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Team Wurzel potenzieren Lehrer
Abbildung 1: Potenzierte und radizierte "Wurzeln"
Doch halt: Baumwurzeln potenzieren und radizieren? Nein – Die Baumwurzel als Basis der Potenz und unter dem Wurzelzeichen in Blau stehen symbolisch für Wurzeln im mathematischen Sinne. Diese können ganz verschiedene Formen haben. Wie das Potenzieren und Radizieren von mathematischen Wurzeln nun funktioniert und welche Rechengesetze es dabei zu beachten gibt, erfährst Du in dieser Erklärung.
Damit Du Wurzeln potenzieren und radizieren kannst, ist ein grundlegendes Verständnis der drei Begriffe Wurzel, Potenzieren und Radizieren erforderlich. In den folgenden Abschnitten findest Du eine kurze Wiederholung der drei Begriffe.
Eine Wurzel in der Mathematik besteht meist aus drei Teilen: dem Wurzelzeichen, dem Wurzelexponenten und dem Radikanden.
Die Bezeichnung der einzelnen Teile des Wurzelausdrucks sieht folgendermaßen aus:
Abbildung 2: Bezeichnung der Wurzelbestandteile
Eine Wurzel kann auch als Potenz geschrieben werden:
Den Ausdruck kannst Du als "n-te Wurzel von a" aussprechen.
Bei einer Wurzel mit dem Wurzelexponenten 2 muss dieser nicht unbedingt hingeschrieben werden: . Ist der Wurzelexponent 2, so handelt es sich um eine Quadratwurzel.
Das Potenzieren gehört, wie das Addieren oder Subtrahieren, auch zu den Grundrechenarten.
Potenzieren ist eine verkürzte Schreibweise für das mehrmalige Multiplizieren eines Faktors a mit sich selbst. Der Exponent n gibt an, wie oft dieser Faktor mit sich selbst multipliziert wird.
Allgemein gilt beim Potenzieren:
Wenn Du das Thema Potenzieren noch einmal vertiefen möchtest, kannst Du das in der Erklärung "Potenzieren".
Das Radizieren gehört auch zu den Grundrechenarten und ist eine Umkehrung des Potenzierens.
Radizieren ist das Wurzelziehen. Es gilt die Überlegung:
Der Wurzelexponent n ist der Wert, mit dem der Wurzelwert x potenziert werden muss, um den Radikanden a der Wurzel zu erhalten:
Bei geraden Wurzelexponenten n muss der Radikand a positiv oder 0 sein. Bei ungeraden Wurzelexponenten n kann der Radikand a auch negativ sein.
Auch Wurzeln selbst dürfen potenziert und radiziert werden. Wie das geht, lernst Du in den folgenden Abschnitten kennen.
Die drei relevanten Begriffe Wurzel, Potenzieren und Radizieren hast Du gerade wiederholt. Alle reellen Zahlen können potenziert werden und alle reellen Zahlen größer gleich der 0 können radiziert werden. Zu den reellen Zahlen zählen auch die Wurzeln selbst, deswegen dürfen diese ebenso potenziert und radiziert werden.
Das Potenzieren von Wurzeln sieht gewissermaßen genauso aus, wie das Potenzieren von anderen reellen Zahlen.
Eine potenzierte Wurzel besitzt neben dem Wurzelexponenten n noch einen weiteren Exponenten m, mit dem potenziert wird:
Der gesamte Ausdruck ist nun die Basis der Potenz.
Jede beliebige Wurzel darf potenziert werden.
Um den Exponenten jetzt zu verrechnen, gibt es Rechengesetze, die Du anwenden kannst.
Eine Wurzel wird mit einem Exponenten m potenziert, indem der Radikand a der Wurzel mit dem Exponenten m potenziert wird:
Da das Radizieren das Gegenteil vom Potenzieren ist, heben sich, wenn der Exponent m dem Wurzelexponent n entspricht, diese auf und das Ergebnis ist der Radikand:
Die Umsetzung des Potenzierens von Wurzeln kannst Du Dir an einem Beispiel ansehen.
Folgende Wurzelpotenzen sollen gelöst werden:
Es gilt
also wird der Exponent m, in diesem Beispiel 6, unter die Wurzel gezogen und die Basis a, hier 4, zuerst potenziert.
Daraus kannst Du Deine Lösung errechnen:
Das Beispiel zeigt, dass zuerst die Potenz außen an der Wurzel steht. Um zu verdeutlichen, dass die gesamte Wurzel potenziert werden soll, wird eine Klammer verwendet. Danach kannst Du das Wurzelgesetz anwenden und die Zahl unter der Wurzel potenzieren. Daraus kannst Du dann das Ergebnis berechnen.
Wurzeln können neben der herkömmlichen Schreibweise auch als Potenz geschrieben werden: .
Auch Deine potenzierte Wurzel kannst Du als Potenz schreiben:
Dabei ist der Radikand a die Basis und der Exponent eine gebrochen rationale Zahl mit dem Wurzelexponenten n im Nenner und dem Exponenten m im Zähler.
Die Potenzschreibweise der Wurzel kann Dir behilflich sein, Wurzeln mit größeren Zahlen auszurechnen. Dafür kannst Du Dir erneut das Beispiel von gerade eben ansehen.
Folgende Wurzelpotenzen sollten gelöst werden:
Wegen des Rechengesetzes wurde der Exponent m unter die Wurzel gezogen.
Um nun schneller und ohne Taschenrechner das Gesamtergebnis der Wurzelpotenz zu berechnen, kannst Du Deine Wurzel in die Potenzschreibweise umschreiben:
Nun kannst Du im Exponenten den Bruch kürzen und Dein Ergebnis berechnen:
Somit kannst Du das Ergebnis der Wurzelpotenz effizient ohne Taschenrechner lösen. Deshalb ist es manchmal hilfreich, die Wurzel in eine Potenz umzuschreiben.
Neben dem Potenzieren ist es ebenso möglich, eine Wurzel selbst zu radizieren.
Das Radizieren von Wurzeln funktioniert genau so, wie das Wurzelziehen von positiven reellen Zahlen.
Wenn Du eine Wurzel radizierst, ziehst Du die Wurzel mit dem Wurzelexponenten m aus einer Wurzel mit dem Wurzelexponenten n und dem Radikanden a.
Du erhältst so eine Doppelwurzel. Dabei ist der neue Radikand.
Da das Ergebnis von Wurzeln mit geraden Wurzelexponenten n nicht negativ sein kann, darf jede Wurzel mit geraden Wurzelexponenten n radiziert werden. Wenn von Deiner Ursprungswurzel der Radikand a negativ und der Wurzelexponent n ungerade ist, darfst Du nur mit einem ungeraden Wurzelexponenten m radizieren.
Beim Radizieren einer Wurzel sind primär die Wurzelexponenten der Wurzeln relevant. Um eine Wurzel zu radizieren, gibt es ebenfalls Rechengesetze, die Du anwenden kannst.
Die Wurzelexponenten n und m können beliebig vertauscht werden:
Diese Regel kann Dir helfen, radizierte Wurzeln zu vereinfachen.
Bei radizierten Wurzeln werden die Wurzelexponenten n und m multipliziert, während der Radikand a unter einem Wurzelzeichen stehen bleibt:
Die Umsetzung des Radizierens von Wurzeln kannst Du Dir an einem Beispiel ansehen.
Folgende Aufgabe soll gelöst werden:
Es gilt
also werden die Wurzelexponenten n und m miteinander multipliziert.
Daraus kannst Du Deine Lösung errechnen:
Das Vertauschen der Wurzelexponenten kann Dir behilflich sein, radizierte Wurzeln ohne ganze Zahlen als Ergebnis so weit wie möglich zu vereinfachen. Dafür kannst Du Dir ebenfalls ein Beispiel ansehen.
Folgende Aufgabe soll so weit wie möglich ohne Taschenrechner vereinfacht werden:
Es gilt
also werden die Wurzelexponenten 2 und 3 vertauschen.
Damit kannst Du Deine Doppelwurzel vereinfachen:
Angewendet wird das Prinzip des Radizierens von Wurzeln auch rückwärts. Das heißt, der Wurzelexponent wird als ein Produkt aus zwei Zahlen m und n geschrieben, um dann aus der Wurzel eine Doppelwurzel zu machen. Die innere Wurzel wird dann als Erstes aufgelöst. Dies kann Dir dabei helfen, Wurzeln mit hohem Wurzelexponenten zu lösen. Das kannst Du Dir an einem Beispiel ansehen.
Es soll folgende Wurzel gelöst werden:
Den Wurzelexponenten 4 kannst Du in das Produkt zerlegen:
Diese Wurzel kannst Du nun mit der Umkehrung der Regel zum Radizieren von Wurzeln als Doppelwurzel mit den Wurzelexponenten m und n schreiben:
Nun kannst Du erst die innere Wurzel lösen. Durch das kleine Einmaleins weißt Du, dass
und damit
gilt.
Damit kannst Du weiter rechnen und erhältst das Ergebnis:
Radizieren ist im Prinzip das Gegenteil von Potenzieren. Dies gilt auch für das Potenzieren und Radizieren von Wurzeln. Um den Unterschied zwischen Potenzieren und Radizieren von Wurzeln zu verdeutlichen, kannst Du Dir das Schaubild in Abbildung 3 ansehen.
Abbildung 3: Unterschied Wurzel potenzieren und radizieren
Beim Radizieren ziehst Du die Wurzel aus einer Wurzel und erhältst eine Doppelwurzel . Beim Potenzieren wird die ursprüngliche Wurzel zur Basis der Potenz mit dem Exponenten m. Wenn Du die Potenz mit der Wurzel als Basis und dem Exponenten m jetzt mit der Wurzel radizierst, erhältst Du wieder die ursprüngliche Wurzel . Umgekehrt, wenn Du die Doppelwurzel mit dem Exponenten m potenzierst, erhältst Du ebenfalls wieder die ursprüngliche Wurzel .
Mit den folgenden Aufgaben kannst Du Dein Wissen zum Potenzieren und Radizieren von Wurzeln vertiefen.
Aufgabe 1
Löse folgende Aufgabe mithilfe der Wurzelgesetze:
Lösung
Es gilt:
Damit kannst Du die Aufgabe lösen:
Falls Du keinen Taschenrechner zur Hand hast, kannst Du diese Aufgabe auch mithilfe der Potenzschreibweise lösen:
Aufgabe 2
Löse folgende Aufgabe mithilfe der Wurzelgesetze:
Lösung
Es gilt:
Damit kannst Du die Aufgabe lösen:
Aufgabe 3
Löse folgende Aufgabe:
Lösung
Es gilt:
Damit kannst Du die Aufgabe lösen:
Wenn Du keinen Taschenrechner hast oder die 6. Wurzel aus 64 nicht auswendig kannst, kannst Du einen anderen Lösungsweg anwenden, denn Du kannst auch erst die innere Wurzel ausrechnen:
ist die n-te Wurzel aus a. Gesucht ist eine Zahl x, sodass gilt.
Die Potenzschreibweise einer potenzierten Wurzel lautet:
Wenn Du eine Wurzel radizierst, ziehst Du die Wurzel mit dem Wurzelexponenten m aus einer Wurzel mit dem Wurzelexponenten n und dem Radikanden a:
Folgende Rechengesetze gelten beim Radizieren von Wurzeln:
Die Wurzelexponenten n und m können beliebig vertauscht werden:
Bei radizierten Wurzeln werden die Wurzelexponenten n und m multipliziert, während der Radikand a unter einem Wurzelzeichen stehen bleibt:
Das Radizieren von Wurzeln wird oft rückwärts angewendet, um Wurzeln zu vereinfachen.
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Wie verändert sich der Exponent beim Wurzelziehen?
Der Exponent verändert sich beim Wurzelziehen gar nicht. Wenn der Wurzelexponent und der Exponent des Radikanden übereinstimmen, heben sich diese aber auf und der Radikand bleibt als Ergebnis übrig.
Wie schreibt man eine Wurzel als Potenz?
Eine Wurzel schreibst Du als Potenz, indem Du dem Radikanden a einen Bruch als Exponenten gibst, in dem im Zähler eine 1 steht und im Nenner der Wurzelexponent n.
Wie radiziert man Wurzeln?
Das Radizieren von Wurzeln funktioniert genau so, wie das Wurzelziehen von positiven reellen Zahlen. Wenn Du eine Wurzel radizierst, ziehst Du die Wurzel mit dem Wurzelexponenten m aus einer Wurzel mit dem Wurzelexponenten n und dem Radikanden a. Du erhältst eine Doppelwurzel, die Du durch Multiplikation der beiden Wurzelexponenten m und n zu einer Wurzel zusammenfassen kannst.
Wie verändert sich der Exponent einer Potenz beim Radizieren?
Du ziehst die Wurzel aus einer Potenz, indem Du den Potenzexponenten durch den Wurzelexponenten dividierst und die Basis behältst.
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Lily Hulatt ist Digital Content Specialist mit über drei Jahren Erfahrung in Content-Strategie und Curriculum-Design. Sie hat 2022 ihren Doktortitel in Englischer Literatur an der Durham University erhalten, dort auch im Fachbereich Englische Studien unterrichtet und an verschiedenen Veröffentlichungen mitgewirkt. Lily ist Expertin für Englische Literatur, Englische Sprache, Geschichte und Philosophie.
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Gabriel Freitas ist AI Engineer mit solider Erfahrung in Softwareentwicklung, maschinellen Lernalgorithmen und generativer KI, einschließlich Anwendungen großer Sprachmodelle (LLMs). Er hat Elektrotechnik an der Universität von São Paulo studiert und macht aktuell seinen MSc in Computertechnik an der Universität von Campinas mit Schwerpunkt auf maschinellem Lernen. Gabriel hat einen starken Hintergrund in Software-Engineering und hat an Projekten zu Computer Vision, Embedded AI und LLM-Anwendungen gearbeitet.
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