eine Menge für Fische. Dabei kann es sich bei einem Aal um kein Säugetier und bei einem Wal um keinen Fisch handeln. Also sind die Mengen disjunkt.

Abbildung 1: disjunkte Mengen

Abbildung 2: Differenzmenge von Personenmengen

Betrachtest Du in diesem Beispiel die Differenzmenge $A\backslash B$, so handelt es sich um die Menge A ohne den Elementen, welche zusätzlich in B vorkommen. In der Menge A sind also Lena und Anna enthalten, da wiederum Anna sich auch in B befindet, wird diese entnommen. Das Ergebnis ist also nur Lena.

Eventuell kennst Du die Menge der natürlichen und der ganzen Zahlen. Dabei kann es sich zum Beispiel um folgende Mengen handeln:

1. Menge der positiven natürlichen Zahlen (${\mathrm{\mathbb{N}}}^{+}$)
2. Menge der positiven natürlichen Zahlen mit der Null (${{\mathrm{\mathbb{N}}}_0}^{+}$)
3. Menge der negativen ganzen Zahlen (${\mathrm{\mathbb{Z}}}^{-}$ )
4. Menge der ganzen Zahlen ($\mathrm{\mathbb{Z}}$)

Dabei setzt sich die Menge der ganzen Zahlen mit den Punkten aus 2 und 3 zusammen.

Die Menge der natürlichen Zahlen mit der 0 sind zum Beispiel folgende: ${{\mathrm{\mathbb{N}}}_0}^{+}=\hspace{0.17em}\{0,1,2,3,...\}$.

Die Menge der negativen ganzen Zahlen sind: ${\mathrm{\mathbb{Z}}}^{-}=\hspace{0.17em}\{-1,-2,-3,...\}$.

Das bedeutet also, dass Du aus den positiven natürlichen Zahlen mit der 0 und den negativen ganzen Zahlen eine Vereinigungsmenge bilden kannst. Das ist dann die Menge der ganzen Zahlen.

Gegeben sind folgende Mengen:

Abbildung 4: Vereinigungsmenge mit Schnittmenge

$A=\hspace{0.17em}\{1,3,6,9\}$

$B=\{2,3,6,8\}$

1. Schritt:

Es bietet sich also an, in der Menge A also alle Elemente zu markieren, bzw. sie bereits in die Vereinigungsmenge einzufügen.

$A=\hspace{0.17em}\{1,3,6,9\}$

2. Schritt:

Nun kannst Du bereits für die zweite Menge, all jene Elemente markieren, die noch nicht in A vorgekommen sind.

$B=\hspace{0.17em}\{2,3,6,8\}$

3. Schritt:

Nun fügst Du alle markierten Elemente in die gesamte Vereinigungsmenge ein.

$A\cup B=\hspace{0.17em}\{1,2,3,6,8,9\}$

Abbildung 5: Vereinigungsmenge mit Schnittmenge (Lösung)

Aufgabe 1

Führe für die nachfolgende Grafik der Vorlieben für Schulfächer eine Vereinigungsmenge durch.

Abbildung 6: Vereinigungsmenge zu Freundeskreis

Lösung

In der Grafik kannst Du erkennen, dass es in diesem Beispiel keine Schnittmenge gibt. Das ist der Sonderfall, indem Du alle Elemente in die Vereinigungsmenge gibst, ohne jedoch doppelt oder mehrfach vorkommende Elemente nur einmal zu nennen. Die Vereinigungsmenge als Instrument aus der Algebra ist hierbei also:

$A\cup B=\hspace{0.17em}\{Philipp,Lina,Jonas,Anna,Lena\}$

Abbildung 7: Vereinigungsmenge zu Freundeskreis (Lösung)

Würde eine neue Schulkameradin Luna beide Fächer mögen, so gäbe es eine Schnittmenge. Du würdest Luna auch in die Vereinigungsmenge einfügen, müsstest allerdings darauf aufpassen, dass Du sie nur einmal nennst.

Abbildung 8: Vereinigungsmenge mit Luna als Schnittmenge

Die beiden Mengen sind wie folgt gegeben:

• Menge A: $A=\hspace{0.17em}\{1,3,6\}$
• Menge B: $B=\hspace{0.17em}\left\{\right\}bzw.B=\hspace{0.17em}\varnothing$

Da Du alle Elemente betrachtest, die in A oder in B enthalten sind, gilt für die Vereinigungsmenge:

$A\cup B=\hspace{0.17em}\{1,3,6\}$

Das gilt auch, falls A die leere Menge ist und B die Elemente aus A enthält.

Abbildung 9: Vereinigungsmenge der Teilmenge aus der Biologie

Die Vereinigungsmenge sind in diesem Fall auch die Elemente, die in der einen oder anderen Menge enthalten sind. Du kannst zum Beispiel so vorgehen: Du nutzt die Elemente, die in der größeren Menge gegeben sind und fügst sie in die Vereinigungsmenge ein. Die Vereinigungsmenge ist also:

$Säugetiere\cup Tiere=\hspace{0.17em}\{Wal,Elefant,Fledermaus,Aal,Pinguin\}$

Es sind folgende Mengen gegeben:

$A=\hspace{0.17em}\{1,2,3,7\}$

$B=\{7,8,9\}$

$C=\hspace{0.17em}\{3,5,7\}$

In diesem Fall könntest Du wie folgt vorgehen (Verweis: Du kannst die Aufgabe auch gerne anders lösen):

1.Schritt:

Alle Elemente, eventuell bereits sortiert notieren. Betrachte das folgende eher als eine Hilfsskizze der Zahlen:

$[1,2,3,3,5,7,7,7,8,9]$

2. Schritt:

Streiche mehrfach vorkommende Elemente und füge diese in die Vereinigungsmenge ein.

$$\begin{gathered} [1,2,3,\cancel{3},5,7,\cancel{7},\cancel{7},8,9] \\ A\cup B\cup C=\{1,2,3,5,7,8,9\} \end{gathered}$$

Abbildung 10: Vereinigungsmenge für drei Mengen

Aufgabe 2

Im Folgenden sind Dir zwei Mengen gegeben.

$MengeY=\hspace{0.17em}\{3,15,35,70\}$

$MengeZ=\hspace{0.17em}\{0,3,15,17,35,70,90\}$

a) Erkläre den Begriff der Vereinigungsmenge.

b) Ermittle für dieses Beispiel die Vereinigungsmenge.

c) Erkläre die Schnittmenge und bilde diese.

Lösung

a) Die Vereinigungsmenge ist die Mengenverknüpfung, bei der Elemente enthalten sind, die in der Menge A (in diesem Fall Y) oder Menge B (hier Z) zu finden sind.

b) Es handelt sich dabei um eine echte Teilmenge, da die Elemente 3, 15, 35, 70 auch in Z enthalten sind, die Menge Z aber zusätzlich weitere Elemente enthält. Die Vereinigungsmenge wird aus allen Elementen der größeren Menge gebildet.

$Y\cup Z=\hspace{0.17em}\{0,3,15,17,35,70,90\}$

c) Die Schnittmenge enthält alle Elemente, die in einer Menge A und in einer Menge B enthalten sind.

In diesem Fall gehst Du also wie folgt vor:

• Streiche aus der Menge Z alle Elemente, die nicht in Y vorkommen.
• Die übrig gebliebenen Elemente sind Deine Schnittmenge.

$$\begin{gathered} Y\cap Z=\hspace{0.17em}\{\cancel{0},3,15,\cancel{17},35,70,\cancel{90}\} \\ Y\cap Z=\hspace{0.17em}\{3,15,35,70\} \end{gathered}$$

Aufgabe 3

Im Folgenden sind Dir drei Mengen grafisch gegeben:

Abbildung 11: Vereinigungsmenge zu Aufgabe 3

a) Was könnte die Aufgabenstellung zu dieser Grafik sein?

b) Bilde nun die Vereinigungsmenge zu den genannten Haushalten.

Lösung

a) Nun darfst Du ein wenig in die Rolle Deines Lehrers/ Deiner Lehrerin schlüpfen. Es soll Dir helfen den Sachzusammenhang zu verstehen. Eine mögliche Interpretation dieser Grafik kann lauten...

Du betrachtest drei Haushalte und zwar von Lena, Lina und Philipp. In ihren Haushalten gibt es unterschiedliche Gegenstände. Während Lena eine Mikrowelle, Rollläden und einen Wlan-Router besitzt, gibt es bei Lina einen Toaster, Vorhänge und Brettspiele. Philipp wiederum hat einen Induktionsherd, einen Wlan-Router und Brettspiele. Der Haushalt von Lena und Philipp besitzen also beide einen Wlan-Router, während der Haushalt von Philipp und Lina darin identisch sind, dass beide Brettspiele im Schrank haben. Die Haushalte von Lena und Lina sind bezogen auf ihre Gegenstände vollständig unterschiedlich.

b) Die ersten Schritte kannst Du gerne überspringen und sofort zu Schritt 3 wechseln.

Schritt 1:

Bilde die Mengen:

$$\begin{gathered} HaushaltLena=\hspace{0.17em}\{Mikrowelle,Rolläden,Wlan-Router\} \\ HaushaltLina=\hspace{0.17em}\{Toaster,Vorhänge,Brettspiele\} \\ HaushaltPhilipp=\hspace{0.17em}\{WlanRouter,Brettspiele,Induktionsherd\} \end{gathered}$$

Schritt 2:

Sortiere die Gegenstände und schreibe sie Dir skizzenhaft zusammen.

$[Mikrowelle,Rollläden,WlanRouter,Wlan-Router,Induktionsherd,Brettspiele,Brettspiele,Toaster,Vorhänge]$

Schritt 3:

Streiche mehrfach vorkommende Elemente und erstelle die Vereinigungsmenge.

$[Mikrowelle,Rollläden,WlanRouter,\cancel{Wlan-Router},Induktionsherd,Brettspiele,\cancel{Brettspiele},Toaster,Vorhänge]$

$H.Lena\cup H.Lina\cup H.Philipp=\hspace{0.17em}\{Mikrowelle,Rollläden,WlanRouter,Induktionsherd,Brettspiele,Toaster,Vorhänge\}$