Wurzel potenzieren: Und radizieren & Rechengesetze

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Wurzel potenzieren Wurzeln Potenzieren und Radizieren Übersicht StudySmarter Abbildung 1: Potenzierte und radizierte "Wurzeln"

Doch halt: Baumwurzeln potenzieren und radizieren? Nein – Die Baumwurzel als Basis der Potenz und unter dem Wurzelzeichen in Blau stehen symbolisch für Wurzeln im mathematischen Sinne. Diese können ganz verschiedene Formen haben. Wie das Potenzieren und Radizieren von mathematischen Wurzeln nun funktioniert und welche Rechengesetze es dabei zu beachten gibt, erfährst Du in dieser Erklärung.

Wiederholung der Basics – Wurzel, Potenzieren & Radizieren

Damit Du Wurzeln potenzieren und radizieren kannst, ist ein grundlegendes Verständnis der drei Begriffe Wurzel, Potenzieren und Radizieren erforderlich. In den folgenden Abschnitten findest Du eine kurze Wiederholung der drei Begriffe.

Wurzel

Eine Wurzel in der Mathematik besteht meist aus drei Teilen: dem Wurzelzeichen, dem Wurzelexponenten und dem Radikanden.

Die Bezeichnung der einzelnen Teile des Wurzelausdrucks sieht folgendermaßen aus:

Wurzel potenzieren Wiederholung Wurzel StudySmarter Abbildung 2: Bezeichnung der Wurzelbestandteile

Eine Wurzel kann auch als Potenz geschrieben werden:

$\sqrt[n]{a} = a^{\frac{1}{n}}$

Den Ausdruck $\sqrt[n]{a}$ kannst Du als "n-te Wurzel von a" aussprechen.

Bei einer Wurzel mit dem Wurzelexponenten 2 muss dieser nicht unbedingt hingeschrieben werden: $\sqrt[2]{a} = \sqrt{a}$ . Ist der Wurzelexponent 2, so handelt es sich um eine Quadratwurzel.

Potenzieren

Das Potenzieren gehört, wie das Addieren oder Subtrahieren, auch zu den Grundrechenarten.

Potenzieren ist eine verkürzte Schreibweise für das mehrmalige Multiplizieren eines Faktors a mit sich selbst. Der Exponent n gibt an, wie oft dieser Faktor mit sich selbst multipliziert wird.

Allgemein gilt beim Potenzieren:

$\begin{matrix} \underset{n - m a l}{\underset{⏟}{a \cdot a \cdot . . . \cdot a}} & = & a^{n} \end{matrix}$

a ist die Basis und eine reelle Zahl
n ist der Exponent und eine natürliche Zahl
$a^{n}$ wird Potenz oder Potenzwert genannt

Wenn Du das Thema Potenzieren noch einmal vertiefen möchtest, kannst Du das in der Erklärung "Potenzieren".

Radizieren

Das Radizieren gehört auch zu den Grundrechenarten und ist eine Umkehrung des Potenzierens.

Radizieren ist das Wurzelziehen. Es gilt die Überlegung:

$x = \sqrt[n]{a}$

Der Wurzelexponent n ist der Wert, mit dem der Wurzelwert x potenziert werden muss, um den Radikanden a der Wurzel zu erhalten:

$x^{n} = a$

Bei geraden Wurzelexponenten n muss der Radikand a positiv oder 0 sein. Bei ungeraden Wurzelexponenten n kann der Radikand a auch negativ sein.

Auch Wurzeln selbst dürfen potenziert und radiziert werden. Wie das geht, lernst Du in den folgenden Abschnitten kennen.

Wurzel potenzieren und radizieren – Übersicht

Die drei relevanten Begriffe Wurzel, Potenzieren und Radizieren hast Du gerade wiederholt. Alle reellen Zahlen können potenziert werden und alle reellen Zahlen größer gleich der 0 können radiziert werden. Zu den reellen Zahlen zählen auch die Wurzeln selbst, deswegen dürfen diese ebenso potenziert und radiziert werden.

Wurzel potenzieren – Definition

Das Potenzieren von Wurzeln sieht gewissermaßen genauso aus, wie das Potenzieren von anderen reellen Zahlen.

Eine potenzierte Wurzel besitzt neben dem Wurzelexponenten n noch einen weiteren Exponenten m, mit dem potenziert wird:

${(\sqrt[n]{a})}^{m}$

Der gesamte Ausdruck $\sqrt[n]{a}$ ist nun die Basis der Potenz.

Jede beliebige Wurzel darf potenziert werden.

Wurzeln potenzieren – Rechengesetz

Um den Exponenten jetzt zu verrechnen, gibt es Rechengesetze, die Du anwenden kannst.

Eine Wurzel $\sqrt[n]{a}$ wird mit einem Exponenten m potenziert, indem der Radikand a der Wurzel mit dem Exponenten m potenziert wird:

${(\sqrt[n]{a})}^{m} = \sqrt[n]{a^{m}}$

Da das Radizieren das Gegenteil vom Potenzieren ist, heben sich, wenn der Exponent m dem Wurzelexponent n entspricht, diese auf und das Ergebnis ist der Radikand: ${(\sqrt[n]{a})}^{n} = a$

Wurzeln potenzieren – Beispiel

Die Umsetzung des Potenzierens von Wurzeln kannst Du Dir an einem Beispiel ansehen.

Folgende Wurzelpotenzen sollen gelöst werden:

${(\sqrt[3]{4})}^{6}$

Es gilt

${(\sqrt[n]{a})}^{m} = \sqrt[n]{a^{m}}$

also wird der Exponent m, in diesem Beispiel 6, unter die Wurzel gezogen und die Basis a, hier 4, zuerst potenziert.

Daraus kannst Du Deine Lösung errechnen:

$\begin{array}{rcl} {(\sqrt[3]{4})}^{6} & = & \sqrt[3]{4^{6}} \\ = & \sqrt[3]{4096} \\ = & 16 \end{array}$

Das Beispiel zeigt, dass zuerst die Potenz außen an der Wurzel steht. Um zu verdeutlichen, dass die gesamte Wurzel potenziert werden soll, wird eine Klammer verwendet. Danach kannst Du das Wurzelgesetz anwenden und die Zahl unter der Wurzel potenzieren. Daraus kannst Du dann das Ergebnis berechnen.

Wurzeln potenzieren – Umformen in Potenzschreibweise

Wurzeln können neben der herkömmlichen Schreibweise $\sqrt[n]{a}$ auch als Potenz geschrieben werden: $\sqrt[n]{a} = a^{\frac{1}{n}}$ .

Auch Deine potenzierte Wurzel kannst Du als Potenz schreiben:

$\sqrt[n]{a^{m}} = a^{\frac{m}{n}}$

Dabei ist der Radikand a die Basis und der Exponent eine gebrochen rationale Zahl mit dem Wurzelexponenten n im Nenner und dem Exponenten m im Zähler.

Die Potenzschreibweise der Wurzel kann Dir behilflich sein, Wurzeln mit größeren Zahlen auszurechnen. Dafür kannst Du Dir erneut das Beispiel von gerade eben ansehen.

Folgende Wurzelpotenzen sollten gelöst werden:

${(\sqrt[3]{4})}^{6}$

Wegen des Rechengesetzes ${(\sqrt[n]{a})}^{m} = \sqrt[n]{a^{m}}$ wurde der Exponent m unter die Wurzel gezogen.

${(\sqrt[3]{4})}^{6} = \sqrt[3]{4^{6}}$

Um nun schneller und ohne Taschenrechner das Gesamtergebnis der Wurzelpotenz zu berechnen, kannst Du Deine Wurzel $\sqrt[3]{4^{6}}$ in die Potenzschreibweise umschreiben:

$\sqrt[3]{4^{6}} = 4^{\frac{6}{3}}$

Nun kannst Du im Exponenten den Bruch kürzen und Dein Ergebnis berechnen:

$4^{\frac{6^{2}}{3}} = 4^{2} = 16$

Somit kannst Du das Ergebnis der Wurzelpotenz effizient ohne Taschenrechner lösen. Deshalb ist es manchmal hilfreich, die Wurzel in eine Potenz umzuschreiben.

Neben dem Potenzieren ist es ebenso möglich, eine Wurzel selbst zu radizieren.

Wurzeln radizieren – Definition

Das Radizieren von Wurzeln funktioniert genau so, wie das Wurzelziehen von positiven reellen Zahlen.

Wenn Du eine Wurzel radizierst, ziehst Du die Wurzel mit dem Wurzelexponenten m aus einer Wurzel mit dem Wurzelexponenten n und dem Radikanden a.

$\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}$

Du erhältst so eine Doppelwurzel. Dabei ist $\sqrt[n]{a}$ der neue Radikand.

Da das Ergebnis von Wurzeln mit geraden Wurzelexponenten n nicht negativ sein kann, darf jede Wurzel mit geraden Wurzelexponenten n radiziert werden. Wenn von Deiner Ursprungswurzel der Radikand a negativ und der Wurzelexponent n ungerade ist, darfst Du nur mit einem ungeraden Wurzelexponenten m radizieren.

Wurzeln radizieren – Rechengesetze

Beim Radizieren einer Wurzel sind primär die Wurzelexponenten der Wurzeln relevant. Um eine Wurzel zu radizieren, gibt es ebenfalls Rechengesetze, die Du anwenden kannst.

Die Wurzelexponenten n und m können beliebig vertauscht werden:

$\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[n]{\sqrt[m]{a}}$

Diese Regel kann Dir helfen, radizierte Wurzeln zu vereinfachen.

Bei radizierten Wurzeln werden die Wurzelexponenten n und m multipliziert, während der Radikand a unter einem Wurzelzeichen stehen bleibt:

$\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[m \cdot n]{a}$

Wurzeln radizieren – Beispiele

Die Umsetzung des Radizierens von Wurzeln kannst Du Dir an einem Beispiel ansehen.

Folgende Aufgabe soll gelöst werden:

$\sqrt[4]{\sqrt[2]{256}}$

Es gilt

$\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[m \cdot n]{a}$

also werden die Wurzelexponenten n und m miteinander multipliziert.

Daraus kannst Du Deine Lösung errechnen:

$\begin{array}{rcl} \sqrt[4]{\sqrt[2]{256}} & = & \sqrt[4 \cdot 2]{256} \\ = & \sqrt[8]{256} \\ = & 2 \end{array}$

Das Vertauschen der Wurzelexponenten kann Dir behilflich sein, radizierte Wurzeln ohne ganze Zahlen als Ergebnis so weit wie möglich zu vereinfachen. Dafür kannst Du Dir ebenfalls ein Beispiel ansehen.

Folgende Aufgabe soll so weit wie möglich ohne Taschenrechner vereinfacht werden:

$\sqrt[2]{\sqrt[3]{49}}$

Es gilt

$\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[n]{\sqrt[m]{a}}$

also werden die Wurzelexponenten 2 und 3 vertauschen.

Damit kannst Du Deine Doppelwurzel vereinfachen:

$\begin{array}{rcl} \sqrt[2]{\sqrt[3]{49}} & = & \sqrt[3]{\sqrt[2]{49}} \\ = & \sqrt[3]{7} \end{array}$

Wurzeln radizieren – Anwendung rückwärts

Angewendet wird das Prinzip des Radizierens von Wurzeln auch rückwärts. Das heißt, der Wurzelexponent wird als ein Produkt aus zwei Zahlen m und n geschrieben, um dann aus der Wurzel eine Doppelwurzel zu machen. Die innere Wurzel wird dann als Erstes aufgelöst. Dies kann Dir dabei helfen, Wurzeln mit hohem Wurzelexponenten zu lösen. Das kannst Du Dir an einem Beispiel ansehen.

Es soll folgende Wurzel gelöst werden:

$\sqrt[4]{81}$

Den Wurzelexponenten 4 kannst Du in das Produkt $2 \cdot 2$ zerlegen:

$\sqrt[2 \cdot 2]{81}$

Diese Wurzel kannst Du nun mit der Umkehrung der Regel zum Radizieren von Wurzeln als Doppelwurzel mit den Wurzelexponenten m und n schreiben:

$\sqrt[2 \cdot 2]{81} = \sqrt[2]{\sqrt[2]{81}}$

Nun kannst Du erst die innere Wurzel lösen. Durch das kleine Einmaleins weißt Du, dass

$9 \cdot 9 = 81$

und damit

$\sqrt[2]{81} = 9$

gilt.

Damit kannst Du weiter rechnen und erhältst das Ergebnis:

$\sqrt[2]{9} = 3$

Wurzel potenzieren und radizieren Zusammenfassung – Unterschied

Radizieren ist im Prinzip das Gegenteil von Potenzieren. Dies gilt auch für das Potenzieren und Radizieren von Wurzeln. Um den Unterschied zwischen Potenzieren und Radizieren von Wurzeln zu verdeutlichen, kannst Du Dir das Schaubild in Abbildung 3 ansehen.

Wurzel potenzieren Wurzeln potenzieren und radizieren Unterschied StudySmarter Abbildung 3: Unterschied Wurzel potenzieren und radizieren

Beim Radizieren ziehst Du die Wurzel $\sqrt[m]{}$ aus einer Wurzel $\sqrt[n]{a}$ und erhältst eine Doppelwurzel $\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}$ . Beim Potenzieren wird die ursprüngliche Wurzel $\sqrt[n]{a}$ zur Basis der Potenz mit dem Exponenten m. Wenn Du die Potenz mit der Wurzel $\sqrt[n]{a}$ als Basis und dem Exponenten m jetzt mit der Wurzel $\sqrt[m]{}$ radizierst, erhältst Du wieder die ursprüngliche Wurzel $\sqrt[n]{a}$ . Umgekehrt, wenn Du die Doppelwurzel $\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}$ mit dem Exponenten m potenzierst, erhältst Du ebenfalls wieder die ursprüngliche Wurzel $\sqrt[n]{a}$ .

Wurzel potenzieren und radizieren – Aufgaben

Mit den folgenden Aufgaben kannst Du Dein Wissen zum Potenzieren und Radizieren von Wurzeln vertiefen.

Aufgabe 1

Löse folgende Aufgabe mithilfe der Wurzelgesetze:

${(\sqrt[4]{25})}^{2}$

Lösung

Es gilt:

${(\sqrt[n]{a})}^{m} = \sqrt[n]{a^{m}}$

Damit kannst Du die Aufgabe lösen:

$\begin{array}{rcl} {(\sqrt[4]{25})}^{2} & = & \sqrt[4]{25^{2}} \\ = & \sqrt[4]{625} \\ = & 5 \end{array}$

Falls Du keinen Taschenrechner zur Hand hast, kannst Du diese Aufgabe auch mithilfe der Potenzschreibweise lösen:

$\begin{array}{rcl} {(\sqrt[4]{25})}^{2} & = & \sqrt[4]{25^{2}} \\ = & 25^{\frac{2^{1}}{4^{2}}} \\ = & 25^{\frac{1}{2}} \\ = & \sqrt{25} \\ = & 5 \end{array}$

Aufgabe 2

Löse folgende Aufgabe mithilfe der Wurzelgesetze:

${(\sqrt[3]{2})}^{6}$

Lösung

Es gilt:

${(\sqrt[n]{a})}^{m} = \sqrt[n]{a^{m}}$

Damit kannst Du die Aufgabe lösen:

$\begin{array}{rcl} {(\sqrt[3]{2})}^{6} & = & \sqrt[3]{2^{6}} \\ = & \sqrt[3]{64} \\ = & 4 \end{array}$

Aufgabe 3

Löse folgende Aufgabe:

$\sqrt[2]{\sqrt[3]{64}}$

Lösung

Es gilt:

$\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[m \cdot n]{a}$

Damit kannst Du die Aufgabe lösen:

$\begin{array}{rcl} \sqrt[3]{\sqrt[2]{64}} & = & \sqrt[6]{64} \\ = & 2 \end{array}$

Wenn Du keinen Taschenrechner hast oder die 6. Wurzel aus 64 nicht auswendig kannst, kannst Du einen anderen Lösungsweg anwenden, denn Du kannst auch erst die innere Wurzel ausrechnen:

$\begin{array}{rcl} \sqrt[3]{\sqrt[2]{64}} & = & \sqrt[3]{8} \\ = & 2 \end{array}$

Wurzeln potenzieren – Das Wichtigste

$\sqrt[n]{a}$ ist die n-te Wurzel aus a. Gesucht ist eine Zahl x, sodass $x^{n} = a$ gilt.
Eine potenzierte Wurzel besitzt neben dem Wurzelexponenten n noch einen weiteren Exponenten m: ${(\sqrt[n]{a})}^{m}$
Eine Wurzel $\sqrt[n]{a}$ wird mit einem Exponenten m potenziert, indem der Radikand a der Wurzel mit dem Exponenten m potenziert wird: ${(\sqrt[n]{a})}^{m} = \sqrt[n]{a^{m}}$
Die Potenzschreibweise einer potenzierten Wurzel lautet: $\sqrt[n]{a^{m}} = a^{\frac{m}{n}}$
Wenn Du eine Wurzel radizierst, ziehst Du die Wurzel mit dem Wurzelexponenten m aus einer Wurzel mit dem Wurzelexponenten n und dem Radikanden a: $\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}$
Folgende Rechengesetze gelten beim Radizieren von Wurzeln:
- Die Wurzelexponenten n und m können beliebig vertauscht werden: $\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[n]{\sqrt[m]{a}}$
- Bei radizierten Wurzeln werden die Wurzelexponenten n und m multipliziert, während der Radikand a unter einem Wurzelzeichen stehen bleibt: $\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[m \cdot n]{a}$
Das Radizieren von Wurzeln wird oft rückwärts angewendet, um Wurzeln zu vereinfachen.

Nachweise

Lamm (2016). Potenzen & Wurzeln - ... kinderleicht erlernen. Kohl Verlag
Körner (2011). Grundwissen Wurzeln und Potenzen. Persen Verlag

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Häufig gestellte Fragen zum Thema Wurzel potenzieren

Wie verändert sich der Exponent beim Wurzelziehen?

Der Exponent verändert sich beim Wurzelziehen gar nicht. Wenn der Wurzelexponent und der Exponent des Radikanden übereinstimmen, heben sich diese aber auf und der Radikand bleibt als Ergebnis übrig.

Wie schreibt man eine Wurzel als Potenz?

Eine Wurzel schreibst Du als Potenz, indem Du dem Radikanden a einen Bruch als Exponenten gibst, in dem im Zähler eine 1 steht und im Nenner der Wurzelexponent n.

Wie radiziert man Wurzeln?

Das Radizieren von Wurzeln funktioniert genau so, wie das Wurzelziehen von positiven reellen Zahlen. Wenn Du eine Wurzel radizierst, ziehst Du die Wurzel mit dem Wurzelexponenten m aus einer Wurzel mit dem Wurzelexponenten n und dem Radikanden a. Du erhältst eine Doppelwurzel, die Du durch Multiplikation der beiden Wurzelexponenten m und n zu einer Wurzel zusammenfassen kannst.

Wie verändert sich der Exponent einer Potenz beim Radizieren?

Du ziehst die Wurzel aus einer Potenz, indem Du den Potenzexponenten durch den Wurzelexponenten dividierst und die Basis behältst.

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