Zahlenmengen

Zahlenmengen – Definition

Eine Zahlenmenge fasst in der Mathematik bestimmte Zahlen zu einer Menge zusammen.

Die verschiedenen Zahlenmengen werden mit großen lateinischen Buchstaben symbolisiert.

Zahlenmengen Symbole

Hier hast Du alle Symbole für die verschiedenen Zahlenmengen auf einen Blick. Welche Zahlen die Zahlenmengen jeweils enthalten, erfährst Du in den nächsten Kapiteln.

Die verschiedenen Zahlenmengen kannst Du auch anschaulich darstellen, wie beispielsweise in folgender Abbildung 1.

Abb. 1 - Übersicht der Zahlenmengen.

Jede Zahlenmenge schließt die vorherigen Zahlen mit ein. So gehören zu den reellen Zahlen die natürlichen, ganzen, rationalen und auch irrationalen Zahlen. Es gilt demnach:

$$\mathbb{N}\subset {\mathbb{N}}_0\subset \mathbb{Z}\subset \mathbb{Q}\subset \mathbb{R}\subset \mathbb{C}$$

Los geht es mit der Zahlenmenge der natürlichen Zahlen.

Zahlenmengen N – Natürliche Zahlen

Die erste Zahlenmenge ist die Menge $\mathbb{N}$ der natürlichen Zahlen. Du hattest vielleicht schon mal die Situation, dass Du bei einem Spieleabend mit einem Würfel die Zahl $6$ gewürfelt hast. Das ist zum Beispiel eine natürliche Zahl.

Die natürlichen Zahlen $\mathbb{N}$ sind alle positiven ganzen Zahlen $>0$. Zu den natürlichen Zahlen kann allerdings auch die $0$ hinzugefügt werden.

Schau Dir gerne die Erklärung „Natürliche Zahlen“ an, wenn Du mehr über diese Zahlen und die entsprechende Zahlenmenge erfahren möchtest.

Die nächste Zahlenmenge der ganzen Zahlen erweitert die natürlichen Zahlen um weitere Elemente.

Zahlenmengen Z – Ganze Zahlen

Du kennst dies vielleicht schon bei Thermometern im Winter, wenn die Temperatur beispielsweise $-3°C$ beträgt. Diese negativen Zahlen zählen, neben den natürlichen Zahlen, zu der Zahlenmenge $\mathbb{Z}$ der ganzen Zahlen. Du hast in dieser Menge also alle Zahlen der natürlichen Zahlen noch einmal dabei, aber mit einem negativen Vorzeichen.

Zu den ganzen Zahlen gehört auch die Zahl 0.

Im nächsten Abschnitt findest Du mehr zu den Zahlenmengen der rationalen, irrationalen und reellen Zahlen.

Zahlenmengen R – Reelle Zahlen

Die Zahlenmenge $\mathbb{R}$ der reellen Zahlen umfasst alle Zahlen, die auf einer Zahlengeraden darstellbar sind. Das sind sowohl alle ganzen Zahlen als auch Brüche und Dezimalzahlen mit unendlich vielen Nachkommastellen, wie beispielsweise die Eulersche Zahl $e$. Damit beinhaltet die Zahlenmenge der reellen Zahlen sowohl die Menge der rationalen Zahlen und ebenfalls die Menge der irrationalen Zahlen.

Was genau beinhalten denn überhaupt die rationalen und irrationalen Zahlen? Mehr dazu im nächsten Abschnitt.

Zahlenmengen Q – Rationale Zahlen

Als Du einkaufen warst, musstest Du vielleicht schon mal $11,78\text{€}$ bezahlen. Das ist ein Beispiel für eine rationale Zahl.

Zu der Zahlenmenge der rationalen Zahlen $\mathbb{Q}$ gehören alle Zahlen, die sich als Bruch von zwei ganzen Zahlen darstellen lassen. Das sind zum Beispiel auch endliche und periodische Dezimalzahlen.

Neben den rationalen Zahlen gehören auch die irrationalen Zahlen zur Zahlenmenge der reellen Zahlen.

Zahlenmenge I – Irrationale Zahlen

Die irrationalen Zahlen sind alle Zahlen, welche nicht rational sind und sich somit nicht als Bruch darstellen lassen. Das sind alle Dezimalzahlen, die unendlich viele und nicht periodische Nachkommastellen besitzen.

Dazu zählen zum Beispiel die Kreiszahl $\pi$ und die Eulersche Zahl $e$.

Waren das somit alle Zahlenmengen? Jein. Zumindest umfassen die vorherigen Zahlenmengen alle Zahlen, die sich auf einer Zahlengeraden darstellen lassen. Es gibt aber noch weitere Zahlen.

Im Zusammenhang mit den Zahlenmengen fällt auch der Begriff Teilbarkeit. Wann lassen sich beispielsweise natürliche Zahlen durch andere natürliche Zahlen wie $2$, $3$ oder $10$ teilen, ohne dass ein Rest entsteht?

Zahlenmengen – Teilbarkeit

Bei der Suche nach Antworten auf die Fragen, wann Du Zahlen durch verschiedene Zahlen teilen kannst, helfen Dir die Teilbarkeitsregeln. Hier siehst Du einen Ausschnitt verschiedener Regeln zur Teilbarkeit:

• Eine Zahl ist durch $2$ teilbar, wenn sie eine gerade Zahl ist.
• Eine Zahl ist durch $3$ teilbar, wenn ihre Quersumme durch $3$ teilbar ist.
• Eine Zahl ist durch $4$ teilbar, wenn die letzten beiden Ziffern durch $4$ teilbar sind.
• ...

Sieh Dir dazu das folgende Beispiel an.

Sieh Dir gerne auch die zugehörigen Karteikarten zu den Zahlenmengen an, um die Theorie in dieser Erklärung zu überprüfen!